【正文】 圖 17 － 3 第 17講 ┃ 歸類示例 解： ①∠ A P C ＝ ∠ P A B ＋ ∠ P C D ； ②∠ A P C ＝ 360 176。 － 36 176。 35 ′ ，這個(gè)角 的度數(shù) 是 ________. 143 176。 . 第 17講 ┃ 歸類示例 計(jì)算角度問題時(shí)，要注意挖掘圖形中的隱含條件 ( 三角形內(nèi)角和、互為余角或補(bǔ)角、平行性質(zhì)、垂直 ) 及角平分線知識(shí)的應(yīng)用． ? 類型之三 度、分、秒的計(jì)算 第 17講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1 ． 度、分、秒的換算； 2 ． 度、分、秒的計(jì)算 ． [ 2 0 1 1 . ∵ a ∥ b ， ∴∠ 2 ＝ ∠ 3 ＝ 50176。 － 90 176。 ＝ 180 176。 ， ∴∠ 3 ＝ 180 176。 ，則 ∠ 2 的度數(shù)為________ ． 圖 17 － 2 50176。 . ? 類型之二 直線的位置關(guān)系 第 17講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 直線的平行與垂直的性質(zhì)和判定； 2. 角度的有關(guān)計(jì)算 . [ 2021 － 38 176。 ， ∴∠ BOM ＝ 180 176。 . ∵ 射線 OM 平分 ∠ AOC ， ∴∠ AOM ＝12∠ AOC ＝12 76 176。 列式計(jì)算． ∵∠ BOD ＝ 76 176。 D ． 144 176。 B ． 104 176。 北京 ] 如圖 17 － 1 ，直線 AB 、 CD 交于點(diǎn) O ，射線OM 平分 ∠ AOC ，若 ∠ BOD ＝ 76 176。 ，則這兩個(gè)角互補(bǔ) 性質(zhì) 同角 ( 或等角 ) 的補(bǔ)角 ____ ____ 互為補(bǔ)角 拓展 一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角大 90 176。第 17講 ┃ 幾何初步及平行線、相交線 第 17講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 1 三種基本圖形 —— 直線、射線、線段 直線公理 經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有 ________ 條直線 線段公理 兩點(diǎn)之間， ________ 最短 兩點(diǎn)間的 距離 連接兩點(diǎn)間的線段的 ________ ，叫做這兩點(diǎn)間的距離 一 線段 長度 第 17講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 2 角 定義 1 有公共端點(diǎn)的兩條 ____ ____ 組成的圖形叫做角．這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的 __ ______ ，這兩條射線叫做角的 __ ______ 角的 概念 定義 2 一條射線繞著它的 ____ ____ 從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形叫做角 角的 分類 角按照大小可以分為平角、周角、 _ ___ 、 ____ 、鈍角 角的大小比較 (1) 疊合法 (2) 度量法 射線 頂點(diǎn) 兩邊 端點(diǎn) 直角 銳角 第 17講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 定義 從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線 角平分線 性質(zhì) 角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等 考點(diǎn) 3 幾何計(jì)數(shù) 第 17講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 1 數(shù)直線 的條數(shù) 過任意 三個(gè)不在同一直線上的 n 個(gè)點(diǎn)中的兩個(gè) 點(diǎn)可以畫 _ ____ __ __ __ 條 2 數(shù)線段 的條數(shù) 線段上共有 n 個(gè)點(diǎn) ( 包括兩個(gè)端點(diǎn) ) 時(shí)，共有線段 __ ___ ___ ___ 條 3 數(shù)角的 個(gè)數(shù) 從一點(diǎn)出發(fā)的 n 條直線可組成 ___ ___ ___ 個(gè)角 4 數(shù)交點(diǎn) 的個(gè)數(shù) n 條直線最多有 ____ ___ ____ 個(gè)交點(diǎn) 5 數(shù)直線 分平面 的份數(shù) 平面內(nèi)有 n 條直線，最多可以把平面分成 __ ___ ___ ___ 個(gè)部分 n （ n － 1 ）2 n （ n － 1 ）2 n （ n － 1 ）2 n （ n － 1 ）2 n 2 ＋ n ＋ 22 考點(diǎn) 4 互為余角、互為補(bǔ)角 第 17講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 定義 如果兩個(gè)角的和等于 90 176。 ，則這兩個(gè)角互余 互為余角 性質(zhì) 同角 ( 或等角 ) 的余角 ________ 定義 如果兩個(gè)角的和等于 180 176。 相等 相等 考點(diǎn) 5 鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角 第 17講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 鄰補(bǔ)角 定義 若兩角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角 定義 兩條直線相交所形成的角中，沒有公共邊的兩個(gè)角互為對(duì)頂角 對(duì)頂角 性質(zhì) 對(duì)頂角相等 考點(diǎn) 6 “三線八角”的概念 第 17講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 同位角 如果兩個(gè)角在截線 l 的同側(cè)，且在被截直線 a 、 b 的同一方向叫做同位角 ( 位置相同 ) ． ∠ 1 和 ∠ 5 ， ∠ 4 和 ∠ 8 ， ∠ 2 和 ∠ 6 ，∠ 3 和 ∠ 7 是同位角 內(nèi)錯(cuò)角 如果兩個(gè)角在截線 l 的兩旁 ( 交錯(cuò) ) ，在被截線 a 、 b 之間 ( 內(nèi) ) 叫做內(nèi)錯(cuò)角 ( 位置在內(nèi)且交錯(cuò) ) ． ∠ 2 和 ∠ 8 ， ∠ 3 和 ∠ 5 是內(nèi)錯(cuò)角 同旁 內(nèi)角 如果兩個(gè)角在截線 l 的同側(cè)，在被截直線a 、 b 之間 ( 內(nèi) ) 叫做同旁內(nèi)角． ∠ 5 和 ∠ 2 ，∠ 3 和 ∠ 8 是同旁內(nèi)角 考點(diǎn) 7 平行 第 17講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 平行線的 定義 在同一平面內(nèi)， ______ 的兩條直線叫做平行線 平行 公理 經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有 ____ 條直線與這條直線 ______ 平行公理 的推論 如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相 ________ 不相交 一 平行 平行 第 17講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 同位角相等，兩直線平行 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 平行線的 判定 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 兩直線平行， 同位角相等 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 平行線的 性質(zhì) 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) 考點(diǎn) 8 垂直 第 17講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 定義 如果兩條直線相交成 __ ____ ，那么這兩條直線互相垂直，其中一條叫做 另一條的垂線，互相垂直的兩條直線的交點(diǎn)叫做 __ ____ 垂直 特別說明 (1) 兩條直線垂直是兩條直線相交的特殊情況，特殊在它們所交的角是直角； ( 2 ) 線段與線段、射線與線段、射線與射線的垂直，都是指它們所在直線垂直 垂直的性質(zhì) 在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有 __ ____ 條直線與已知直線垂直 直角 垂足 一 第 17講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 定義 從直線外一點(diǎn)引一條直線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做____________ 垂線段 性質(zhì) 直線外各點(diǎn)與直線上各點(diǎn)所連的線段中， ____________ 最短 點(diǎn)到直線的距離 直線外一點(diǎn)到這條直線的 ________ 的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離 垂線段 垂線段 垂線段 第 17講 ┃ 歸類示例 歸類示例 ? 類型之一 線與角的概念和基本性質(zhì) 命題角度： 1. 線段、射線和直線的性質(zhì)及計(jì)算； 2. 角的有關(guān)性質(zhì)及計(jì) 算 ． 第 17講 ┃ 歸類示例 [ 2021 ，則 ∠ BOM 等于 ( ) 圖 17 － 1 A ． 38 176。 C ． 142 176。 C 第 17講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] 根據(jù)對(duì)頂角相等求出 ∠ AOC 的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出 ∠ AOM 的度數(shù)，然后根據(jù)平角等于 180 176。 ， ∴∠ AOC ＝ ∠ BOD ＝ 76 176。 ＝ 38 176。 － ∠ AOM ＝ 180 176。 ＝ 142 176。 義烏 ] 如圖 17 － 2 ，已知 a ∥ b ，小亮把三角板的直角頂點(diǎn)放在直線 b 上．若 ∠ 1 ＝ 40 176。 第 17講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] 如圖， ∵∠ 1 ＝ 40 176。－ ∠ 1 － 90 176。 － 40 176。 ＝ 50 176。 .故答案為： 50 176。蕪湖 ] 一個(gè)角的補(bǔ)角是 36 176。 25 ′ [ 解析 ] 這個(gè)角為 180 176。 35 ′ ＝ 143 176。 － ( ∠ P A B ＋ ∠ P C D ) ； ③∠ A P C ＝ ∠ P A B － ∠ P C D ； ④∠ A P C ＝ ∠ P C D － ∠ P A B . 如證明 ① ∠ A P C ＝ ∠ P A B ＋ ∠ P C D . 第 17講 ┃ 歸類示例 證明：過 P 點(diǎn)作 PE ∥ AB ， 所以 ∠ A ＝ ∠ A P E . 又因?yàn)?AB ∥ CD ，所以 PE ∥ CD ，所以 ∠ C ＝ ∠ C P E ， 所以 ∠ A ＋ ∠ C ＝ ∠ A P E ＋ ∠ C P E ， ∴∠ A P C ＝ ∠ P A B ＋ ∠ P C D . 同理可證明其他的結(jié)論 ． 第 17講 ┃ 歸類示例 平行線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用，是解決與平行線有關(guān)問題的常用方法 ． 先由 “ 形 ” 得到 “ 數(shù) ” ，即應(yīng)用特征得到角相等 ( 或互補(bǔ) ) ，再利用角之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，得到新的關(guān)系 ． 然后再由 “ 數(shù) ” 到 “ 形 ” 得到一組新的平行 ． 第 18講 ┃ 三角形的邊角關(guān)系 第 18講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 1 三角形的分類 1 ． 按角分： 三角形????? 直角三角形斜三角形?????銳角三角形鈍角三角形 2 ． 按邊分： 三角形????? 不等邊三角形等腰三角形?????底邊和腰不相等的等腰三角形等邊三角形 第 18講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 2 三角形中的重要線段 重要線段 交點(diǎn)位置 中線 三角形的 三條中線的交點(diǎn)在三角形的 ______ 部 角平分線 三角形的三條角平分線的交點(diǎn)在三角形的______ 部 高 ______ 三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部； ____ 三角形的三條高的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)；______ 三角形的三條高所在直線的交點(diǎn)在三角形的外部 內(nèi) 內(nèi) 銳角 直角 鈍角 第 18講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 3 三角形的中位線 定義 連 接 三角形兩邊的 ____ __ 的線段叫三角形的中位線 定理 三角形的中位線 ______ 于第三邊，并且等于它的______ 總結(jié) (1) 一個(gè)三角形有三條中位線； (2) 三角形的中位線分得三角形兩部分的面積比為 1 ∶ 3 中點(diǎn) 平行 一半 第 18講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 4 三角形的三邊關(guān)系 定理 三角形的 兩邊之和 ____ ____ 第三邊 推理 三角形 的 兩邊 只差 ____ ____ 第三邊 三角形的 穩(wěn)定性 三條線段組成三角形后，形狀無法改變是穩(wěn)定性的體現(xiàn) 大于 小于 第 18講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 5 三角形的內(nèi)角和定理及推理 定理 三角形的內(nèi)角和等于 __ ______ 1. 三角形的一個(gè)外角等于和它________ __________ 的和 2. 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它________________ 的內(nèi)角 3. 直角三角形的兩個(gè)銳角 ________ 推論 4. 三角形的外角和為 __ ______ 拓展 在任意一個(gè)三角形中，最多有三個(gè)銳角，最少有兩個(gè)銳角；最多有一個(gè)鈍角，最多有一個(gè)直角 180176。 第 18講 ┃ 歸類示例 歸類示例 ? 類型之一 三角形三邊的關(guān)系 命題角度： 1. 判斷三條線段能否組成三角形； 2. 求字母的取值范圍； 3. 三角形的穩(wěn)定性 ． [ 2021 鹽城 ] 如圖 18 － 1 ，在 △ ABC 中， D 、 E 分別是邊 AB 、 AC 的中點(diǎn)， ∠ B ＝ 50 176。 第 18講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] 由折疊的性質(zhì)可知 AD ＝ A 1 D ，根據(jù)中位線的性質(zhì)得 DE ∥ BC ；然后由兩直線平行，同位角相等推知 ∠ ADE＝ ∠ B ＝ 50 176。 － 2 ∠ B ＝ 80 176。 樂山 ] 如圖 18 － 2 ， ∠ ACD