【正文】 1 5 ∠ CAD ＝ 30 176。 ＝6 ＋ 24， sin 1 5 176。 得出 DC ＝12AC ， 由三角函數(shù)求出 AD 即可． (2 ) 過點 N 作 NE ⊥ AD 于點 E ， 作 NF ⊥ DC 的延長線于點 F ， 則 NE ＝ DF .求出 ∠ FCN ＝ 75 176。由三角函 數(shù)求出 CF ， 得 NE ＝ DF ， 即可得出結(jié)果； (3 ) 由三角函數(shù)求出 FN ， 得出 PF ， △ PM N 的面積 y ＝梯形 M DFN 的面積－ △ PM D 的面積－ △ PM F 的面積 ， 得出 y 是 x 的二次函數(shù) ， 即可得出 y 的最大值． 答案 (1 )2 6 2 2 (2 ) 如解圖 ， 過點 N 作 NE ⊥ AD 于點 E ， 作 NF ⊥ DC的延長線于點 F ， 則 NE ＝ DF . ∵ ∠ ACD ＝ 60 176。 ， ∴∠ NCF ＝ 75 176。 ∴ sin ∠ FNC ＝ sin 1 5 176。 ＝FNNC＝6 － 24， ∴ FN ＝6 ＋ 24x . ∵ PD ＝ CP ＝ 2 ， ∴ PF ＝ FC ＋ CP ＝6 － 24x ＋ 2 ， ∴ y ＝ S 梯形M D F N－ S △P MD－ S △P N F＝12( MD ＋ NF ) PD －12NF ( DF － PD ) ＋12NF PF ＋12NF 6 ＋ 24x 衡陽 ) 如圖 ， 四邊形 OABC 是邊長為 4 的正方形 ， 點 P 為 OA 邊上任意一點 ( 與點 O ， A不重合 ) ， 連結(jié) CP ， 過點 P 作 PM ⊥ CP 交 AB 于點 D ，且 PM ＝ CP ， 過點 M 作 MN ∥ OA ， 交 BO 于點 N ， 連結(jié)ND ， BM ， 設(shè) OP ＝ t . (1 ) 求點 M 的坐標(biāo) ( 用含 t 的代數(shù)式表示 ) ． (2 ) 試判斷線段 MN 的長度是否隨點 P 的位置的變化而改變？并說 明理由． (3 ) 當(dāng) t 為何值時 ， 四邊形 BND M 的面積最?。? ( 變式訓(xùn)練 3 題圖 ) 解析 (1 ) 過點 M 作 ME ⊥ x 軸于點 E ， 則 ∠ M EP ＝ 90 176。 . ∴∠ OPC ＋ ∠ M PE ＝ 90 176。 ∴∠ M PE ＝ ∠ PCO . 又 ∵ PM ＝ CP ， ∴△ M PE ≌△ PCO ， ∴ PE ＝ CO ＝ 4 ， ME ＝ PO ＝ t， ∴ OE ＝ 4 ＋ t， ∴ 點 M 的坐標(biāo)為 (4 ＋ t， t ) ． (2 ) 線段 MN 的長度不變．理由如下： 由題意知： OA ＝ OB ＝ 4 ， ∴ 點 B 坐標(biāo)為 (4 ， 4 ) ， ∴ 直線 OB 的表達式為 y ＝ x ， ∵ MN ∥ OA ， 點 M 為 (4 ＋ t， t ) ， ∴ 點 N 的坐標(biāo)為 ( t， t ) ， ∴ MN ＝????（ 4 ＋ t）－ t ＝ 4 ， 即線段 MN 的長度不變． ( 變 式訓(xùn)練 3 題圖解 ) (3 ) 由 (1 ) 知： ∠ M PE ＝ ∠ PCO ， 又 ∠ DAP ＝ ∠ POC ＝ 90 176。 BD ， 即 S ＝12 4 t2－ 4 t＋ 164＝12t2－ 2 t＋ 8 ＝12( t－ 2)2＋ 6 . ∵ t＝12＞ 0 ， ∴ S 有最小值 ， 且當(dāng) t＝ 2 時 ， S 最小 ， S 最小值 ＝ 6. 總 結(jié) 回 碩 ： 解決點動產(chǎn)生的計算說理題 ， 關(guān) 鍵是抓住點 ，由點到線段再到圖形． 此類問題涉及計算與說理 ， 計算時常常用到勾股定理、三角函數(shù)、面積計算等相關(guān)知識 ， 說理時往往較綜合 ， 涉及幾何圖形的相關(guān)性質(zhì)與判定方法等 ， 有時需要借助函數(shù)解決 . 題 型 四 圖形運動變化過程中的分類討論問題 【例 4 】 ( 2 0 1 5 ， AO ＝ 2 ， WO ＝ 3 3 ， ∴ AW ＝ 31 . 由題意易證 Rt △ W AO ∽ Rt △ Q ′KH ， ∴Q ′ HQ ′ K＝WOAW， 即3????????176－ t＝3 331， ∴ t1＝17 － 2 316或 t2＝17 ＋ 2 316. ∵ 0 ≤ t1≤132， 0 ≤ t2≤132， ∴ t1， t2均符合條件． 現(xiàn)分兩種情況討論： ① 當(dāng) t1＝17 － 2 316時 ， 點 Q ′(31 － 43， 3 ) ， P ′ (5 ＋ 313， 0 ) ． ∵ 031 － 430 ，5 ＋ 313 2 . ∴ 重疊部 分如解圖 ① 所示的等邊三角形 Q ′H1I1： S ＝12I1H1 I2P ′ ＝3 38 ????????132－ t2 ＝3 38????????132－17 ＋ 2 3162＝76 3 － 11 9312. 綜上 ， 當(dāng)點 Q ′到 x 軸的距離與點 Q ′到直線 AW 的距離相等時 ， S ＝1 3 1 3 － 20 9327或 S ＝76 3 － 11 9312. 變式訓(xùn)練 4 (2 0 1 5 F M 可求出 S 的最大值； ② 當(dāng)點 M 在 CG上時 ， 即 2 2 ＜ t＜ 4 2 時 ， 先證明 △ ACD ≌△ GC D ， 得出 ∠ ACD ＝ ∠ GC D ＝45 176。 ， 證出 △ M FG 為等腰直角三角形 ， 得出 FG ＝ MG ＝ 4 －22t， 得出 S ＝ S △A CG－ S △CMJ－ S △F MG， S 為 t 的 二次函數(shù)，可求出最大值． ①② 最值比較即可求出結(jié)果． 答案 (1 ) 存在；當(dāng)點 M 為 AC 的中點時 ， AM ＝ BM ， 則 △ AB M 為等腰三角形； 當(dāng)點 M 與點 C 重合時 ， AB ＝ BM ， 則 △ ABM 為等腰三角形； 當(dāng)點 M 在 AC 上且 AM ＝ 2 時 ， AM ＝ AB ， 則 △ ABM 為等腰三角形； 當(dāng)點 M 為 CG 的中點時 ， AM ＝ BM ， 則 △ ABM 為等腰三角形． (2 ) 證明：在 AB 上截取 AK ＝ AN ， 連結(jié) KN . 如解圖 ① 所示． ( 變式訓(xùn)練 4 題圖解 ① ) ∵ 四邊形 AB CD 是正方形 ， ∴∠ ADC ＝ 90 176。 . ∵ BK ＝ AB － AK ， ND ＝ AD － AN ， ∴ BK ＝ DN . ∵ DH 平分 ∠ CD G ， ∴∠ CD H ＝ 4 5 176。 ＋ 45 176。 ∴∠ BKN ＝ 1 8 0 176。 ∴∠ BKN ＝ ∠ ND H ， 在 Rt △ ABN 中 ，ABN ＋ ∠ ANB ＝ 90 176。 ∴∠ ANB ＋ ∠ DN H ＝ 1 8 0 176。 ∴∠ ABN ＝ ∠ DN H ， 在 △ BNK 和 △ NH D 中 ， ∵?????∠ ABN ＝ ∠ DN H ，BK ＝ DN ，∠ BKN ＝ ∠ ND H ， ∴△ BNK ≌△ NH D ( AS A ) ， ∴ BN ＝ NH . (3 ) ① 當(dāng)點 M 在 AC 上時 ， 即 0 ＜ t≤ 2 2 時 ， 易知 △ AM F 為等腰直角三角形． ∵ AM ＝ t， ∴ AF ＝ FM ＝22t， ∴ S ＝12AF 22t ∴∠ ACM ＝ ∠ ACD ＋ ∠ GC D ＝ 90 176。 － ∠ GC D ＝ 45 176。 c o s 4 5 176。22＝ 4 －22t， ∴ S ＝ S △A CG－ S △CMJ－ S △F MG＝12 4 2 －12CM FG ＝ 4 －12( t－2 2 )2－12(4 －22t )2＝－34t2＋ 4 2 t－ 8 ＝－34( t－832 )2＋83， ∴ 當(dāng) t＝ 83 2 時 ， S 的最大值為 83 . ∵ 83 2 ， ∴ 當(dāng) t＝－ 83 2 時 ， S 最大 ， 最大值為 83 . 總 結(jié) 回 顧 ： 圖形運動中會產(chǎn)生不同的位置、形成不同的圖形形狀、對應(yīng)關(guān)系也會隨著圖形的變化而改變 ， 所以在解決此類問題時 ， 要注意分類討論 ，分類討論可以根據(jù)點的位置不同、 圖形的形狀、對應(yīng)關(guān)系等為依據(jù) ，但分類討論容易遺漏，解題時要 特別關(guān)注．