【導(dǎo)讀】第17講┃幾何初步及平行線、相交線?？键c1三種基本圖形——直線、射線、線段。直線公理經(jīng)過兩點有且只有________條直線。線段公理兩點之間，________最短。定義1有公共端點的兩條________組。叫做角的________，這兩條射線。定義2一條射線繞著它的________從。一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所。角按照大小可以分為平角、周角、____、____、性質(zhì)角平分線上的點到這個角兩邊的距離。過任意三個不在同一直線上的n個點中的兩個。線段上共有n個點時，共有線段。從一點出發(fā)的n條直線可組成_________個角。平面內(nèi)有n條直線，最多可以把平面分成。若兩角有一條公共邊，它們的另一邊互。為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，考點6“三線八角”的概念。同)．∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角。的直角頂點放在直線b上．若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為。計算角度問題時，要注意挖掘圖形中的隱含條件(三角。形內(nèi)角和、互為余角或補角、平行性質(zhì)、垂直)及角平分線。類型之三度、分、秒的計算。1．度、分、秒的換算；

　　

【正文】 AB 的黃金分割點， AC 與 AB 的比叫做黃金比，黃金比約為 ________ 一條線段的黃金分割點有______ 個 a ∶ b ＝ c∶ d AC ＝ 5 － 12 AB 兩 第 22講 ┃ 考點聚焦 考點 3 相似三角形的判定 判定定理 1 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形 ____________ 判定定理 2 如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的__________________ ，那么這兩個三角 形相似 判定定理 3 如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且____________ 相等，那么這兩個三角形相似 判定定理 4 如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的 ____ 相等，那么這兩個三角形相似 拓展 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似 相似 兩個角對應(yīng)相等 相應(yīng)的夾角 比 第 22講 ┃ 考點聚焦 考點 4 相似三角形及相似多邊形的性質(zhì) ( 1) 相似三角形周長的比等于相似比 ( 2) 相似三角形面積的比等于相似比的平方 三角形 ( 3) 相似三角形對應(yīng)高、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)中線的比等于相似比 ( 1) 相似多邊形周長的比等于相似比 相 似多 邊形 ( 2) 相似多邊形面積的比等于相似比的平方 第 22講 ┃ 考點聚焦 考點 5 位似 位似圖形定義 兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點間連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心 位似與相 似關(guān)系 位似是一種特殊的相似，構(gòu)成位似的兩個圖形不僅相 似，而且對應(yīng)點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行 位似圖形 的性質(zhì) (1) 位似圖形上的任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離的比等于 ________ ； (2) 位似圖形對應(yīng)點的連線或延長線相交于________ 點； (3) 位似圖形對應(yīng)邊 __ ____( 或在一條直線上 ) ； (4) 位似圖形對應(yīng)角相等 相似比 一 平行 第 22講 ┃ 考點聚焦 以坐標(biāo)原 點為中心 的位似變換 在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似是以原點為位似中心，相似比為 k ，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于 ________ 位似 作圖 (1) 確定位似中心 O ； (2) 連結(jié)圖形各頂點與位似中心 O 的線段 ( 或延長線 ) ； (3) 按照相似比取點； (4) 順次連結(jié)各點，所得圖形就是所求的圖形 k或－ k 第 22講 ┃ 考點聚焦 考點 6 相似三角形的應(yīng)用 幾何圖形的證明與計算 常見 問題 證明線段的數(shù)量關(guān)系，求線段的長度，圖形的面積大小等 建模 思想 建立相似三角形模型 相似三角形在實際生活中的應(yīng)用 常見 題目 類型 (1) 利用投影、平行線、標(biāo)桿等構(gòu)造相似三角形求解； (2) 測量底部可以 達到的物體的高度； ( 3) 測量底部不可以到達的物體的高度； (4) 測量不可以達到的河的寬度 第 22講 ┃ 歸類示例 歸類示例 ? 類型之一 比例的性質(zhì) 命題角度： ( 1 ) 基本性質(zhì)的應(yīng)用； ( 2 ) 合比性質(zhì)的應(yīng)用； ( 3 ) 等比性質(zhì)的應(yīng)用 ． 已知x3 ＝y(tǒng)4 ＝z6 ≠ 0 ，求x ＋ y － zx － y ＋ z的值 ． 第 22講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] 設(shè)比值為 k ，得 x ＝ 3 k ， y ＝ 4 k ， z ＝ 6 k ，就可以將x ＋ y － zx － y ＋ z轉(zhuǎn)化成只含有 k 的式子，采用換元的方法從而化簡求出結(jié)果． 解： 設(shè)x3＝y(tǒng)4＝z6＝ k ( k ≠ 0 ) ，根據(jù)題意，得 x ＝ 3 k ， y ＝ 4 k ， z ＝ 6 k ， 所以x ＋ y － zx － y ＋ z＝3 k ＋ 4 k － 6 k3 k － 4 k ＋ 6 k＝k5 k＝15. 第 22講 ┃ 歸類示例 這類題一般我們是設(shè)輔助未知數(shù) k ，即比值為 k ，把所有字母都用含有 k 的式子表示出來，從而達到計算或化簡的目的 ． ? 類型之二 黃金分割 第 22講 ┃ 歸類示例 命題角度： ( 1 ) 黃金分割的定義； ( 2 ) 利用黃金分割求線段長 ． 寬 與長的比是5 － 12的矩形叫黃金矩形 ． 心理測試表明：黃金矩形令人賞心悅目，它給我們以協(xié)調(diào)，勻稱的美感 ． 現(xiàn)將小波同學(xué)在數(shù)學(xué)活動課中，折疊黃金矩形的方法歸納如下 ( 如圖 22 － 1 所示 ) ： 第一步：作一個正方形 ABCD ； 第二步：分別取 AD ， BC 的中點 M ， N ，連接 MN ； 第三步：以 N 為圓心， ND 長為半徑畫弧，交 BC 的延長線于 E ； 第四步：過 E 作 EF ⊥ AD ，交 AD 的延長線于 F . 第 22講 ┃ 歸類示例 請你根據(jù)以上作法，證明矩形 D C E F 為黃金矩形 ． 圖 22 － 1 第 22講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] 證明矩形 DCEF 為黃金矩形，只要證明CECD＝5 － 12即可． 證明： 在正方形 AB C D 中，取 AB ＝ 2 a ， ∵ N 為 BC 的中點， ∴ NC ＝12BC ＝ a . 在 Rt △ DNC 中， ND ＝ NC2＋ CD2＝ a2＋（ 2 a ）2＝ 5 a . 又 ∵ NE ＝ ND ， ∴ CE ＝ NE － NC ＝ ( 5 － 1) a . ∴CECD＝（ 5 － 1 ） a2 a＝5 － 12. 故矩形 DCEF 為黃金矩形． ? 類型之三 相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用 第 22講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 利用相似三角形性質(zhì)求角的度數(shù)或線段的長度； 2 . 利用相似三角形性質(zhì)探求比值關(guān)系． 第 22講 ┃ 歸類示例 [ 201 1 懷化 ] 如圖 22 － 2 ， △ ABC ，是一張銳角三角形的硬紙片， AD 是邊 BC 上的高， BC ＝ 40 c m ， AD ＝ 30 cm ，從這張硬紙片上剪下一個長 HG 是寬 HE 的 2 倍的矩形 E F GH ，使它的一邊EF 在 BC 上，頂點 G 、 H 分別在 AC ， AB 上， AD 與 HG 的交點為 M . ( 1) 求證：AMAD＝HGBC； ( 2) 求這個矩形 E F GH 的周長． 圖 22 － 2 第 22講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] ( 1 ) 證明 △ A HG ∽△ ABC ，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，證明結(jié)論 ． ( 2 ) 設(shè) HE ＝ x ，則 HG ＝ 2 x ，利用第一問中的結(jié)論求解 ． 解： (1) 證明： ∵ 四邊形 EFGH 為矩形， ∴ EF ∥ GH . ∴∠ AHG ＝ ∠ ABC . 又 ∵∠ HA G ＝ ∠ BAC ， ∴△ AHG ∽△ ABC ， ∴ AMAD＝HGBC. (2) 由 (1) 得AMAD＝HGBC. 設(shè) HE ＝ x ，則 HG ＝ 2 x ， AM ＝ AD －DM ＝ AD － HE ＝ 30 － x . 可得30 － x30＝2 x40，解得 x ＝ 12 ， 2 x ＝ 24. 所以矩形 EFGH 的周長為 2 (12 ＋ 24) ＝ 72( cm ) ． ? 類型之四 三角形相似的判定方法及其應(yīng)用 第 22講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1 ． 利用兩個角判定三角形相似； 2 ． 利用兩邊及夾角判定三角形相似； 3 ． 利用三邊判定三角形相似 . 第 22講 ┃ 歸類示例 [ 2021 涼山州 ] 如圖 22 － 3 ，在矩形 A BCD 中， AB ＝ 6 ，AD ＝ 12 ，點 E 在 AD 邊上，且 AE ＝ 8 ， EF ⊥ BE 交 CD 于 F . (1) 求證： △ ABE ∽△ DEF ； (2) 求 EF 的長． 圖 22 － 3 第 22講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] ( 1) 由四邊形 ABCD 是矩形，易得 ∠ A ＝ ∠ D ＝ 90 176。 ，又由 EF ⊥ BE ，利用同角的余角相等，即可得 ∠ DE F ＝ ∠ ABE ，則可證得 △ ABE ∽△ DE F ； ( 2) 由 ( 1) △ ABE ∽△ DE F ，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可得BEEF＝ABDE，又由 AB ＝ 6 ， AD ＝ 12 ， AE ＝ 8 ，利用勾股定理求得 BE 的長，由 DE ＝ AD － AE ，求得 DE 的長，繼而求得EF 的長． 第 22講 ┃ 歸類示例 解： ( 1) 證明： ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴∠ A ＝ ∠ D ＝ 90 176。 ， ∴∠ AEB ＋ ∠ ABE ＝ 90 176。 . ∵ EF ⊥ BE ， ∴∠ AEB ＋ ∠ DE F ＝ 90 176。 ， ∴∠ DE F ＝ ∠ ABE ， ∴△ ABE ∽△ DE F ； ( 2) ∵△ ABE ∽△ DE F ， ∴BEEF＝ABDE. ∵ AB ＝ 6 ， AD ＝ 12 ， AE ＝ 8 ， ∴ BE ＝ AB2＋ AE2＝ 10 ， DE ＝ AD － AE ＝ 12 － 8 ＝ 4 ， ∴10EF＝64， 解得 EF ＝203. 第 22講 ┃ 歸類示例 如圖 22 － 4 ，在 △ ABC 和 △ A D E 中， ∠ BAD ＝ ∠ CAE ， ∠ ABC ＝ ∠ A D E . ( 1) 寫出圖中兩對相似三角形 ( 不得添加輔助線 ) ； ( 2) 請分別說明兩對三角形相似的理由． 圖 22 － 4 第 22講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] ( 1 ) △ ABC ∽△ A D E , △ ABD ∽△ ACE ； ( 2 ) 利用∠ BAC ＝ ∠ D A E 和 ∠ ABC ＝ ∠ A D E 證 △ ABC ∽△ A D E ，由△ ABC ∽△ A D E 得ABAD＝ACAE，可證 △ ABD ∽△ ACE . 第 22講 ┃ 歸類示例 解： ( 1 ) △ ABC ∽△ A DE ， △ ABD ∽△ ACE . ( 2 ) ① 證 △ ABC ∽△ A DE . ∵∠ BAD ＝ ∠ CAE ， ∴∠ BAD ＋ ∠ DA C ＝ ∠ CAE ＋ ∠ DA C ， 即 ∠ BAC ＝ ∠ DA E . 又 ∵∠ ABC ＝ ∠ A DE ， ∴△ ABC ∽△ A DE . ② 證 △ ABD ∽△ ACE . ∵△ ABC ∽△ A DE ， ∴ABAD＝ACAE. 又 ∵∠ BAD ＝ ∠ CAE ， ∴△ ABD ∽△ ACE . 第 22講 ┃ 歸類示例 判定兩個三角形相似的常規(guī)思路： ① 先找兩對對應(yīng)角相等； ② 若只能找到一對對應(yīng)角相等，則判斷相等的角的兩夾邊是否對應(yīng)成比例； ③ 若找不到角相等，就判斷三邊是否對應(yīng)成比例，否則可考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的 “ 傳遞性 ” ． ? 類型之五 位似 第 22講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 位似圖形及位似中心定義； 2. 位似圖形的性質(zhì)應(yīng)用； 3. 利用位似變換在網(wǎng)格紙里作圖 ． 第 22講 ┃ 歸類示例 [ 2021 玉林 ] 如圖 22 － 5 ，正方形 AB C D 的兩邊 BC 、 AB 分別在平面直角坐標(biāo)系的 x 軸、 y 軸的正半軸上，正方形 A ′ B ′ C ′ D ′與正方形 AB C D 是以 AC 的中點 O ′ 為中心的位似圖形，已知 AC＝ 3 2 ，若點 A ′ 的坐標(biāo)為 (1 ， 2) ，則正方形 A ′ B ′ C ′ D ′ 與正方形 AB C D 的相似比是 ( ) 圖 22 － 5 A.16 B.13 C.12 D.23 B 第 22講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] 延長 A ′ B ′ 交 BC 于點 E ，根據(jù)大正方形的對角線長求得其邊長，然后求得小正方形的邊長后即可求兩個正方形的相似比． ∵ 在正方形 ABCD 中， AC ＝ 3 2 ， ∴ BC ＝ AB ＝ 3. 第 22講 ┃ 歸類示例