【正文】 玉林 ] 如圖 22 － 5 ，正方形 AB C D 的兩邊 BC 、 AB 分別在平面直角坐標(biāo)系的 x 軸、 y 軸的正半軸上，正方形 A ′ B ′ C ′ D ′與正方形 AB C D 是以 AC 的中點(diǎn) O ′ 為中心的位似圖形，已知 AC＝ 3 2 ，若點(diǎn) A ′ 的坐標(biāo)為 (1 ， 2) ，則正方形 A ′ B ′ C ′ D ′ 與正方形 AB C D 的相似比是 ( ) 圖 22 － 5 A.16 B.13 C.12 D.23 B 第 22講 ┃ 歸類(lèi)示例 [ 解析 ] 延長(zhǎng) A ′ B ′ 交 BC 于點(diǎn) E ，根據(jù)大正方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)求得其邊長(zhǎng)，然后求得小正方形的邊長(zhǎng)后即可求兩個(gè)正方形的相似比． ∵ 在正方形 ABCD 中， AC ＝ 3 2 ， ∴ BC ＝ AB ＝ 3. 第 22講 ┃ 歸類(lèi)示例
。 . ∵ EF ⊥ BE ， ∴∠ AEB ＋ ∠ DE F ＝ 90 176。 ，又由 EF ⊥ BE ，利用同角的余角相等，即可得 ∠ DE F ＝ ∠ ABE ，則可證得 △ ABE ∽△ DE F ； ( 2) 由 ( 1) △ ABE ∽△ DE F ，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得BEEF＝ABDE，又由 AB ＝ 6 ， AD ＝ 12 ， AE ＝ 8 ，利用勾股定理求得 BE 的長(zhǎng)，由 DE ＝ AD － AE ，求得 DE 的長(zhǎng)，繼而求得EF 的長(zhǎng)． 第 22講 ┃ 歸類(lèi)示例 解： ( 1) 證明： ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴∠ A ＝ ∠ D ＝ 90 176。 懷化 ] 如圖 22 － 2 ， △ ABC ，是一張銳角三角形的硬紙片， AD 是邊 BC 上的高， BC ＝ 40 c m ， AD ＝ 30 cm ，從這張硬紙片上剪下一個(gè)長(zhǎng) HG 是寬 HE 的 2 倍的矩形 E F GH ，使它的一邊EF 在 BC 上，頂點(diǎn) G 、 H 分別在 AC ， AB 上， AD 與 HG 的交點(diǎn)為 M . ( 1) 求證：AMAD＝HGBC； ( 2) 求這個(gè)矩形 E F GH 的周長(zhǎng)． 圖 22 － 2 第 22講 ┃ 歸類(lèi)示例 [ 解析 ] ( 1 ) 證明 △ A HG ∽△ ABC ，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，證明結(jié)論 ． ( 2 ) 設(shè) HE ＝ x ，則 HG ＝ 2 x ，利用第一問(wèn)中的結(jié)論求解 ． 解： (1) 證明： ∵ 四邊形 EFGH 為矩形， ∴ EF ∥ GH . ∴∠ AHG ＝ ∠ ABC . 又 ∵∠ HA G ＝ ∠ BAC ， ∴△ AHG ∽△ ABC ， ∴ AMAD＝HGBC. (2) 由 (1) 得AMAD＝HGBC. 設(shè) HE ＝ x ，則 HG ＝ 2 x ， AM ＝ AD －DM ＝ AD － HE ＝ 30 － x . 可得30 － x30＝2 x40，解得 x ＝ 12 ， 2 x ＝ 24. 所以矩形 EFGH 的周長(zhǎng)為 2 (12 ＋ 24) ＝ 72( cm ) ． ? 類(lèi)型之四 三角形相似的判定方法及其應(yīng)用 第 22講 ┃ 歸類(lèi)示例 命題角度： 1 ． 利用兩個(gè)角判定三角形相似； 2 ． 利用兩邊及夾角判定三角形相似； 3 ． 利用三邊判定三角形相似 . 第 22講 ┃ 歸類(lèi)示例 [ 2021 角的直角三角形按一定規(guī)律長(zhǎng)成的勾股樹(shù)，樹(shù)主干自下而上第一個(gè)正方形和第一個(gè)直角三角形的面積之和為S1，第二個(gè)正方形和第二個(gè)直角三角形的面積之和為 S2， ? ，第 n 個(gè)正方形和第 n 個(gè)直角三角形的面積之和為 Sn. 設(shè)第一 個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為 1. 圖 21 － 5 第 21講 ┃ 回歸教材 請(qǐng)解答下列問(wèn)題： (1) S 1 ＝ ____ ____ ； (2) 通過(guò)探究，用含 n 的代數(shù)式表示 S n ，則 S n ＝ ___ ____________ ____________ _ . 1 ＋ 38 ????????1 ＋ 38 貴陽(yáng) ] 如圖 21 － 4 ，已知等腰 Rt △ ABC 的直角邊長(zhǎng)為 1 ，以 Rt △ ABC 的斜邊 AC 為直角邊，畫(huà)第二個(gè)等腰Rt △ ACD ，再以 Rt △ ACD 的斜邊 AD 為直角邊，畫(huà)第三個(gè)等腰 Rt △ ADE ， ? ，依此類(lèi)推直到第五個(gè)等腰 Rt △ AFG ，則由這五個(gè)等腰直角三角形所構(gòu)成的圖形的面積為_(kāi)_______ ． 圖 21 － 4 312 第 21講 ┃ 回歸教材 [ 解析 ] 第 1 個(gè)三角形的面積為12，第 2 個(gè)三角形的面積為12 ( 2 )2＝ 1 ，第 3 個(gè)三角形的面積為12 22＝ 2 ，第 4 個(gè)三角形的面積為12 ( 8 )2＝ 4 ，第 5 個(gè)三角形的面積為12 42＝ 8 ，故這五個(gè)等腰直角三角形所構(gòu)成的圖形的面積為12＋ 1 ＋ 2 ＋ 4＋ 8 ＝312. 第 21講 ┃ 回歸教材 2 ． [ 2021 ， BC ＝ 3 厘米， AB ＝ 4 厘米， ∴ AC ＝ 32＋ 42＝ 5 ( 厘米 ) ． 在 Rt △ AFC 中， ∵∠ F A C ＝ 90 176。 5 ＝208989 . 第 21講 ┃ 歸類(lèi)示例 利用勾股定理求最短線(xiàn)路問(wèn)題的方法：將起點(diǎn)和終點(diǎn)所在的面展開(kāi)成為一個(gè)平面，進(jìn)而利用勾股定理求最短長(zhǎng)度 ． ? 類(lèi)型之三 勾股定理逆定理的應(yīng)用 第 21講 ┃ 歸類(lèi)示例 命題角度： 勾股定理逆定理 . [ 2021 BCAB＝9 1215＝3 65， 則點(diǎn) C 到 AB 的距離是365. 故選 A. 第 21講 ┃ 歸類(lèi)示例 勾股定理的作用： ( 1 ) 已知直角三角形的兩邊求第三邊； ( 2 ) 已知直角三角形的一邊求另兩邊的關(guān)系； ( 3 ) 用于證明平方關(guān)系的問(wèn)題 ． ? 類(lèi)型之二 實(shí)際問(wèn)題中勾股定理的應(yīng)用 第 21講 ┃ 歸類(lèi)示例 命題角度： 1. 求最短路線(xiàn)問(wèn)題； 2. 求有關(guān)長(zhǎng)度問(wèn)題 ． 第 21講 ┃ 歸類(lèi)示例 如圖 21 － 2 ，一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的木柜放在墻角處 ( 與墻面和地面均沒(méi)有縫隙 ) ，有一只螞蟻從柜角 A 處沿著木柜表面爬到柜角 C1處 ． 圖 21 － 2 ( 1 ) 請(qǐng)你畫(huà)出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑； ( 2 ) 當(dāng) AB ＝ 4 ， BC ＝ 4 ， CC1＝ 5 時(shí)，求螞蟻爬過(guò)的最短路徑的長(zhǎng)； ( 3 ) 求點(diǎn) B1到最短路徑的距離 ． 第 21講 ┃ 歸類(lèi)示例 解： ( 1) 如圖，木柜的表面展開(kāi)圖是兩個(gè)矩形 ABC1′ D1，和 ACC1A1. 螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的 AC ′1和 AC1. 第 21講 ┃ 歸類(lèi)示例 ( 2) 螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線(xiàn)段 A1B1到 C ′1，爬過(guò)的路徑的長(zhǎng)是l1＝ 42＋（ 4 ＋ 5 ）2＝ 97 . 螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線(xiàn)段 BB1到 C1，爬過(guò)的路徑的長(zhǎng)是 l2＝（ 4 ＋ 4 ）2＋ 52＝ 89 . l1 l2，最短路徑的長(zhǎng)是 l2＝ 89 . ( 3) 作 B1E ⊥ AC1于 E ，則 B1E ＝B1C1AC1 BC ＝12AB 廣州 ] 在 Rt △ ABC 中， ∠ C ＝ 90 176。 ，那么它所對(duì)的直角邊等于_ _ __ _ __ __ _ __ 性質(zhì) (3) 在直角三角形中，斜邊上的中線(xiàn)等于 __ __ _ __ _ __ __ (1) 兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形 是直角三角形 判定 (2) 一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半的三角形是直角三角形 拓展 (1) SRt △ ABC＝12ch ＝12ab ，其中 a 、 b 為兩直角邊， c 為斜邊， h 為斜邊上的高；(2) Rt △ A BC 內(nèi)切圓半徑 r ＝a ＋ b － c2，外接圓半徑 R ＝c2，即等于斜邊的一半 直角 斜邊的一半 斜邊的一半 第 21講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 2 勾股定理及逆定理 勾股 定理 直角三角形兩直角邊 a 、 b 的平方和，等于斜邊c 的平方．即： ____________ 逆定理 如果三角形的三邊長(zhǎng) a 、 b 、 c有關(guān)系： ____________ ，那么這個(gè)三角形是直角三角形 勾股定理的 逆定理 用途 (1) 判斷某三角形是否為直角三角形； (2) 證明兩條線(xiàn)段垂直； (3)解決生活實(shí)際問(wèn)題 勾股數(shù) 能構(gòu)成直角三角形的三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù) a 2＋ b 2＝ c 2 a 2＋ b 2＝ c 2 第 21講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 3 互逆命題 互逆 命題 如果兩個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反，我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題，如果我們把其中一個(gè)叫做 ________ ，那么另一個(gè)叫做它的________ 互逆 定理 若一個(gè)定理的逆定理是正確的，那么它就是這個(gè)定理的 ________ ，稱(chēng)這兩個(gè)定理為互逆定理 原命題 逆命題 逆定理 第 21講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 4 命題、定義 、 定理、公理 定義 在日常生活中，為了交流方便，我們就要對(duì)名稱(chēng)和術(shù)語(yǔ)的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，也就是給他們下定義 定義 判斷一件事情的句子叫做命題 正確的命題稱(chēng)為 ________ 分類(lèi) 錯(cuò)誤的命題稱(chēng)為 ________ 命題 組成 每個(gè)命題都由 ______ 和 ______ 兩個(gè)部分組成 公理 公認(rèn)的真命題稱(chēng)為 ____ ____ 定理 除公理以外，其他真命題的正確性都經(jīng)過(guò)推理的方法證實(shí)，推理的過(guò)程稱(chēng)為_(kāi)_______ ．經(jīng)過(guò)證明的真命題稱(chēng)為 ________ 真命題 假命題 條件 結(jié)論 公理 證明 定理 第 21講 ┃ 歸類(lèi)示例 歸類(lèi)示例 ? 類(lèi)型之一 利用勾股定理求線(xiàn)段的長(zhǎng)度 命題角 度： 1. 利用勾股定理求線(xiàn)段的長(zhǎng)度； 2. 利用勾股定理解決折疊問(wèn)題 ． 第 21講 ┃ 歸類(lèi)示例 [ 201 1 － ∠ ACB ＝ 120 176。 . ∵∠ ABC ＝ ∠ E DB ＋ ∠ BED ， ∠ ACB ＝ ∠ ECB ＋ ∠ ACE ， ED ＝ EC ， ∴∠ E DB ＝ ∠ ECB ， ∴∠ BED ＝ ∠ ACE . ∵ FE ∥ BC ， ∴∠ AEF ＝ ∠ AFE ＝ 60 176。 ， ∴△ DB E ≌△ EFC ， ∴ DB ＝ EF ， ∴ AE ＝ BD . 第 20講 ┃ 歸類(lèi)示例 方法二：在等邊三角形 ABC 中， ∠ ABC ＝ ∠ ACB ＝ 60 176。 ， ∠ ACB ＝ ∠ ECB ＋ ∠ FCE ＝ 60 176。 ， AB ＝ BC ＝ AC . ∵ EF ∥ BC ， ∴∠ AEF ＝ ∠ AFE ＝ 60 176。 . 故選 C. 第 20講 ┃ 歸類(lèi)示例 因?yàn)榈妊切蔚倪呌醒c底之分，角有底角和頂角之分，等腰三角形的高線(xiàn)要考慮高在形內(nèi)和形外兩種情況 ． 故當(dāng)題中條件給出不明確時(shí)，要分類(lèi)討論進(jìn)行解題，才能避免漏解情況 ． ? 類(lèi)型之四 等邊三角形的判定與性質(zhì) 第 20講 ┃ 歸類(lèi)示例 [ 201 1 . 綜上， △ ABC 底角的度數(shù)為 45 176。 － ∠ A2＝ 75 176。 . ∵ AD ＝12BC ， ∴ AD ＝12AC ， ∴∠ C ＝ 30 176。 ， 即此時(shí) △ ABC 底角的度數(shù)為 45 176。 C 第 20講 ┃ 歸類(lèi)示例 [ 解析 ] 首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，注意分別從 ∠ BAC 是頂角與 ∠ BAC 是底角去分析 ． 如圖 ( 1 ) ： AB ＝ AC ， ∵ AD ⊥ BC ， ∴ BD ＝ CD ＝12BC ， ∠ A DB ＝ 90 176。 或 75 176。 B ． 75 176。 ， AO ＝ AO ， ∴△ ADO ≌△ AEO ( H L ) ． ∴∠ DAO ＝ ∠ EAO . ∴ 點(diǎn) O 在 ∠ BAC 的平