【正文】 CM －12FG ＝ (4 2 － t ) ∴△ M FG 為等腰直角三角形 ， ∴ FG ＝ MG ∴∠ G ＝ 90 176。22t＝14t2. 當(dāng) t＝ 2 2 時 ， S 的值最大 ， 最大值＝12 (2 2 )2＝ 2 ； ② 當(dāng) M 在 CG 上時 ， 即 2 2 ＜ t＜ 4 2 時 ， 如解圖 ② 所示． ( 變式訓(xùn)練 4 題圖解 ② ) CM ＝ t－ AC ＝ t－ 2 2 ， MG ＝ 4 2 － t， 在 △ ACD 和 △ GC D 中 ， ∵?????AD ＝ DG ，∠ ADC ＝ ∠ CD G ，CD ＝ CD ， ∴△ ACD ≌△ GC D ( S AS ) ， ∴∠ ACD ＝ ∠ GC D ＝ 45 176。 FM ＝12 － ∠ BNH ＝90 176。 . 又 ∵ BN ⊥ NH ， 即 ∠ BNH ＝ 90 176。 － ∠ AKN ＝ 135 176。 ＝ 1 3 5 176。 ∴∠ ND H ＝ 90 176。 AB ＝ AD ， ∴∠ CD G ＝ 90 176。 c o s 45 176。 ， 求出 ∠ ACM ＝ 90 176。綿陽 ) 如圖 ， 在邊長為 2 的正方形 AB CD 中 ， G 是 AD延長線時的一點(diǎn) ， 且 DG ＝ AD ， 動點(diǎn) M 從點(diǎn) A 出發(fā) ， 以每秒 1 個單位的速度沿著 A → C → G 的路線向點(diǎn) G 勻速運(yùn)動 ( M 不與 A ， G 重合 ) ， 設(shè)運(yùn)動時間為 t (s) ，連結(jié) BM 并延長 AG 于點(diǎn) N . (1 ) 是否存在點(diǎn) M ， 使 △ ABM 為等腰三角形？若存在 ， 分析點(diǎn) M 的位置；若不存在 ， 請說明理由． (2 ) 當(dāng)點(diǎn) N 在 AD 邊上時 ， 若 BN ⊥ HN ， NH交 ∠ CD G 的平分線于點(diǎn) H ， 求證： BN ＝ HN . (3 ) 過點(diǎn) M 分別作 AB ， AD 的垂線 ， 垂足分別為 E ， F ， 矩形 AE M F 與 △ ACG重疊部分的面積為 S ， 求 S 的最大值． ( 變式訓(xùn)練 4 題圖 ) 解析 (1 ) 分四種情況：當(dāng)點(diǎn) M 為 AC 的中點(diǎn)時 ， AM ＝ BM ；當(dāng)點(diǎn) M 與點(diǎn) C 重合時 ， AB ＝ BM ；當(dāng)點(diǎn) M 在 AC 上 ， 且 AM ＝ 2 時 ， AM ＝ AB ；當(dāng)點(diǎn) M為 CG 的中點(diǎn)時 ， AM ＝ BM . (2 ) 在 AB 上截取 AK ＝ AN ， 連結(jié) KN ；由正方形的性質(zhì) ， 利用 AS A 證明△ BNK ≌△ NH D ， 得出 BN ＝ NH 即可． (3 ) ① 當(dāng)點(diǎn) M 在 AC 上時 ， 即 0 ＜ t≤ 2 2 時 ， △ AM F 為等腰直角三角形 ，得出 AF ＝ FM ＝22t， 利用 S ＝12AF Q ′K1＝33 ????????t＋122＝33????????17 － 2 316＋122＝1 3 1 3 － 20 9327. ② 當(dāng) t2＝17 ＋ 2 316時 ， 點(diǎn) Q ′(－ 4 － 313， 3 ) ， P ′ (5 － 313， 0 ) ． ∵－ 4 － 313 － 2 ， － 25 － 313 0 . ∴ 重疊部分如解圖 ② 所示的直角三角形 H2I2P ′ ： ( 例 4 題圖解 ② ) S ＝12H2I2重慶 A ) 如圖 ① ， 在平面直角坐標(biāo)系中 ， 拋物線 y ＝－34x2＋ 3 x ＋ 3 3 交 x 軸于 A ， B 兩點(diǎn) ( 點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè) ) ， 交 y 軸于點(diǎn) W ， 頂點(diǎn)為 C ， 拋物線的對稱軸與 x 軸的交點(diǎn)為 D . (1 ) 求直線 BC 的函數(shù)表達(dá)式． (2 ) 點(diǎn) E ( m ， 0 ) ， F ( m ＋ 2 ， 0 ) 為 x 軸上兩點(diǎn) ， 其中 (2 ＜ m ＜ 4) ， EE ′， FF′ 分別垂直于 x 軸 ， 交拋物線與點(diǎn) E ′， F ′， 交 BC 于點(diǎn) M ， N ， 當(dāng) ME ′＋ NF ′的值 最大時，在 y 軸上找一點(diǎn) R ， 使得 ????RF ′－ RE ′ 值最大 ， 請求出點(diǎn) R 的坐標(biāo)及 ????RF ′ － RE ′ 的最大值． ( 例 4 題圖 ) (3 ) 如圖 ② ， 已知 x 軸上一點(diǎn) P (92， 0 ) ， 現(xiàn)以點(diǎn) P 為頂點(diǎn) ， 2 3 為邊長在 x軸上方作等邊三角形 QP C ， 使 GP ⊥ x 軸．現(xiàn)將 △ QPG 沿 PA 方向以每秒 1 個單位長度的速度平移 ， 當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn) A 時停止 ， 記平移后的 △ QPG 為△ Q ′P ′G ′， 設(shè) △ Q ′P ′G ′與 △ ADC 的重疊部分面積為 S ， 當(dāng)點(diǎn) Q ′到 x 軸的距離與點(diǎn) Q ′到直線 AW 的距離相等時 ， 求 S 的值． 解析 (1 ) 求出拋物線與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo) ， 用待定系數(shù)法求表達(dá)式即可． (2 ) 先求出 E ′， F ′ 的坐標(biāo)表示 ， 然后求出 ME ′， NF ′， 用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式求出當(dāng) m ＝ 3 時 ， E ′ M ＋ F ′N 最大，得到點(diǎn) E ′， F ′ 的坐標(biāo) ， 再求出 E ′F ′的表達(dá)式 ， 當(dāng)點(diǎn) R 在直線 E ′ F ′ 與 y 軸的交點(diǎn)時 ， ????RF ′ － RE ′ 的值最大 ，從而求出點(diǎn) R 的坐標(biāo)及 ????RF ′ － RE ′ 的最大值． (3 ) 分類討論：點(diǎn) Q 在 ∠ W AB 的角平分線或外角平分線上時 ， 運(yùn)用三角形相似求出相應(yīng)線段 ， 再求出 △ Q ′P ′G ′與 △ ADC 的重疊部分面積． 答案 (1 ) ∵ －34x2＋ 3 x ＋ 3 3 ＝ 0 的解為 x 1 ＝－ 2 ， x 2 ＝ 6 ， ∴ 拋物線 y ＝－34x2＋ 3 x ＋ 3 3 與 x 軸交于點(diǎn) A ( － 2 ， 0 ) ， B (6 ， 0 ) ． ∵ y ＝－34x2＋ 3 x ＋ 3 3 ＝－34( x － 2)2＋ 4 3 ， ∴ 頂點(diǎn) C (2 ， 4 3 ) ． 設(shè)直線 BC 的表達(dá)為 y ＝ kx ＋ b ( k ≠ 0) ， 將點(diǎn) B ， C 的坐標(biāo)代入 ， 得??? 6 k ＋ b ＝ 0 ，2 k ＋ b ＝ 4 3 ，解得??? k ＝－ 3 ，b ＝ 6 3 . ∴ 直線 BC 的函數(shù)表達(dá)為 y ＝－ 3 x ＋ 6 3 . (2 ) 由已知得：點(diǎn) E ′( m1， －34m2＋ 3 m ＋ 3 3 ) ， M ( m ， － 3 m ＋ 6 3 ) ， F′ [ m ＋ 2 ， －34( m ＋ 2)2＋ 3 ( m ＋ 2) ＋ 3 3 ] ， N [ m ＋ 2 ， － 3 ( m ＋ 2) ＋ 6 3 ] ．易得 ME ′＝－34m2＋ 3 m ＋ 3 3 － ( － 3 m ＋ 6 3 ) ＝－34m2＋ 2 3 m － 3 3 ， NF′ ＝－34m2＋ 3 m ， ∴ ME ′ ＋ NF ′＝－32m2＋ 3 3 m － 3 3 ＝－32( m － 3)2＋3 32， ∴ 當(dāng) m ＝ 3 時 ， ME ′ ＋ NF ′最大 ， 此時點(diǎn) E ′(3 ，15 34) ， F ′ (5 ，7 34) ， 構(gòu)造直角三角形可得 E ′F ′＝ 4 ， 且直線 E ′F ′的表達(dá)式為 y ＝－ 3 x ＋27 34. 當(dāng) R 是直線 E ′F ′與 y 軸交點(diǎn)時 ， |RF ′ － RE ′| 取最大值 ， 最大值為 E ′F ′的長度． ∴ 當(dāng)點(diǎn) R 的坐標(biāo)為 (0 ，27 34) 時 ，????RF ′ － RE ′m a x＝ 4. (3 ) ∵ 點(diǎn) Q (32， 3 ) ， 設(shè)平多時間為 t (s) ， ∴ 點(diǎn) Q ′(32－ t， 3 ) ， P ′ (92－ t， 0 ) ． 如解圖 ① ， 過點(diǎn) Q ′作 Q ′K ∥ x 軸交 AW 于點(diǎn) K ， Q ′ H ⊥ AW 于點(diǎn) H . ( 例 4 題圖 解 ① ) ∵ Q ′ 到 x 軸的距離為 3 ， ∴ 點(diǎn) Q ′到直線 AW 的距離 Q ′H ＝ 3 . 又 ∵ 點(diǎn) A ( － 2 ， 0 ) ， W (0 ， 3 3 ) ， ∴ 直線 AW 的表達(dá)式為 y ＝3 32x ＋ 3 3 .∴ 點(diǎn) K ( －43， 3 ) ． 又 ∵ 點(diǎn) Q ′可能在點(diǎn) K 的左邊或右邊 ， ∴ KQ ′ ＝?????