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2024-12-07 21:37本頁面
【導讀】[解析]等軸雙曲線x2－y2＝a2的漸近線方程為y＝±x，若直線y＝ax(a>0)與等軸雙曲線。x2－y2＝a2沒有公共點，則a≥1.兩正根，從而Δ>0，x1＋x2>0，x1x2>0，二次項系數(shù)≠0.∴e1＝e2，故選D.又||PF1|－|PF2||＝2a＝4，，消去y得x2－2mx－m2－2＝＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.在圓x2＋y2＝5上，∴5m2＝5，∴m＝±1.即m2＋n2＝2＝100.∴2mn＝m2＋n2－36＝64，mn＝32.設點P到x軸的距離為d，S△PF1F2＝12d|F1F2|＝12|PF1|·|PF2|，即12d·2c＝12mn.∴d＝mn2c＝3210＝，求圓心P的軌跡方程；由題意知y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，從而得y2＋2＝x2＋3.∵直線與雙曲線有兩個不同的交點，解得－2<k<2，且k≠±1，則x1＋x2＝－2k1－k2，x1x2＝－21－k2，∵點O到直線l的距離d＝11＋k2，
【正文】 ，虛軸端點 B， FB⊥ AB，則 |AF|2＝ |AB|2＋ |BF|2， ∵ |AF|2＝ (a＋ c)2， |AB|2＝ a2＋ b2， |BF|2＝ b2＋ c2， ∴ c2－ a2－ ac＝ 0， ∵ e＝ ca， ∴ e2－ e－ 1＝ 0， ∵ e1， ∴ e＝ 5＋ 12 . 三、解答題 7． 已知直線 y＝ ax＋ 1 與雙曲線 3x2－ y2＝ 1 交于 A、 B兩點 ． (1)若以 AB為直徑的圓過坐標原點 ， 求實數(shù) a的值 ； (2)是否存在這樣的實數(shù) a， 使 A、 B兩點關(guān)于直線 y＝ 12x對稱 ？ 若存在 ， 請求出 a的值 ；若不存在 ， 請說明理由 ． [解析 ] (1)由????? y＝ ax＋ 13x2－ y2＝ 1 ，消去 y得， (3－ a2)x2－ 2ax－ 2＝ 0.① 依題意 ????? 3－ a2≠ 0Δ0 ， 即－ 6a 6且 a≠ 177。 3② 設 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 則????? x1＋ x2＝ 2a3－ a2 ③x1x2＝ － 23－ a2 ④ ∵ 以 AB為直徑的圓過原點， ∴ OA⊥ OB. ∴ x1x2＋ y1y2＝ 0，但 y1y2＝ a2x1x2＋ a(x1＋ x2)＋ 1， 由 ③④ 知， ∴ (a2＋ 1)－ 23－ a2＋ a 2a3－ a2＋ 1＝ 0. 解得 a＝ 177。1 且滿足 ② . (2)假設存在實數(shù) a，使 A、 B關(guān)于 y＝ 12x 對稱，則直線 y＝ ax＋ 1 與 y＝ 12x 垂直， ∴ a＝－ 2. 直線 l的方程為 y＝－ 2x＋ 1. 將 a＝－ 2 代入 ③ 得 x1＋ x2＝ 4. ∴ AB中點橫坐標為 2， 縱坐標為 y＝－ 2 2＋ 1＝－ 3. 但 AB中點 (2，－ 3)不在直線 y＝ 12x上 ． 即不存在實數(shù) a，使 A、 B關(guān)于直線 y＝ 12x對稱 ． 8． 過雙曲線 x29－y216＝ 1 的右焦點作傾斜角為 45176。的弦 ： (1)弦 AB的中點 C到右焦點 F2的距離 ； (2)弦 AB的長 ． [解析 ] (1)因為雙曲線的右焦點為 F2(5,0)，直線 AB 的方程為 y＝ x－ 5. 由????? 16x2－ 9y2－ 144＝ 0y＝ x－ 5 ， 消去 y，并整理得 7x2＋ 90x－ 369＝ 0. 如圖，設 A(x1， y1)、 B(x2， y2)， ∴ x1＋ x2＝－ 907 ， x1x2＝－ 3697 . 設 AB的中點 C的坐標為 (x， y)， 則 x＝ x1＋ x22 ＝－ 457 ， ∴ y＝－ 807 . ∴ |CF2|＝ ?5＋ 457 ?2＋ ?807 ?2＝ 80 27 . (2)|AB|＝ 2| x1－ x2|＝ 2[?x1＋ x2?2－ 4x1x2] ＝ 2?810049 ＋ 14767 ?＝ 1927 .
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