正弦定理,余弦的多種證明-資料下載頁
2024-10-28 14:00本頁面
【正文】 ，j?AB=| j ||AB|cos(90176。∠A)=c?、余弦定理的證明法一：在△ABC中，已知，求c。第五篇：正弦定理證明正弦定理證明：△ABC中，設(shè)三邊為a，b，c。作CH⊥AB垂足為點HCH=asinBCH=bsinA∴asinB=bsinA得到a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC：如圖，任意三角形ABC,⊙,所以∠DAB=90度因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠a/SinA=BC/SinD=BD=2R類似可證其余兩個等式。：平面幾何證法：在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BCBD=acosB*c根據(jù)勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(acosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^22ac*cosBb^2=(sin^2B+cos^2B)*c^22ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^22ac*cosBcosB=(c^2+a^2b^2)/2ac3在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b則c^2=a^2+b^22ab*cosCa^2=b^2+c^22bc*cosAb^2=a^2+c^22ac*cosB下面在銳角△中證明第一個等式，在鈍角△中證明以此類推。過A作AD⊥BC于D，則BD+CD=a由勾股定理得：c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2(CD)^2所以c^2=(AD)^2(CD)^2+b^2=(aCD)^2(CD)^2+b^2=a^22a*CD+(CD)^2(CD)^2+b^2=a^2+b^22a*CD因為cosC=CD/b所以CD=b*cosC所以c^2=a^2+b^22ab*cosC題目中^2表示平方。2談?wù)⒂嘞叶ɡ淼亩喾N證法聊城二中魏清泉正、余弦定理是解三角形強有力的工具，《數(shù)學(xué)》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時用到作輔助單位向量并對向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過于獨特，、余弦定理從而進一步理解正、余弦定理，進一步體會向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則(1)(正弦定理)==。(2)(余弦定理)c2=a2+b22abcosC,b2=a2+c22accosB,a2=b2+、正弦定理的證明證法一：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有AD=b?sin∠BCA，BE=c?sin∠CAB，CF=a?sin∠ABC。所以S△ABC=a?b?csin∠BCA=b?c?sin∠CAB=c?a?sin∠：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有AD=b?sin∠BCA=c?sin∠ABC，BE=a?sin∠BCA=c?sin∠CAB。證法三：如圖2，設(shè)CD=2r是△ABC的外接圓的直徑，則∠DAC=90176。，∠ABC=∠ADC。證法四：如圖3，設(shè)單位向量j與向量AC垂直。因為AB=AC+CB，所以j?AB=j?(AC+CB)=j?AC+j??AC=0，j?CB=|j||CB|cos(90176。∠C)=a?sinC，j?AB=|j||AB|cos(90176。∠A)=c?、余弦定理的證明法一：在△ABC中，已知，求c。過A作，在Rt中，法二：，即：法三：先證明如下等式：⑴證明：故⑴式成立，再由正弦定理變形，得結(jié)合⑴、有.三、正余弦定理的統(tǒng)一證明法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標系，則A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：C=(bcosA,bsinA)，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π∠B，∴C′(acos(πB),asin(πB))=C′(acosB,asinB).根據(jù)向量的運算：=(acosB,asinB)，==(bcosAc,bsinA),(1)由=：得asinB=bsinA,即=.同理可得：=.∴==.(2)由=(bcosAc)2+(bsinA)2=b2+c22bccosA，又||=a,∴a2=b2+：c2=a2+b22abcosC。b2=a2+：如圖5，,設(shè)軸、軸方向上的單位向量分別為、將上式的兩邊分別與、作數(shù)量積，可知，即將(1)式改寫為化簡得b2a2c2==a2+c22accosB.(4)
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