正弦定理,余弦的多種證明-全文預覽
【正文】 乘以單位向量j 得 j?(AC+CB)=j?AB 則?+?=?rrrruuuruuuruuu∴|j|?|AC|cos90176。③《普通高中數學課程標準（實驗）解讀》。2002年4 月。MOQ=a，在DMOQ中，208。參考案例：研究性學習課外研究題：將一塊圓心角為120o，半徑為20厘米的扇形鐵片裁成一塊矩形，請你設計裁法，使裁得矩形的面積最大?并說明理由．教學建議：這是一個研究性學習內容，可讓學生在課外兩人一組合作完成，寫成研究報告，在習題課上讓學生交流研究結果，老師可適當進行點評。將問題中的已知量、未知量集中到有關三角形中，構造出解三角形的數學模型。若設甲船與乙船經過t小時在B處相遇，構建DACB，容易計算出AB=20海里,BC=20海里，根據余弦定理建立關于t的方程，求出t，問題就解決了。3．要重視實際應用《標準》要求運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。BCD=135176。BDA=60176。==sinAsinB提出問題：你還能利用其他方法證明嗎？方法二：請同學們課后自己利用平面幾何中圓內接三角形（銳角，鈍角和直角）及同弧所對的圓周角相等等知識，將△ABC中的邊角關系轉化為以直徑為斜邊的直角三角形中去探討證明方法。 = j②若△ABC為銳角三角形，過點A做單位向量j垂直于AC，則向量j與向量的夾角為900A，向量j與向量CB的夾角為900C，（如圖1），且有：AC+CB=AB，所以j==sinAsinBsinC則有：提出問題：上述規(guī)律，對任意三角形成立嗎？(2)實驗，探索規(guī)律二人合作，先在紙上做一任意銳角（銳角或鈍角）三角形，測量三邊長及其三個對角，然后用計算器計算每一邊與其對角正弦值的比，填入下面表中，驗證前面得出的結論是否正確。從中體會發(fā)現和探索數學知識的思想方法。因此在教學中應注意以下幾個問題。解三角形處理的是三角形中長度、角度、面積的度量問題，長度、面積是理解積分的基礎，角度是刻畫方向的，長度、方向是向量的特征，有了長度、方向，向量的工具自然就有用武之地。而《標準》則關注運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。《標準》對“解三角形”的教學要求是：（1）通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。而在新課程《標準》中重新進行了整合，將其安排在必修模塊數學5中，獨立成為一章，與必修模塊數學4中的“平面向量”分別安排在不同的模塊中。在歷次教材改革中都作為中學數學中的重點內容，一直被保留下來。同時，還可以用余弦定理求三角形邊長取值范圍。=2aR。第一篇：正弦定理,余弦的多種證明正弦(余弦)定理的另類證明課本利用向量法證明正弦定理，:在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦比相等，即a=bsinAsinB=：（等積法）在任意斜三角形ABC中,S△111absinC=acsinB=bcsinA，222兩邊同除以1abc即得：a=b=c2sinAsinBsinCABC=.C點評：：（外接圓法）如圖1所示，設O為△ABC的外接圓的圓心，連接CO并延長交圓O于D，連接BD，則A=D，BCaa所以sinA=sinD=CD,即== 2RsinAbsinB=2R，csinC＝ a=b=csinAsinBsinC=2R(R為三角形外接圓半徑).點評：證法2建立了三角形中的邊與對角、外接圓半徑三者之間的聯(lián)系，這三者知二可求一，為正弦定理增添了新內容，：由以上證明過程，我們可以得到正弦定理的幾種變形形式： : b: c = sinA : sinB :sinC。c=2RsinC。平面幾何證法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC.∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a 則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BCBD=acosB*c 根據勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(acosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^22ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^22ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^22ac*cosB cosB=(c^2+a^2b^2)/2ac 從余弦定理和余弦函數的性質可以看出, 如果一個三角形兩邊的平方和等于第三 邊的平方,那么第三邊所對的角一定是直 角,如果小于第三邊的平方,那么第三邊所 對的角是鈍角,如果大于第三邊,那么第三邊，利用余弦定理，可以判斷三角形形狀。其中“解三角形”既是高中數學的基本內容，又有較強的應用性。一、《標準》必修模塊數學5中“解三角形”與原課程中“解斜三角形”的比較1．課程內容安
高考資料相關推薦
鄂ICP備17016276號-1