【正文】 ，λa與b的夾角為（π－θ），∴（λa）b＝｜λa｜｜b｜cos（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（ab）；當(dāng)λ＝0時，（λa）b＝0b＝0＝λ（ab）． 總之，（λa）b＝λ（ab）； 同理a（λb）＝λ（ab）．（3）（a＋b）c＝ac＋bc（乘法對加法的分配律）．證明：如圖402，任取一點O，作＝a，＝ｂ，＝c．∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即｜a＋b｜cosθ＝｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2，∴｜c｜｜a＋b｜cosθ＝｜c｜（｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2）＝ ｜c｜｜a｜cosθ1＋｜c｜｜b｜cosθ2＝ca＋cb，∴（a＋b）c＝ac＋bc．思考：（1）向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律，即（ab）c＝a（bc）嗎？（2）向量的數(shù)量積滿足消去律，即如果ab＝cb，那么a＝c嗎？五、應(yīng)用與深化 ［例 題］，b，有（a＋b）＝a＋2ab＋b，（a＋b）（a－b）＝a－b．類似地，對任意向量a，b，也有類似結(jié)論嗎？為什么？解：類比完全平方和公式與平方差公式，有（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a＋b）（a－b）＝a2－b2． 其證明是：（a＋b）＝（a＋b）（a＋b）＝ aa＋ab＋ba＋bb＝ a2＋2ab＋b2，22（a＋b）（a－b）＝aa－ab＋ba－bb＝ a2－b2． ∴有類似結(jié)論．｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60176。，求（a＋2b）（a－3b）． 解：（a＋2b）（a－3b）＝ a2－3ab＋2ba－6b2＝｜a｜－｜a｜｜b｜cos60176。－6｜b｜＝－72．｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a與b不共線．當(dāng)k為何值時，（a＋kb）⊥（a－kb）？ 解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k216＝0，k＝177。． 22因此，當(dāng)k＝177。時，有（a＋kb）⊥（a－kb）．：正方形ABCD的邊長為1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝1＋1＋2＋211cos90176。＋21［練習(xí)］1.｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）（2a＋b）＝61，求a與b的夾角θ．＋21＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2．，求六、拓展延伸＋＋．，b的夾角為銳角時，你能說明ab的幾何意義嗎？ 如圖403，ab，即以b在a上射影的長和ａ的長為兩鄰邊的矩形面積（OA＝OA1）．，如圖404，＝－＝＋，．試說明平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關(guān)系．，b，c有相同終點且a＋b＋c＝0，問：它們的起點連成怎樣的三角形？解法1：如圖405，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）＝（－c）2，2∴a2＋b2＋2ab＝c2，∴2｜a｜｜b｜cos∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120176。． 同理∠BOC＝∠AOC＝120176。，故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即該△ABC為等邊三角形．解法2：如圖406，．＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB為菱形．又｜｜＝1，∴∠AOB＝120176。．同理∠AOC＝∠BOC＝120176。，…△ABC中，＝＝，問：O點在△ABC的什么位置？解：由同理⊥，＝⊥，即（－）＝0，即＝0，∴⊥，．故O是△ABC的垂心．點 評這篇案例的一個突出特點是使用類比方法，即在研究向量的數(shù)量積的性質(zhì)及運算律時，經(jīng)常以實數(shù)為對象進行類比．以物理學(xué)中的力對物體做功的實例，引入數(shù)量積的過程比較自然，學(xué)生容易接受．在“拓展延伸”中，較多地展示了向量的綜合應(yīng)用．這都充分體現(xiàn)了向量是數(shù)形結(jié)合的重要載體．運用向量方法解決與向量有關(guān)的綜合問題，越來越成為考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的一個重要方面．認識向量并會使用向量是這一部分的基礎(chǔ)，也是重點．總之，這篇案例較好地實現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)，同時，關(guān)注類比方法的運用，以及學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的提高．美中不足的是，對學(xué)生的自主探究的引導(dǎo)似乎有所欠缺．第四篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例50篇 38平面向量的基本定理平面向量的基本定理教材分析平面向量的基本定理是說明同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合，它是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，也是平面圖形中任一向量都可由某兩個不共線向量量化的依據(jù)．這節(jié)內(nèi)容以共線向量為基礎(chǔ)，通過把一個向量在其他兩個向量上的分解，說明了該定理的本質(zhì)．教學(xué)時無須嚴(yán)格證明該定理，只要讓學(xué)生弄清定理的條件和結(jié)論，會用該定理就可以了．向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積的混合運算稱為向量的線性運算，也叫“向量的初等運算”．由平面向量的基本定理，知任一平面內(nèi)的直線型圖形都可表示為某些向量的線性組合，這樣在證明幾何命題時，可先把已知和結(jié)論表示成向量形式，再通過向量的運算，有時能很容易證明幾何命題．因此，向量是數(shù)學(xué)中證明幾何命題的有效工具之一．為降低難度，目前要求用向量表示幾何關(guān)系，而不要求用向量證明幾何命題．平面向量的基本定理的理解是學(xué)習(xí)的難點，而應(yīng)用基本向量表示平面內(nèi)的某一向量是學(xué)習(xí)的重點．教學(xué)目標(biāo)，會用它來表示平面圖形中任一向量，為向量坐標(biāo)化打下基礎(chǔ)．、抽象和概括，體驗數(shù)學(xué)定理的產(chǎn)生、形成過程，提升學(xué)生的抽象和概括能力．，增強向量的應(yīng)用意識，進一步體會向量是處理幾何問題的強有力的工具之一．任務(wù)分析這節(jié)課是在學(xué)生熟悉向量加、減、數(shù)乘線性運算的基礎(chǔ)上展開的，為了使學(xué)生理解和掌握好平面向量的基本定理，教學(xué)時，常應(yīng)用構(gòu)造式的作圖方法，同時采用師生共同操作，增強直觀認識，歸納和總結(jié)出任意向量與基本向量的線性組合關(guān)系，并且通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生進一步認識和理解這一基本定理．教學(xué)設(shè)計一、問題情景 ，（1）已知＝ａ，＝ｂ，試用ｂ，ｂ來表示，；（2）已知＝ｃ，＝ｄ，試用ｃ，ｄ表示向量，.，e2，試作出向量3e1＋2e2，e1－2e2． ＋λ2e2的向量表示？二、建立模型 （1）由向量加法，知＝ａ＋ｂ；由向量減法，知＝ａ－ｂ，＝ａ＋0ｂ．（2）設(shè)AC，BD交于點O，由向量加法，知以ａ，ｂ為基本向量，可以表示兩對角線的相應(yīng)向量，還可表示一邊對應(yīng)的向量估計任一向量都可以寫成ａｂ的線性表達．任意改成另兩個不共線向量ｃ，ｄ作基本向量，也可表示其他向量． ，通過了e1＋2e2，e1－2e2的作法，讓學(xué)生感悟通過改變λ1，λ2的值，可以作出許多向量ａ＝λ1e1＋λ2e2．在此基礎(chǔ)上，可自然形成一個更理性的認識———平面向量的基本定理．如圖，設(shè)e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量，ａ是這一平面內(nèi)的任一向量．在平面內(nèi)任取一點O，作＝e1，＝e2，＝ａ；過點C作平行于直線OB的直線，與直線OA交于M；過點C作平行于直線OA的直線，與直線OB交于N．這時有且只有實數(shù)λ1，λ2，使＝λ1e1，＝λ2e2．由于＝＋，所以ａ＝λ1e1＋λ2e2，也就是說任一向量ａ都可表示成λ1e1＋λ2e2的形式，從而有平面向量的基本定理 如果e1，e2是一平面內(nèi)的兩個不平行向量，那么該平面內(nèi)的任一向量ａ，存在唯一的一對實數(shù)λ1，λ2，使ａ＝λ1e1＋λ2e2．我們把不共線向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，有序?qū)崝?shù)對（λ1，λ2）叫ａ在基底e1，e2下的坐標(biāo)．三、解釋應(yīng)用 ［例 題］，e2（如圖383），求作向量－＋3e2． 注：可按加法或減法運算進行．，解：∵，不共線，＝t（t∈R），用，表示．［練習(xí)］：不共線向量e1，e2，求作向量ａ＝e1－2e2．：不共線向量e1，e2，并且e1－3e2＝λ1e1＋λ2e2，求實數(shù)λ1，λ2． ：基底｛a，b｝，求實數(shù)ｘ，ｙ滿足向量等式：3xa＋（10－y）b＝（4y＋7）a＋2xb．△ABC中，＝ａ，＝ｂ，點G是△ABC的重心，試用ａ，ｂ表示．：ABCDEF為正六邊形，＝ａ，．＝ｂ，試用a，：M是平行四邊形ABCD的中心，求證：對于平面上任一點O，都有.四、拓展延伸點 評這篇案例由向量加、減、數(shù)乘運算過渡到平面向量的基本定理，引入比較自然，合理，使學(xué)生由感性認識上升為理性認識這種既重結(jié)果又重過程的教學(xué)理念符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的精神．同時，有關(guān)向量基本定理的應(yīng)用的例、習(xí)題的設(shè)計也較有梯度和力度，強化了知識的應(yīng)用，為提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力打下了一定的基礎(chǔ)．如果能把多媒體教學(xué)等信息技術(shù)用于向量的分解，那么會使問題更為直觀，進而學(xué)生更易于接受．第五篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例50篇 36 向量的概念向量的概念教材分析向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本概念之一，它集“大小”與“方向”于一身，融“數(shù)”、“形”于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，是高中數(shù)學(xué)重要的知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點，也是數(shù)形結(jié)合思想的重要載體．這節(jié)通過對物理中的位移和力的歸納，抽象、概括出向量的概念、有向線段、向量的表示、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量的準(zhǔn)確含義．與數(shù)學(xué)中的許多概念一樣，都可以追溯它的實際背景．這節(jié)的重點是向量的概念、相等向量的概念和向量的幾何表示等．難點是向量的概念．教學(xué)目標(biāo)，體驗數(shù)學(xué)概念的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和科學(xué)的思維方法，使學(xué)生逐步由感性思維上升為理性思維．，會用有向線段表示向量，會判斷零向量，單位向量，平行的、相等的、共線的向量．任務(wù)分析在這之前，學(xué)生接觸較多的是只有大小的量（數(shù)量）．其實生活中還有一種不同于數(shù)量的量———向量．剛一開始，學(xué)生很不習(xí)慣，但可適時地結(jié)合實例，逐步讓學(xué)生理解向量的兩個基本要素———大小和方向，再讓學(xué)生于實際問題中識別哪些是向量，哪些是數(shù)量．這樣由具體到抽象，再由抽象到具體；由實踐到理論，再由理論到實踐，可使學(xué)生比較容易地理解．緊緊抓住向量的大小和方向，便于理解兩個向量沒有大小之分，只有相等與不相等、平行與共線等．要結(jié)合例、習(xí)題讓學(xué)生很好地理解相等向量（向量可以平移）．這些均可為以后用向量處理幾何等問題帶來方便．教學(xué)設(shè)計一、問題情景數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)．思考以下問題：，你接觸過哪些類型的量？這些量本質(zhì)上有何區(qū)別？試描述這些量的本質(zhì)區(qū)別．？二、建立模型 學(xué)生回答：人的身高，年齡，體重；……圖形的面積，體積；物體的密度，質(zhì)量；……物理學(xué)中的重力、彈力、拉力，速度、加速度，位移……引導(dǎo)學(xué)生慢慢抽象出數(shù)量（只有大?。┖拖蛄浚扔写笮∮钟蟹较颍┑母拍睿?人們在長期生產(chǎn)生活實踐中，會遇到兩種不同類型的量，如身高、體重、面積、體積等，在規(guī)定的單位下，都可以用一個實數(shù)表示它們的大小，我們稱之為數(shù)量；另一類，如力、速度、位移等，它們不僅有大小，而且有方向．作用于某物體上的力，它不僅有大小，而且有作用方向；物體運動的速度既有快慢之分，又有方向的區(qū)別．這類既有數(shù)量特性又有方向特性的量，就是我們要研究的向量．在數(shù)學(xué)上，往往用一條有方向的線段，即有向線段來表示向量．有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．向量不僅可以用有向線段表示，也可用a，b，c，…表示，還可用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，如就是向量的長度（模），記作，.長度為零的向量叫零向量，記作0或1的向量叫作單位向量．方向相同或相反的非零向量叫平行向量，記作a∥b，規(guī)定0∥a（a為任一向量）長度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，記作a＝b．任意兩個相等的非零向量都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān)．在同一平面上，兩個平行的長度相等且指向一致的有向線段可以表示同一向量．因為向量完全由它的方向和模決定．任一組平行向量都可以移動到同一直線上，因此，平行向量也叫“共線向量”． ，組織學(xué)生討論（1）時間、路程、溫度、角度是向量嗎？速度、加速度、物體所受重力是向量嗎？（2）兩個單位向量一定相等嗎？（3）相等向量是平行向量嗎？（4）物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對共線向量嗎？（5）方向為南偏西60176。的向量與北偏東60176。的向量是共線向量嗎？強調(diào)：大小、方向是向量的兩個基本要素，當(dāng)且僅當(dāng)兩個向量的大小和方向兩個要素完全相同時，兩個向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共線向量之間的異同．三、解釋應(yīng)用 ［例 題］如圖，邊長為1的正六邊形ABCDEF的中心為O，試分別寫出與線的向量，以及單位向量．相等、平行和共解：都是單位向量．［練習(xí)］，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點，試寫出圖中與相等的向量．，那么四邊形ABCD的形狀如何？，F(xiàn)，P，Q分別是任意四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，對于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？，點P在點O“東偏北60176。，3cm”處，點Q在點O“南偏西30176。，3cm”處，試畫出點P和Q相對于點O的向量．，用有向線段分別表示下列各向量．（1）在與水平成120176。角的方向上，一個大小為50N的拉力．（2）方向東南，8km／h的風(fēng)的速度．（3）向量四、拓展延伸，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AD的中點，在向量中相等的向量是哪些？為什么？，那么與數(shù)的運算類比，向量是否也能進行運算？案例點評這篇案例設(shè)計完整，思路清晰．該案例首先通過實例闡述了向量產(chǎn)生的背景，然后歸納、抽象了向量、平行向量、相等向量等概念，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是教學(xué)思維過程的教學(xué)，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的精神．例題與練習(xí)由淺入深，完整，全面．“拓展延伸”的設(shè)計有新意，有深度．為學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)造能力的培養(yǎng)提供了平臺．