【正文】 ＝，代入②式，：由平方關(guān)系求值時，要涉及開方運(yùn)算，自然存在符號的選取問題．由于本題沒有具體指明α是第幾象限角，因此，應(yīng)針對α可能所處的象限，分類討論．變式2 把例2變?yōu)椋阂阎猼anα＝－，求的值．解法1：由tanα＝－及基本關(guān)系式可解得針對兩種情況下的結(jié)果居然一致的情況，教師及時點(diǎn)撥：觀察所求式子的特點(diǎn)，看能不能不通過求sinα，cosα的值而直接得出該分式的值． 學(xué)生得到如下解法：由此，引出變式3．已知：tanα＝－，求（sinα－cosα）2的值．有了上一題的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生會得到如下解法：教師歸納、啟發(fā)：這個方法成功地避免了開方運(yùn)算，因而也就避開了不必要的討論．遺憾的是，因?yàn)樗皇欠质叫问?，所以解題過程不像“變式2”那樣簡捷．那么，能解決這一矛盾嗎？學(xué)生得到如下解法：教師引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié)：（1）由于開方運(yùn)算一般存在符號選取問題，因此，在求值過程中，若能避免開方的應(yīng)盡量避免．（2）當(dāng)式子為分式且分子、分母都為三角函數(shù)的n（n∈N且n≥1）次冪的齊次式時，采用上述方法可優(yōu)化解題過程．［練習(xí)］當(dāng)學(xué)生完成了以上題目后，教師引導(dǎo)學(xué)生討論如下問題：（1）化簡題的結(jié)果一定是“最簡”形式，對三角函數(shù)的“最簡”形式，你是怎樣理解的？（2）關(guān)于三角函數(shù)恒等式的證明，一般都有哪些方法？你是否發(fā)現(xiàn)了一些技巧？四、拓展延伸教師出示問題，啟發(fā)學(xué)生一題多解，并激發(fā)學(xué)生的探索熱情．已知sinα－cosα＝－，180176。＜α＜270176。，求tanα的值．解法1：由sinα－cosα＝－，得反思：（1）解法1的結(jié)果比解法2的結(jié)果多了一個，看來產(chǎn)生了“增根”，那么，是什么原因產(chǎn)生了增根呢？（2）當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了由sinα－cosα＝－α的范圍變大了時，教師再點(diǎn)撥：怎樣才能使平方變形是等價的呢？ 由學(xué)生得出如下正確答案：得到sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝的過程中，∵180176。＜α＜270176。，且sinα－cosα＝－cosα｜，因此｜tanα｜＞1，只能取tanα＝2．＜0，∴sinα＜0，cosα＜0，且｜sinα｜＞｜強(qiáng)調(diào)：非等價變形是解法1出錯的關(guān)鍵！誘導(dǎo)公式 教材分析這節(jié)內(nèi)容以學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角的三角函數(shù)值為基礎(chǔ)，利用單位圓和三角函數(shù)的定義，導(dǎo)出三角函數(shù)的五組誘導(dǎo)公式，即有關(guān)角k360176。＋α，180176。＋α，－α，180176。－α，360176。－α的公式，并通過運(yùn)用這些公式，把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值，從而滲透了把未知問題化歸為已知問題的化歸思想．這節(jié)課的重點(diǎn)是后四組誘導(dǎo)公式以及這五組公式的綜合運(yùn)用．把這五組公式用一句話歸納出來，并切實(shí)理解這句話中每一詞語的含義，是切實(shí)掌握這五組公式的難點(diǎn)所在．準(zhǔn)確把握每一組公式的意義及其中符號語言的特征，并且把公式二、三與圖形對應(yīng)起來，是突破上述難點(diǎn)的關(guān)鍵．教學(xué)目標(biāo)，啟發(fā)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式及其證明，培養(yǎng)學(xué)生勇于探求新知、善于歸納總結(jié)的能力．、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，并能應(yīng)用這些公式解決一些求值、化簡、證明等問題．，培養(yǎng)學(xué)生的自信心．“矛盾”是解決問題的有效途徑，進(jìn)一步樹立化歸思想．任務(wù)分析誘導(dǎo)公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值．在五組誘導(dǎo)公式中，關(guān)于180176。＋α與－α的誘導(dǎo)公式是最基本的，也是最重要的．在推導(dǎo)這兩組公式時，應(yīng)放手讓學(xué)生獨(dú)立探索，尋求“180176。＋α與角α的終邊”及“－α與角α的終邊”之間的位置關(guān)系，從而完成公式的推導(dǎo)．此外，要把90176?！?60176。范圍內(nèi)的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)，除了利用第二、四、五個公式外，還可以利用90176。＋α，270176。177。α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系．應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在掌握前五組誘導(dǎo)公式的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探求新的關(guān)系式，從而使學(xué)生在頭腦中形成完整的三角函數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．教學(xué)設(shè)計一、問題情境 教師提出系列問題，現(xiàn)在角的概念已經(jīng)推廣到了任意角，能否把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值呢？＝390176。時，能否求出它的正弦、余弦和正切值？ ？試說明理由．二、建立模型 在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生獨(dú)立推出公式（一），即 在公式的應(yīng)用中讓學(xué)生體會公式的作用，即把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為0176。～360176。范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值．練習(xí)：求下列各三角函數(shù)值．（1） π．（2）tan405176。．如果能夠把90176?！?60176。范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值，即可實(shí)現(xiàn)“把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值”的目標(biāo)．例如，能否將120176。，240176。，300176。角與我們熟悉的銳角建立某種聯(lián)系，進(jìn)而求出其余弦值？引導(dǎo)學(xué)生利用三角函數(shù)的定義并借助圖形，得到如下結(jié)果：cos120176。＝cos（180176。－60176。）＝－cos60176。＝－，cos240176。＝cos（180176。＋60176。）＝－cos60176。＝－，cos300176。＝cos（360176。＋60176。）＝cos60176。＝．一般地，cos（180176。＋α），cos（180176。－α），cos（360176。－α）與cosα的關(guān)系如何？你能證明自己的結(jié)論嗎？由學(xué)生獨(dú)立完成下述推導(dǎo)： 設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y）．由于角180176。＋α的終邊就是角α的終邊的反向延長線，則角180176。＋α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P′與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O對稱．由此可知，點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（－x，－y）．又∵單位圓的半徑r＝1，∴cosα＝x，sinα＝y(tǒng)，tanα＝（180176。＋α）＝－y，tan（180176。＋α）＝從而得到：．，cos（180176。＋α）＝－x，sin 在推導(dǎo)公式三時，學(xué)生會遇到如下困難，即：若α為任意角，180176。－α與角α的終邊的位置關(guān)系不容易判斷．這時，教師可引導(dǎo)學(xué)生借助公式二，把180176。－α看成180176。＋（－α），即：先把180176。－α的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為－α的三角函數(shù)值，然后通過尋找－α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，使原問題得到解決．由學(xué)生獨(dú)立完成如下推導(dǎo)：如圖，設(shè)任意角α的終邊與單位圓相交于P（x，y），角－α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P′．∵這兩個角的終邊關(guān)于ｘ軸對稱，∴點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（x，－y）．又∵r＝1，∴cos（－α）＝x，sin（－α）＝－y，tan（－α）＝從而得到：進(jìn)而推出：注：在問題的解決過程中，教師要注意讓學(xué)生充分體驗(yàn)成功的快樂． 公式（一）、（二）、（三）、（四）、（五）都叫作誘導(dǎo)公式，利用它們可以把k360176。＋α，180176。177。α，－α，360176。－α的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為α的三角函數(shù)．那么，在轉(zhuǎn)化過程中，發(fā)生了哪些變化？這種變化是否存在著某種規(guī)律？引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下概括：α＋k360176。（k∈Z），－α，180176。177。α，360176。－α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號．為了便于記憶，還可編成一句口訣“函數(shù)名不變，符號看象限”．三、解釋應(yīng)用 ［例 題］．通過應(yīng)用，讓學(xué)生體會誘導(dǎo)公式的作用：①把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，其一般步驟為評注：本題中，若代入cosαcot3α形式，就須先求得cosα的值．由于不能確定角α所在象限，解題過程將變得煩鎖．以此提醒學(xué)生注意選取合理形式解決問題．四、拓展延伸教師出示問題：前面我們利用三角函數(shù)的定義及對稱性研究了角α＋k360176。（k∈Z），－α，180176。177。α，360176。－α的三角函數(shù)與角α的三角函數(shù)之間的關(guān)系，這些角有一個共同點(diǎn)，即：均為180176。的整數(shù)倍加、減α．但是，在解題過程中，還會遇到另外的情況，如前面遇到的120176。角，它既可以寫成180176。－60176。，也可以寫成90176。＋30176。，那么90176。＋α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)有著怎樣的關(guān)系呢？學(xué)生探究：經(jīng)過獨(dú)立探求后，有學(xué)生可能會得到如下結(jié)果：設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），角90176。＋α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P′（x′，y′）（如圖），則cosα＝x，sinα＝y(tǒng)，cos（90176。＋α）＝x′，sin（90176。＋α）＝y(tǒng)′． 過P作PM⊥x軸，垂足為M，過P′作P′M′⊥y軸，垂足為M′，則△OPM≌△OP′M′，∴OM＝OM′，MP＝M′P′，即x＝y(tǒng)′，y＝x′．進(jìn)而得到cos（90176。＋α）＝sinα，sin（90176。＋α）＝cosα．對此結(jié)論和方法，教師不宜作任何評論，而應(yīng)放手讓學(xué)生展開辯論和交流，最后得到正確結(jié)果：由于OM與OM′，MP與M′P′僅是長度相等，而當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時，P′在第二象限，∴x′＜0，y′＞0，又∵x＞0，y＞0，∴x′＝－y，y′＝x． 從而得到：教師進(jìn)一步引導(dǎo)：（1）推導(dǎo)上面的公式時，利用了點(diǎn)P在第一象限的條件．當(dāng)點(diǎn)Ｐ不在第一象限時，是否仍有上面的結(jié)論？（通過多媒體演示角α的終邊在不同象限的情景，使學(xué)生理解公式六中的角α可以為任意角）（2）推導(dǎo)公式六時，采用了初中的平面幾何知識．是否也能像推導(dǎo)前五組公式那樣采用對稱變換的方式呢？學(xué)生探究：學(xué)生先針對α為銳角時的情況進(jìn)行探索，再推廣到α為任意角的情形． 設(shè)角α的終邊與單位圓交點(diǎn)為P（x，y），（如圖）．由于角α的終邊經(jīng)過下述變換：2（軸的對稱點(diǎn)P′（－y，－x），∴x′＝－y，y′＝x．＋α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P′（x′，y′）－α）＋2a＝，即可得到＋α的終邊．這是兩次對稱變換，即先作P關(guān)于直線y＝x的對稱點(diǎn)M（y，x），再作點(diǎn)M關(guān)于y由此，可進(jìn)一步得到：教師歸納：公式六、七、八、九也稱作誘導(dǎo)公式，利用它們可以把90176。177。α，270176。177。α的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為α的三角函數(shù)．引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：90176。177。α，270176。177。α的三角函數(shù)值等于α的余名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號．兩套公式合起來，可統(tǒng)一概括為 對于k90176。177。α（k∈Z）的各三角函數(shù)值，當(dāng)k為偶數(shù)時，得α的同名函數(shù)值；當(dāng)k為奇數(shù)時，得α的余名函數(shù)值．然后，均在前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號．為了便于記憶，也可編成口訣：“奇變偶不變，符號看象限”．