【正文】 第一篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇3539_平面向量及其應(yīng)用向量的概念教材分析向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本概念之一，它集“大小”與“方向”于一身，融“數(shù)”、“形”于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，是高中數(shù)學(xué)重要的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)，也是數(shù)形結(jié)合思想的重要載體．這節(jié)通過(guò)對(duì)物理中的位移和力的歸納，抽象、概括出向量的概念、有向線段、向量的表示、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量的準(zhǔn)確含義．與數(shù)學(xué)中的許多概念一樣，都可以追溯它的實(shí)際背景．這節(jié)的重點(diǎn)是向量的概念、相等向量的概念和向量的幾何表示等．難點(diǎn)是向量的概念．教學(xué)目標(biāo)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和科學(xué)的思維方法，使學(xué)生逐步由感性思維上升為理性思維．，會(huì)用有向線段表示向量，會(huì)判斷零向量，單位向量，平行的、相等的、共線的向量．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情景數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)．思考以下問(wèn)題：，你接觸過(guò)哪些類型的量？這些量本質(zhì)上有何區(qū)別？試描述這些量的本質(zhì)區(qū)別．？二、建立模型 學(xué)生回答：人的身高，年齡，體重；……圖形的面積，體積；物體的密度，質(zhì)量；……物理學(xué)中的重力、彈力、拉力，速度、加速度，位移……引導(dǎo)學(xué)生慢慢抽象出數(shù)量（只有大?。┖拖蛄浚扔写笮∮钟蟹较颍┑母拍睿?人們?cè)陂L(zhǎng)期生產(chǎn)生活實(shí)踐中，會(huì)遇到兩種不同類型的量，如身高、體重、面積、體積等，在規(guī)定的單位下，都可以用一個(gè)實(shí)數(shù)表示它們的大小，我們稱之為數(shù)量；另一類，如力、速度、位移等，它們不僅有大小，而且有方向．作用于某物體上的力，它不僅有大小，而且有作用方向；物體運(yùn)動(dòng)的速度既有快慢之分，又有方向的區(qū)別．這類既有數(shù)量特性又有方向特性的量，就是我們要研究的向量．在數(shù)學(xué)上，往往用一條有方向的線段，即有向線段來(lái)表示向量．有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．向量不僅可以用有向線段表示，也可用a，b，c，…表示，還可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，如就是向量的長(zhǎng)度（模），記作，.長(zhǎng)度為零的向量叫零向量，記作0或1的向量叫作單位向量．方向相同或相反的非零向量叫平行向量，記作a∥b，規(guī)定0∥a（a為任一向量）長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，記作a＝b．任意兩個(gè)相等的非零向量都可用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)．在同一平面上，兩個(gè)平行的長(zhǎng)度相等且指向一致的有向線段可以表示同一向量．因?yàn)橄蛄客耆伤姆较蚝湍Q定．任一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上，因此，平行向量也叫“共線向量”． ，組織學(xué)生討論（1）時(shí)間、路程、溫度、角度是向量嗎？速度、加速度、物體所受重力是向量嗎？（2）兩個(gè)單位向量一定相等嗎？（3）相等向量是平行向量嗎？（4）物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對(duì)共線向量嗎？（5）方向?yàn)槟掀?0176。的向量與北偏東60176。的向量是共線向量嗎？強(qiáng)調(diào)：大小、方向是向量的兩個(gè)基本要素，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量的大小和方向兩個(gè)要素完全相同時(shí)，兩個(gè)向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共線向量之間的異同．三、解釋應(yīng)用 ［例 題］如圖，邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF的中心為O，試分別寫出與線的向量，以及單位向量．相等、平行和共解：都是單位向量．［練習(xí)］，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，試寫出圖中與相等的向量．，那么四邊形ABCD的形狀如何？，F(xiàn)，P，Q分別是任意四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，對(duì)于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？，點(diǎn)P在點(diǎn)O“東偏北60176。，3cm”處，點(diǎn)Q在點(diǎn)O“南偏西30176。，3cm”處，試畫出點(diǎn)P和Q相對(duì)于點(diǎn)O的向量．，用有向線段分別表示下列各向量．（1）在與水平成120176。角的方向上，一個(gè)大小為50N的拉力．（2）方向東南，8km／h的風(fēng)的速度．（3）向量四、拓展延伸 ，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AD的中點(diǎn)，在向量中相等的向量是哪些？為什么？，那么與數(shù)的運(yùn)算類比，向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算？向量的概念教材分析向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本概念之一，它集“大小”與“方向”于一身，融“數(shù)”、“形”于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，是高中數(shù)學(xué)重要的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)，也是數(shù)形結(jié)合思想的重要載體．這節(jié)通過(guò)對(duì)物理中的位移和力的歸納，抽象、概括出向量的概念、有向線段、向量的表示、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量的準(zhǔn)確含義．與數(shù)學(xué)中的許多概念一樣，都可以追溯它的實(shí)際背景．這節(jié)的重點(diǎn)是向量的概念、相等向量的概念和向量的幾何表示等．難點(diǎn)是向量的概念．教學(xué)目標(biāo)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和科學(xué)的思維方法，使學(xué)生逐步由感性思維上升為理性思維．，會(huì)用有向線段表示向量，會(huì)判斷零向量，單位向量，平行的、相等的、共線的向量．任務(wù)分析在這之前，學(xué)生接觸較多的是只有大小的量（數(shù)量）．其實(shí)生活中還有一種不同于數(shù)量的量———向量．剛一開始，學(xué)生很不習(xí)慣，但可適時(shí)地結(jié)合實(shí)例，逐步讓學(xué)生理解向量的兩個(gè)基本要素———大小和方向，再讓學(xué)生于實(shí)際問(wèn)題中識(shí)別哪些是向量，哪些是數(shù)量．這樣由具體到抽象，再由抽象到具體；由實(shí)踐到理論，再由理論到實(shí)踐，可使學(xué)生比較容易地理解．緊緊抓住向量的大小和方向，便于理解兩個(gè)向量沒(méi)有大小之分，只有相等與不相等、平行與共線等．要結(jié)合例、習(xí)題讓學(xué)生很好地理解相等向量（向量可以平移）．這些均可為以后用向量處理幾何等問(wèn)題帶來(lái)方便．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情景數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)．思考以下問(wèn)題：，你接觸過(guò)哪些類型的量？這些量本質(zhì)上有何區(qū)別？試描述這些量的本質(zhì)區(qū)別．？二、建立模型 學(xué)生回答：人的身高，年齡，體重；……圖形的面積，體積；物體的密度，質(zhì)量；……物理學(xué)中的重力、彈力、拉力，速度、加速度，位移……引導(dǎo)學(xué)生慢慢抽象出數(shù)量（只有大?。┖拖蛄浚扔写笮∮钟蟹较颍┑母拍睿?人們?cè)陂L(zhǎng)期生產(chǎn)生活實(shí)踐中，會(huì)遇到兩種不同類型的量，如身高、體重、面積、體積等，在規(guī)定的單位下，都可以用一個(gè)實(shí)數(shù)表示它們的大小，我們稱之為數(shù)量；另一類，如力、速度、位移等，它們不僅有大小，而且有方向．作用于某物體上的力，它不僅有大小，而且有作用方向；物體運(yùn)動(dòng)的速度既有快慢之分，又有方向的區(qū)別．這類既有數(shù)量特性又有方向特性的量，就是我們要研究的向量．在數(shù)學(xué)上，往往用一條有方向的線段，即有向線段來(lái)表示向量．有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．向量不僅可以用有向線段表示，也可用a，b，c，…表示，還可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，如就是向量的長(zhǎng)度（模），記作，.長(zhǎng)度為零的向量叫零向量，記作0或1的向量叫作單位向量．方向相同或相反的非零向量叫平行向量，記作a∥b，規(guī)定0∥a（a為任一向量）長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，記作a＝b．任意兩個(gè)相等的非零向量都可用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)．在同一平面上，兩個(gè)平行的長(zhǎng)度相等且指向一致的有向線段可以表示同一向量．因?yàn)橄蛄客耆伤姆较蚝湍Q定． 任一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上，因此，平行向量也叫“共線向量”． ，組織學(xué)生討論（1）時(shí)間、路程、溫度、角度是向量嗎？速度、加速度、物體所受重力是向量嗎？（2）兩個(gè)單位向量一定相等嗎？（3）相等向量是平行向量嗎？（4）物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對(duì)共線向量嗎？（5）方向?yàn)槟掀?0176。的向量與北偏東60176。的向量是共線向量嗎？強(qiáng)調(diào)：大小、方向是向量的兩個(gè)基本要素，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量的大小和方向兩個(gè)要素完全相同時(shí)，兩個(gè)向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共線向量之間的異同．三、解釋應(yīng)用 ［例 題］如圖，邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF的中心為O，試分別寫出與線的向量，以及單位向量．相等、平行和共解：都是單位向量．［練習(xí)］，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，試寫出圖中與相等的向量．，那么四邊形ABCD的形狀如何？，F(xiàn)，P，Q分別是任意四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，對(duì)于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？，點(diǎn)P在點(diǎn)O“東偏北60176。，3cm”處，點(diǎn)Q在點(diǎn)O“南偏西30176。，3cm”處，試畫出點(diǎn)P和Q相對(duì)于點(diǎn)O的向量．，用有向線段分別表示下列各向量．（1）在與水平成120176。角的方向上，一個(gè)大小為50N的拉力．（2）方向東南，8km／h的風(fēng)的速度．（3）向量四、拓展延伸，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AD的中點(diǎn)，在向量中相等的向量是哪些？為什么？，那么與數(shù)的運(yùn)算類比，向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算？向量加法運(yùn)算及其幾何意義教材分析引入向量后，考查向量的運(yùn)算及運(yùn)算律，是數(shù)學(xué)研究中的基本的問(wèn)題．教材中向量的加法運(yùn)算是以位移的合成、力的合成等物理模型為背景引入的，在此基礎(chǔ)上抽象概括了向量加法的意義，總結(jié)了向量加法的三角形法則、平行四邊形法則．向量加法的運(yùn)算律，教材是通過(guò)“探究”和構(gòu)造圖形引導(dǎo)學(xué)生類比數(shù)的運(yùn)算律，驗(yàn)證向量的交換律和結(jié)合律．例2是一道實(shí)際問(wèn)題，主要是要讓學(xué)生體會(huì)向量加法的實(shí)際意義．這節(jié)課的重點(diǎn)是向量加法運(yùn)算（三角形法則、平行四邊形法則），向量的運(yùn)算律．難點(diǎn)是對(duì)向量加法意義的理解和認(rèn)識(shí)．教學(xué)目標(biāo)、力的合成等實(shí)例，認(rèn)識(shí)理解向量加法的意義，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程．，熟練運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則作向量的和向量．，能熟練地運(yùn)用它們進(jìn)行向量運(yùn)算．，由具體到抽象，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，使學(xué)生數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題，數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題．任務(wù)分析這節(jié)的主要內(nèi)容是向量加法的運(yùn)算和向量加法的應(yīng)用．對(duì)向量加法運(yùn)算，學(xué)生可能不明白向量可以相加的道理，產(chǎn)生疑惑：向量既有大小、又有方向，難道可以相加嗎？為此，在案例設(shè)計(jì)中，首先回顧物理學(xué)中位移、力的合成，讓學(xué)生體驗(yàn)向量加法的實(shí)際含義，明確向量的加法就是物理學(xué)中的矢量合成．在此基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)向量加法的三角形法則和平行四邊形法則．向量加法的運(yùn)算律發(fā)現(xiàn)并不困難，主要任務(wù)是讓學(xué)生對(duì)向量進(jìn)行探究，構(gòu)造圖形進(jìn)行驗(yàn)證．關(guān)于例2的教學(xué)，主要是幫助學(xué)生正確理解題意，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量加法運(yùn)算．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情境，某物體從A點(diǎn)經(jīng)B點(diǎn)到C點(diǎn)，兩次位移點(diǎn)的位移結(jié)果相同．，的結(jié)果，與A點(diǎn)直接到C，表示橡皮筋在兩個(gè)力F1，F(xiàn)2的作用下，沿GE的方向伸長(zhǎng)了EO，與力F的作用結(jié)果相同．位移認(rèn)為：與合成為等效，力F與分力F1，F(xiàn)2的共同作用等效，這時(shí)我們可以與、分力F1與F2某種運(yùn)算的結(jié)果．?dāng)?shù)的加法啟發(fā)我們，F(xiàn)分別是位移位移、力的合成可看作數(shù)學(xué)上的向量加法．，歸納并抽象概括出向量加法的定義已知非零向量a，b（如圖373），在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作向量，則向量叫a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＋＝a，＝.＝b，再作求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫作向量的加法．這種求向量和的作圖法則，稱為向量求和的三角形法則，我們規(guī)定0＋a＝a＋0＝ａ．，組織學(xué)生討論（1）根據(jù)力的合成的平行四邊形法則，你能定義兩個(gè)向量的和嗎？（2）當(dāng)a與b平行時(shí)，如何作出a＋b？強(qiáng)調(diào)：向量的和仍是一個(gè)向量．用三角形法則求和時(shí)，作圖要求兩向量首尾相連；而用平行四邊形法則求和時(shí)，作圖要求兩向量的起點(diǎn)平移在一起．（3）實(shí)數(shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律緊密聯(lián)系，類似地，向量的加法是否也有運(yùn)算律呢？首先，讓學(xué)生回憶實(shí)數(shù)加法運(yùn)算律，類比向量加法運(yùn)算律．向量加法的交換律由平行四邊形法則容易驗(yàn)證．向量加法的結(jié)合律的驗(yàn)證則比較困難，教學(xué)時(shí)，應(yīng)放手讓學(xué)生進(jìn)行充分探索．最后通過(guò)下面的兩個(gè)圖形驗(yàn)證加法結(jié)合律．三、解釋應(yīng)用 ［例 題］，b，就（1）a與b不共線，（2）a與b共線，分別求作向量a＋b． 注：要求寫出作法，規(guī)范解題格式．，常常通過(guò)輪船進(jìn)行運(yùn)輸．一艘輪船從長(zhǎng)江南岸Ａ點(diǎn)出發(fā)，以5km／h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東2km／h．（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度．（2）求船實(shí)際航行的速度的大小與方向（速度的大小保留2個(gè)有效數(shù)字，方向用與江水速度間的夾角表示，精確到度）．［練習(xí)］，已知a，b，畫圖表示a＋b．，F(xiàn)2的夾角是直角，合力F與F1的夾角是60176。，｜F｜＝10N，求F1和F2的大小．△ABC中，…An中，計(jì)算四、拓展延伸，b，探索｜a＋b｜與｜a｜＋｜b｜的大小，并指出取“＝”號(hào)的條件． ，你可能選擇不同的始點(diǎn)求和．你有沒(méi)有想過(guò)，選擇不同的始點(diǎn)作出的向量和都相等嗎？你可能認(rèn)為，這是“顯然”對(duì)的，你能證明這個(gè)問(wèn)題嗎？平面向量的基本定理教材分析平面向量的基本定理是說(shuō)明同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合，它是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，也是平面圖形中任一向量都可由某兩個(gè)不共線向量量化的依據(jù)．這節(jié)內(nèi)容以共線向量為基礎(chǔ)，通過(guò)把一個(gè)向量在其他兩個(gè)向量上的分解，說(shuō)明了該定理的本質(zhì)．教學(xué)時(shí)無(wú)須嚴(yán)格證明該定理，只要讓學(xué)生弄清定理的條件和結(jié)論，會(huì)用該定理就可以了．向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積的混合運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn)算，也叫“向量的初等運(yùn)算”．由平面向量的基本定理，知任一平面內(nèi)的直線型圖形都可表示為某些向量的線性組合，這樣在證明幾何命題時(shí)，可先把已知和結(jié)論表示成向量形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算，有時(shí)能很容易證明幾何命題．因此，向量是數(shù)學(xué)中證明幾何命題的有效工具之一．為降低難度，目前要求用向量表示幾何關(guān)系，而不要求用向量證明幾何命題．平面向量的基本定理的理解是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，而應(yīng)用基本向量表示平面內(nèi)的某一向量是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)．教學(xué)目標(biāo)，會(huì)用它來(lái)表示平面圖形中任一向量，為向量坐標(biāo)化打下基礎(chǔ)．、抽象和概括，體驗(yàn)數(shù)學(xué)定理的產(chǎn)生、形成過(guò)程，提升學(xué)生的抽象和概括能力． ，增強(qiáng)向量的應(yīng)用意識(shí)，進(jìn)一步體會(huì)向量是處理幾何問(wèn)題的強(qiáng)有力的工具之一．任務(wù)分析這節(jié)課是在學(xué)生熟悉向量加、減、數(shù)乘線性運(yùn)算的基礎(chǔ)上展開的，為了使學(xué)生理解和掌握好平面向量的基本定理，教學(xué)時(shí)，常應(yīng)用構(gòu)造式的作圖方法，同時(shí)采用師生共同操作，增強(qiáng)直觀認(rèn)識(shí)，歸納和總結(jié)出任意向量與基本向量的線性組合關(guān)系，并且通過(guò)適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和理解這一基本定理．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情景，（1）已知＝ａ，＝ｂ，試用ｂ，ｂ來(lái)表示，；（2）已知＝ｃ，＝ｄ，試用ｃ，ｄ表示向量，.，e2，試作出向量3e1＋2e2，e1－2e2． ＋λ2e2的向量表示？二、建立模型 （1）由向量加法，知＝ａ＋ｂ；由向