【正文】 于第6個數，是6；第3個數等于第11個數，是7。前三個數依次是3，6，7，第四個數是25（3+6+7）=9。這串數按照3，6，7，9的順序循環(huán)出現。第24個數與第4個數相同，是9。由77247。4＝9??1知，前77個數是19個周期零1個數，其和為2519+3=478。例3 下面這串數的規(guī)律是：從第3個數起，每個數都是它前面兩個數之和的個位數。問：這串數中第88個數是幾？628088640448?分析與解：這串數看起來沒有什么規(guī)律，但是如果其中有兩個相鄰數字與前面的某兩個相鄰數字相同，那么根據這串數的構成規(guī)律，這兩個相鄰數字后面的數字必然與前面那兩個相鄰數字后面的數字相同，也就是說將出現周期性變化。我們試著將這串數再多寫出幾位：綠藤星教育（***）小學奧數基礎教程當寫出第21，22位（豎線右面的兩位）時就會發(fā)現，它們與第1，2位數相同，所以這串數按每20個數一個周期循環(huán)出現。由88247。20=4??8知，第88個數與第8個數相同，所以第88個數是4。從例3看出，周期性規(guī)律有時并不明顯，要找到它還真得動點腦筋。例4 在下面的一串數中，從第五個數起，每個數都是它前面四個數之和的個位數字。那么在這串數中，能否出現相鄰的四個數是“2000”？***7134?分析與解：無休止地將這串數寫下去，顯然不是聰明的做法。按照例3的方法找到一周期，因為這個周期很長，所以也不是好方法。那么怎么辦呢？仔細觀察會發(fā)現，這串數的前四個數都是奇數，按照“每個數都是它前面四個數之和的個位數字”，如果不看具體數，只看數的奇偶性，那么將這串數依次寫出來，得到奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇??可以看出，這串數是按照四個奇數一個偶數的規(guī)律循環(huán)出現的，永遠不會出現四個偶數連在一起的情況，即不會出現“2000”。例5 A，B，C，D四個盒子中依次放有8，6，3，1個球。第1個小朋友找到放球最少的盒子，然后從其它盒子中各取一個球放入這個盒子；第2個小朋友也找到放球最少的盒子，然后也從其它盒子中各取一個球放入這個盒子??當100位小朋友放完后，A，B，C，D四個盒子中各放有幾個球？ 分析與解：按照題意，前六位小朋友放過后，A，B，C，D四個盒子中的球數如下表： 綠藤星教育（***）小學奧數基礎教程可以看出，第6人放過后與第2人放過后四個盒子中球的情況相同，所以從第2人放過后，每經過4人，四個盒子中球的情況重復出現一次。（1001）247。4＝24??3，所以第100次后的情況與第4次（3＋1＝4）后的情況相同，A，B，C，D盒中依次有4，6，3，5個球。練習71．有一串很長的珠子，它是按照5顆紅珠、3顆白珠、4顆黃珠、2顆綠珠的順序重復排列的。問：第100顆珠子是什么顏色？前200顆珠子中有多少顆紅珠？2．將1，2，3，4，?除以3的余數依次排列起來，得到一個數列。求這個數列前100個數的和。3．有一串數，前兩個數是9和7，從第三個數起，每個數是它前面兩個數乘積的個位數。這串數中第100個數是幾？前100個數之和是多少？4．有一列數，第一個數是6，以后每一個數都是它前面一個數與7的和的個位數。這列數中第88個數是幾？5．小明按1～3報數，小紅按1～4報數。兩人以同樣的速度同時開始報數，當兩人都報了100個數時，有多少次兩人報的數相同？6．A，B，C，D四個盒子中依次放有9，6，3，0個小球。第1個小朋友找到放球最多的盒子，從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球；第2綠藤星教育（***）小學奧數基礎教程個小朋友也找到放球最多的盒子，也從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球??當100個小朋友放完后，A，B，C，D四個盒子中各放有幾個球？第8講 找規(guī)律（二）整數a與它本身的乘積，即aa叫做這個數的平方，記作a2，即a2＝aa；同樣，三個a的乘積叫做a的三次方，記作a3，即a3＝aaa。一般地，n個a相乘，叫做a的n次方，記作an，即本講主要講an的個位數的變化規(guī)律，以及an除以某數所得余數的變化規(guī)律。因為積的個位數只與被乘數的個位數和乘數的個位數有關，所以an的個位數只與a的個位數有關，而a的個位數只有0，1，2，?，9共十種情況，故我們只需討論這十種情況。為了找出一個整數a自乘n次后，乘積的個位數字的變化規(guī)律，我們列出下頁的表格，看看a，a2，a3，a4，?的個位數字各是什么。從表看出，an的個位數字的變化規(guī)律可分為三類：（1）當a的個位數是0，1，5，6時，an的個位數仍然是0，1，5，6。（2）當a的個位數是4，9時，隨著n的增大，an的個位數按每兩個數為一周期循環(huán)出現。其中a的個位數是4時，按4，6的順序循環(huán)出現；a的個位數是9時，按9，1的順序循環(huán)出現。（3）當a的個位數是2，3，7，8時，隨著n的增大，an的個位數按每四個數為一周期循環(huán)出現。其中a的個位數是2時，按2，4，8，6的順序循環(huán)出現；a的個位數是3時，按3，9，7，1的順序循環(huán)出現；當a的綠藤星教育（***）小學奧數基礎教程個位數是7時，按7，9，3，1的順序循環(huán)出現；當a的個位數是8時，按8，4，2，6的順序循環(huán)出現。例1 求67999的個位數字。分析與解：因為67的個位數是7，所以67n的個位數隨著n的增大，按7，9，3，1四個數的順序循環(huán)出現。999247。4＝249??3，所以67999的個位數字與73的個位數字相同，即67999的個位數字是3。例2 求291+3291的個位數字。分析與解：因為2n的個位數字按2，4，8，6四個數的順序循環(huán)出現，91247。4＝22??3，所以，291的個位數字與23的個位數字相同，等于8。類似地，3n的個位數字按3，9，7，1四個數的順序循環(huán)出現，291247。4＝72??3，所以3291與33的個位數相同，等于7。最后得到291+3291的個位數字與8+7的個位數字相同，等于5。例3 求281282929的個位數字。解：由128247。4＝32知，28128的個位數與84的個位數相同，等于6。由29247。2＝14??1知，2929的個位數與91的個位數相同，等于9。因為6＜9，在減法中需向十位借位，所以所求個位數字為16－9＝7。綠藤星教育（***）小學奧數基礎教程例4 求下列各除法運算所得的余數：（1）7855247。5；（2）555247。3。分析與解：（1）由55247。4＝13??3知，7855的個位數與83的個位數相同，等于2，所以7855可分解為10a＋2。因為10a能被5整除，所以7855除以5的余數是2。（2）因為a247。3的余數不僅僅與a的個位數有關，所以不能用求555的個位數的方法求解。為了尋找5n247。3的余數的規(guī)律，先將5的各次方除以3的余數列表如下：注意：表中除以3的余數并不需要計算出5n，然后再除以3去求，而是用上次的余數乘以5后，再除以3去求。比如，52除以3的余數是1，53除以3的余數與15=5除以3的余數相同。這是因為52＝38+1，其中38能被3整除，而53=（38+1）5=（38）5+15，（38）5能被3整除，所以53除以3的余數與15除以3的余數相同。由上表看出，5n除以3的余數，隨著n的增大，按2，1的順序循環(huán)出現。由55247。2=27??1知，555247。3的余數與51247。3的余數相同，等于2。例5 某種細菌每小時分裂一次，每次1個細茵分裂成3個細菌。20時后，將這些細菌每7個分為一組，還剩下幾個細菌？分析與解：1時后有13=31（個）細菌，2時后有313=32（個）細菌??20時后，有320個細菌，所以本題相當于“求320247。7的余數”。綠藤星教育（***）小學奧數基礎教程由例4（2）的方法，將3的各次方除以7的余數列表如下：由上表看出，3n247。7的余數以六個數為周期循環(huán)出現。由20247。6＝3??2知，320247。7的余數與32247。7的余數相同，等于2。所以最后還剩2個細菌。最后再說明一點，an247。b所得余數，隨著n的增大，必然會出現周期性變化規(guī)律，因為所得余數必然小于b，所以在b個數以內必會重復出現。練習81．求下列各數的個位數字：（1）3838；（2）2930；（3）6431；（4）172．求下列各式運算結果的個位數字：（1）9222＋5731；（2）615+487+349；（3）4696211；（4）3748+59610。3．求下列各除法算式所得的余數：（1）5100247。4；（2）8111247。6；（3）488247。7 第9講 數字謎（一）我們在三年級已經學習過一些簡單的數字謎問題。這兩講除了復習鞏固學過的知識外，還要學習一些新的內容。例1 在下面算式等號左邊合適的地方添上括號，使等式成立：5+78+12247。42＝20。分析：等式右邊是20，而等式左邊算式中的78所得的積比20大得多。因此必須設法使這個積縮小一定的倍數，化大為小。從整個算式來看，78是4的倍數，12也是4的倍數，5不能被4整除，因此可在78+12前后添上小括號，再除以4得17，5＋172=20。綠藤星教育（***）小學奧數基礎教程解：5+（78+12）247。42=20。例2 把1～9這九個數字填到下面的九個□里，組成三個等式（每個數字只能填一次）：分析與解：如果從加法與減法兩個算式入手，那么會出現許多種情形。如果從乘法算式入手，那么只有下面兩種可能：23＝6或24＝8，所以應當從乘法算式入手。因為在加法算式□+□=□中，等號兩邊的數相等，所以加法算式中的三個□內的三個數的和是偶數；而減法算式□□=可以變形為加法算式□=□+□，所以減法算式中的三個□內的三個數的和也是偶數。于是可知，原題加減法算式中的六個數的和應該是偶數。若乘法算式是24＝8，則剩下的六個數1，3，5，6，7，9的和是奇數，不合題意；若乘法算式是23＝6，則剩下的六個數1，4，5，7，8，9可分為兩組：4＋5＝9，87＝1（或81＝7）；1＋7＝8，9－5＝4（或9－4＝5）。所以答案為 與綠藤星教育（***）小學奧數基礎教程例3 下面的算式是由1～9九個數字組成的，其中“7”已填好，請將其余各數填入□，使得等式成立：□□□247?！酢?□□=□7。分析與解：因為左端除法式子的商必大于等于2，所以右端被減數只能填9，由此知左端被除數的百位數只能填1，故中間減式有86，64，53和42四種可能。經逐一驗證，86，64和42均無解，只有當中間減式為53時有如下兩組解：128247。64=53=97，或 164247。82＝53＝97。例4 將1～9九個數字分別填入下面四個算式的九個□中，使得四個等式都成立：□+□=6，□□=8，□□=6，□□247。□=8。分析與解：因為每個□中要填不同的數字，對于加式只有兩種填法：1＋5或2＋4；對于乘式也只有兩種填法：18或24。加式與乘式的數字不能相同，搭配后只有兩種可能：（1）加式為1＋5，乘式為24；（2）加式為2+4，乘式為18。對于（1），還剩3，6，7，8，9五個數字未填，減式只能是93，此時除式無法滿足；對于（2），還剩3，5，6，7，9五個數字未填，減式只能是93，此時除式可填56247。7。答案如下：2＋4＝6，18＝8，9－3＝6，56247。7＝8。綠藤星教育（***）小學奧數基礎教程例2～例4都是對題目經過初步分析后，將滿足題目條件的所有可能情況全部列舉出來，再逐一試算，決定取舍。這種方法叫做枚舉法，也叫窮舉法或列舉法，它適用于只有幾種可能情況的題目，如果可能的情況很多，那么就不宜用枚舉法。例5 從1～9這九個自然數中選出八個填入下式的八個○內，使得算式的結果盡可能大：[○247?！穑ā?○）][○○+○○]。分析與解：為使算式的結果盡可能大，應當使前一個中括號內的結果盡量大，后一個中括號內的結果盡量小。為敘述方便，將原式改寫為：[A247。B（C＋D）][EF＋G－H]。通過分析，A，C，D，H應盡可能大，且A應最大，C，D次之，H再次之；B，E，F，G應盡可能小，且B應最小，E，F次之，G再次之。于是得到A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2，F=3，G=4，其中C與D，E與F的值可互換。將它們代入算式，得到[9247。1（8＋7）]－[23＋4－6]=131。練習91．在下面的算式里填上括號，使等式成立：（1）46+24247。65=15；（2）46+24247。65=35；（3）46+24247。65=48；（4）46+24247。65＝0。2．加上適當的運算符號和括號，使下式成立：＝100。綠藤星教育（***）小學奧數基礎教程3．把0～9這十個數字填到下面的□里，組成三個等式（每個數字只能填一次）：□+□=□，□□=□，□□=□□。4．在下面的□里填上+，，247。，（）等符號，使各個等式成立：4□4□4□4＝1，4□4□4□4＝3，4□4□4□4＝5，4□4□4□4＝9。5．將2～7這六個數字分別填入下式的□中，使得等式成立：□+□□=□□247?！?。6．將1～9分別填入下式的九個□內，使算式取得最大值：□□□□□□□□□。7．將1～8分別填入下式的八個□內，使算式取得最小值： □□□□□□□□。第10講 數字謎（二）例1 把下面算式中缺少的數字補上：分析與解：一個四位數減去一個三位數，差是一個兩位數，也就是說被減數與減數相差不到100。四位數與三位數相差不到100，三位數必然大于900，四位數必然小于1100。由此我們找出解決本題的突破口在百位數上。綠藤星教育（***）小學奧數基礎教程（1）填百位與千位。由于被減數是四位數，減數是三位數，差是兩位數，所以減數的百位應填9，被減數的千位應填1，百位應填0，且十位相減時必須向百位借1。（2）填個位。由于被減數個位數字是0，差的個位數字是1，所以減數的個位數字是9。（3）填十位。由于個位向十位借1，十位又向百位