【正文】 么這個減綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程法計算肯定不正確。上式中被減數(shù)的九余數(shù)是3，減數(shù)的九余數(shù)是6，由（9+3）6＝6知，原題等號左邊的九余數(shù)是6。等號右邊的九余數(shù)也是6。因為6＝6，所以這個減法運算可能正確。值得注意的是，這里我們用的是“可能正確”。利用棄九法檢驗加法、減法、乘法（見例5）運算的結(jié)果是否正確時，如果等號兩邊的九余數(shù)不相等，那么這個算式肯定不正確；如果等號兩邊的九余數(shù)相等，那么還不能確定算式是否正確，因為九余數(shù)只有0，1，2，?，8九種情況，不同的數(shù)可能有相同的九余數(shù)。所以用棄九法檢驗運算的正確性，只是一種粗略的檢驗。例5 檢驗下面的乘法算式是否正確：468769537＝447156412。分析與解：兩個因數(shù)的九余數(shù)相乘，所得的數(shù)的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔趦蓚€因數(shù)的乘積的九余數(shù)。如果不等，那么這個乘法計算肯定不正確。上式中，被乘數(shù)的九余數(shù)是4，乘數(shù)的九余數(shù)是6，46＝24，24的九余數(shù)是6。乘積的九余數(shù)是7。6≠7，所以這個算式不正確。說明：因為除法是乘法的逆運算，被除數(shù)=除數(shù)商+余數(shù)，所以當(dāng)余數(shù)為零時，利用棄九法驗算除法可化為用棄九法去驗算乘法。例如，檢驗383801247。253=1517的正確性，只需檢驗1517253=383801的正確性。練習(xí)51．求下列各數(shù)除以9的余數(shù)：（1）7468251；（2）36298745；（3）2657348；（4）6678254193。2．求下列各式除以9的余數(shù)：（1）67235＋82564；（2）9725647823； 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（3）27836451；（4）3477+265841。3．用棄九法檢驗下列各題計算的正確性：（1）228222＝50616；（2）334336＝112224；（3）23372428247。6236＝3748；（4）12345247。6789＝83810105。4．有一個2000位的數(shù)A能被9整除，數(shù)A的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是B，數(shù)B的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是C，數(shù)C的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是D。求D。第6講 數(shù)的整除性（二）這一講主要講能被11整除的數(shù)的特征。一個數(shù)從右邊數(shù)起，第1，3，5，?位稱為奇數(shù)位，第2，4，6，?位稱為偶數(shù)位。也就是說，個位、百位、萬位??是奇數(shù)位，十位、千位、十萬位??是偶數(shù)位。例如9位數(shù)768325419中，奇數(shù)位與偶數(shù)位如下圖所示：能被11整除的數(shù)的特征：一個數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大數(shù)減小數(shù)）如果能被11整除，那么這個數(shù)就能被11整除。例1 判斷七位數(shù)1839673能否被11整除。分析與解：奇數(shù)位上的數(shù)字之和為1＋3＋6＋3=13，偶數(shù)位上的數(shù)字之和為8＋9＋7=24，因為2413=11能被11整除，所以1839673能被11整除。根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征，也能求出一個數(shù)除以11的余數(shù)。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程一個數(shù)除以11的余數(shù)，與它的奇數(shù)位上的數(shù)字之和減去偶數(shù)位上的數(shù)字之和所得的差除以11的余數(shù)相同。如果奇數(shù)位上的數(shù)字之和小于偶數(shù)位上的數(shù)字之和，那么應(yīng)在奇數(shù)位上的數(shù)字之和上再增加11的整數(shù)倍，使其大于偶數(shù)位上的數(shù)字之和。例2 求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：（1）41873；（2）296738185。分析與解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]247。11=7247。11＝0??7，所以41873除以11的余數(shù)是7。（2）奇數(shù)位之和為2＋6＋3＋1＋5=17，偶數(shù)位之和為9＋7＋8＋8＝32。因為17＜32，所以應(yīng)給17增加11的整數(shù)倍，使其大于32。（17+112）32＝7，所以296738185除以11的余數(shù)是7。需要說明的是，當(dāng)奇數(shù)位數(shù)字之和遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于偶數(shù)位數(shù)字之和時，為了計算方便，也可以用偶數(shù)位數(shù)字之和減去奇數(shù)位數(shù)字之和，再除以11，所得余數(shù)與11的差即為所求。如上題（2）中，（3217）247。11＝1??4，所求余數(shù)是114=7。例3 求除以11的余數(shù)。分析與解：奇數(shù)位是101個1，偶數(shù)位是100個9。（91001101）247。11=799247。11=72??7，117=4，所求余數(shù)是4。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例3還有其它簡捷解法，例如每個“19”奇偶數(shù)位上的數(shù)字相差91＝8，奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)字和相差899=8911，能被11整除。所以例3相當(dāng)于求最后三位數(shù)191除以11的余數(shù)。例4 用3，3，7，7四個數(shù)碼能排出哪些能被11整除的四位數(shù)？ 解：只要奇數(shù)位和偶數(shù)位上各有一個3和一個7即可。有3377，3773，7337，7733。例5 用1～9九個數(shù)碼組成能被11整除的沒有重復(fù)數(shù)字的最大九位數(shù)。分析與解：最大的沒有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)是987654321，由（9＋7＋5＋3＋1）（8＋6＋4＋2）＝5知，987654321不能被11整除。為了保證這個數(shù)盡可能大，我們盡量調(diào)整低位數(shù)字，只要使奇數(shù)位的數(shù)字和增加3（偶數(shù)位的數(shù)字和自然就減少3），奇數(shù)位的數(shù)字之和與偶數(shù)位的數(shù)字之和的差就變?yōu)?＋32=11，這個數(shù)就能被11整除。調(diào)整“4321”，只要4調(diào)到奇數(shù)位，1調(diào)到偶數(shù)位，奇數(shù)位就比原來增大3，就可達(dá)到目的。此時，4，3在奇數(shù)位，2，1在偶數(shù)位，后四位最大是2413。所求數(shù)為987652413。例6 六位數(shù)能被99整除，求A和B。分析與解：由99=911，且9與11互質(zhì)，所以六位數(shù)既能被9整除又能被11整除。因為六位數(shù)能被9整除，所以A+2+8+7+5+B＝22+A+B應(yīng)能被9整除，由此推知A＋B＝5或14。又因為六位數(shù)能被11整除，所以（A＋8＋5）－（2＋7＋B）綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程＝AB＋4應(yīng)能被11整除，即AB+4=0或AB+4=11?；喌肂A＝4或AB＝7。因為A+B與AB同奇同偶，所以有在（1）中，A≤5與A≥7不能同時滿足，所以無解。在（2）中，上、下兩式相加，得（B＋A）＋（BA）＝14＋4，2B＝18，B=9。將B=9代入A＋B=14，得A＝5。所以，A=5，B＝9。練習(xí)61．為使五位數(shù)6□295能被11整除，□內(nèi)應(yīng)當(dāng)填幾？2．用1，2，3，4四個數(shù)碼能排出哪些能被11整除的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？3．求能被11整除的最大的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)。4．求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：（1）2485；（2）63582；（3）987654321。5．求6．六位數(shù)除以11的余數(shù)。5A634B能被33整除，求A+B。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程7．七位數(shù)3A8629B是88的倍數(shù)，求A和B。第7講 找規(guī)律（一）我們在三年級已經(jīng)見過“找規(guī)律”這個題目，學(xué)習(xí)了如何發(fā)現(xiàn)圖形、數(shù)表和數(shù)列的變化規(guī)律。這一講重點學(xué)習(xí)具有“周期性”變化規(guī)律的問題。什么是周期性變化規(guī)律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛開的春季過后就是夏天，赤日炎炎的夏季過后就是秋天，果實累累的秋季過后就是冬天，白雪皚皚的冬季過后又到了春天。年復(fù)一年，總是按照春、夏、秋、冬四季變化，這就是周期性變化規(guī)律。再比如，數(shù)列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，?是按照0，1，2三個數(shù)重復(fù)出現(xiàn)的，這也是周期性變化問題。下面，我們通過一些例題作進一步講解。例1 節(jié)日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍(lán)燈、再接3盞黃燈，然后又是5盞紅燈、4盞藍(lán)燈、3盞黃燈、??這樣排下去。問：（1）第100盞燈是什么顏色？（2）前150盞彩燈中有多少盞藍(lán)燈？分析與解：這是一個周期變化問題。彩燈按照5紅、4藍(lán)、3黃，每12盞燈一個周期循環(huán)出現(xiàn)。（1）100247。12＝8??4，所以第100盞燈是第9個周期的第4盞燈，是紅燈。（2）150247。12=12??6，前150盞燈共有12個周期零6盞燈，12個周期中有藍(lán)燈412＝48（盞），最后的6盞燈中有1盞藍(lán)燈，所以共有藍(lán)燈48＋1=49（盞）。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例2 有一串?dāng)?shù)，任何相鄰的四個數(shù)之和都等于25。已知第1個數(shù)是3，第6個數(shù)是6，第11個數(shù)是7。問：這串?dāng)?shù)中第24個數(shù)是幾？前77個數(shù)的和是多少？分析與解：因為第1，2，3，4個數(shù)的和等于第2，3，4，5個數(shù)的和，所以第1個數(shù)與第5個數(shù)相同。進一步可推知，第1，5，9，13，?個數(shù)都相同。同理，第2，6，10，14，?個數(shù)都相同，第3，7，11，15，?個數(shù)都相同，第4，8，12，16?個數(shù)都相同。也就是說，這串?dāng)?shù)是按照每四個數(shù)為一個周期循環(huán)出現(xiàn)的。所以，第2個數(shù)等于第6個數(shù)，是6；第3個數(shù)等于第11個數(shù)，是7。前三個數(shù)依次是3，6，7，第四個數(shù)是25（3+6+7）=9。這串?dāng)?shù)按照3，6，7，9的順序循環(huán)出現(xiàn)。第24個數(shù)與第4個數(shù)相同，是9。由77247。4＝9??1知，前77個數(shù)是19個周期零1個數(shù)，其和為2519+3=478。例3 下面這串?dāng)?shù)的規(guī)律是：從第3個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)之和的個位數(shù)。問：這串?dāng)?shù)中第88個數(shù)是幾？628088640448?分析與解：這串?dāng)?shù)看起來沒有什么規(guī)律，但是如果其中有兩個相鄰數(shù)字與前面的某兩個相鄰數(shù)字相同，那么根據(jù)這串?dāng)?shù)的構(gòu)成規(guī)律，這兩個相鄰數(shù)字后面的數(shù)字必然與前面那兩個相鄰數(shù)字后面的數(shù)字相同，也就是說將出現(xiàn)周期性變化。我們試著將這串?dāng)?shù)再多寫出幾位：綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程當(dāng)寫出第21，22位（豎線右面的兩位）時就會發(fā)現(xiàn)，它們與第1，2位數(shù)相同，所以這串?dāng)?shù)按每20個數(shù)一個周期循環(huán)出現(xiàn)。由88247。20=4??8知，第88個數(shù)與第8個數(shù)相同，所以第88個數(shù)是4。從例3看出，周期性規(guī)律有時并不明顯，要找到它還真得動點腦筋。例4 在下面的一串?dāng)?shù)中，從第五個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面四個數(shù)之和的個位數(shù)字。那么在這串?dāng)?shù)中，能否出現(xiàn)相鄰的四個數(shù)是“2000”？***7134?分析與解：無休止地將這串?dāng)?shù)寫下去，顯然不是聰明的做法。按照例3的方法找到一周期，因為這個周期很長，所以也不是好方法。那么怎么辦呢？仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)，這串?dāng)?shù)的前四個數(shù)都是奇數(shù)，按照“每個數(shù)都是它前面四個數(shù)之和的個位數(shù)字”，如果不看具體數(shù)，只看數(shù)的奇偶性，那么將這串?dāng)?shù)依次寫出來，得到奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇??可以看出，這串?dāng)?shù)是按照四個奇數(shù)一個偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)的，永遠(yuǎn)不會出現(xiàn)四個偶數(shù)連在一起的情況，即不會出現(xiàn)“2000”。例5 A，B，C，D四個盒子中依次放有8，6，3，1個球。第1個小朋友找到放球最少的盒子，然后從其它盒子中各取一個球放入這個盒子；第2個小朋友也找到放球最少的盒子，然后也從其它盒子中各取一個球放入這個盒子??當(dāng)100位小朋友放完后，A，B，C，D四個盒子中各放有幾個球？ 分析與解：按照題意，前六位小朋友放過后，A，B，C，D四個盒子中的球數(shù)如下表： 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程可以看出，第6人放過后與第2人放過后四個盒子中球的情況相同，所以從第2人放過后，每經(jīng)過4人，四個盒子中球的情況重復(fù)出現(xiàn)一次。（1001）247。4＝24??3，所以第100次后的情況與第4次（3＋1＝4）后的情況相同，A，B，C，D盒中依次有4，6，3，5個球。練習(xí)71．有一串很長的珠子，它是按照5顆紅珠、3顆白珠、4顆黃珠、2顆綠珠的順序重復(fù)排列的。問：第100顆珠子是什么顏色？前200顆珠子中有多少顆紅珠？2．將1，2，3，4，?除以3的余數(shù)依次排列起來，得到一個數(shù)列。求這個數(shù)列前100個數(shù)的和。3．有一串?dāng)?shù)，前兩個數(shù)是9和7，從第三個數(shù)起，每個數(shù)是它前面兩個數(shù)乘積的個位數(shù)。這串?dāng)?shù)中第100個數(shù)是幾？前100個數(shù)之和是多少？4．有一列數(shù)，第一個數(shù)是6，以后每一個數(shù)都是它前面一個數(shù)與7的和的個位數(shù)。這列數(shù)中第88個數(shù)是幾？5．小明按1～3報數(shù)，小紅按1～4報數(shù)。兩人以同樣的速度同時開始報數(shù)，當(dāng)兩人都報了100個數(shù)時，有多少次兩人報的數(shù)相同？6．A，B，C，D四個盒子中依次放有9，6，3，0個小球。第1個小朋友找到放球最多的盒子，從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球；第2綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程個小朋友也找到放球最多的盒子，也從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球??當(dāng)100個小朋友放完后，A，B，C，D四個盒子中各放有幾個球？第8講 找規(guī)律（二）整數(shù)a與它本身的乘積，即aa叫做這個數(shù)的平方，記作a2，即a2＝aa；同樣，三個a的乘積叫做a的三次方，記作a3，即a3＝aaa。一般地，n個a相乘，叫做a的n次方，記作an，即本講主要講an的個位數(shù)的變化規(guī)律，以及an除以某數(shù)所得余數(shù)的變化規(guī)律。因為積的個位數(shù)只與被乘數(shù)的個位數(shù)和乘數(shù)的個位數(shù)有關(guān)，所以an的個位數(shù)只與a的個位數(shù)有關(guān)，而a的個位數(shù)只有0，1，2，?，9共十種情況，故我們只需討論這十種情況。為了找出一個整數(shù)a自乘n次后，乘積的個位數(shù)字的變化規(guī)律，我們列出下頁的表格，看看a，a2，a3，a4，?的個位數(shù)字各是什么。從表看出，an的個位數(shù)字的變化規(guī)律可分為三類：（1）當(dāng)a的個位數(shù)是0，1，5，6時，an的個位數(shù)仍然是0，1，5，6。（2）當(dāng)a的個位數(shù)是4，9時，隨著n的增大，an的個位數(shù)按每兩個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個位數(shù)是4時，按4，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是9時，按9，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。（3）當(dāng)a的個位數(shù)是2，3，7，8時，隨著n的增大，an的個位數(shù)按每四個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個位數(shù)是2時，按2，4，8，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是3時，按3，9，7，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當(dāng)a的綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程個位數(shù)是7時，按7，9，3，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當(dāng)a的個位數(shù)是8時，按8，4，2，6的順序循環(huán)出現(xiàn)。例1 求67999的個位數(shù)字。分析與解：因為67的個位數(shù)是7，所以67n的個位數(shù)隨著n的增大，按7，9，3，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)。999247。4＝249??3，所以67999的個位數(shù)字與73的個位數(shù)字相同，即67999的個位數(shù)字是3。例2 求291+