高中數(shù)學余弦定理教案1蘇教版必修5-資料下載頁
2025-10-17 01:32本頁面
【正文】 的觀點，從新的角度看過去的問題，使學生對過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎(chǔ)上，使學生能夠形成良好的知識結(jié)構(gòu)．設(shè)置這樣的問題，是為了更好地加強數(shù)學思想方法的教學．比如對于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對三角形進行討論，方法不夠簡潔，通過向量知識給予證明,引起學生對向量知識的學習興趣,，發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力．在證明了余弦定理及其推論以后，教科書從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個思考問題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？”并進而指出，“從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，余弦定理是勾股定理的推廣”．還要啟發(fā)引導學生注意余弦定理的各種變形式,并總結(jié)余弦定理的適用題型的特點,在解題時正確選用余弦定理達到求解、求證目的 啟發(fā)學生在證明余弦定理時能與向量數(shù)量積的知識產(chǎn)生聯(lián)系,在應用向量知識的同時,注意使學生體會三角函數(shù)、正弦定理、提問1：上節(jié)課，我們學習了正弦定理，解決了有關(guān)三角形的兩類問題：已知兩角和任意一邊；②？已知兩邊和夾角；——,b及夾角208。C=90，能否求第三邊？勾股定理c2=a2+b2提問2：在斜三角形中邊和角有怎樣的關(guān)系？在△ABC中，當208。C=90時，有c2=a2+b2．實驗：若a,b邊的長短不變，208。C的大小變化,c2與a2+b2有怎樣的大小關(guān)系呢？如圖2，若208。C90時，由于b邊與a邊的長度不變，所以c邊的長度變短，即c2a2+，若208。C90時，由于b邊與a邊的長度不變，所以c邊的長度變長，即c2a2+185。90時，c2185。a2+b2，那么c2與a2+b2到底相差多少呢？與怎樣的角有關(guān)呢？顯然應與∠ 圖2 圖3導入新課二師 上一節(jié),我們一起研究了正弦定理及其應用,在體會向量應用的同時,解決了在三角形已知兩角、,下面我們來看如圖(1)，在直角三角形中,根據(jù)兩直角邊及直角可表示斜邊,即勾股定理,那么對于任意三角形,能否根據(jù)已知兩邊及夾角來表示第三邊呢?下面我們根據(jù)初中所學的平面幾何的有關(guān)知識來研究這一問題在△ABC中,設(shè)BC=A,AC=B,AB=C,試根據(jù)B、C、A來表示A師 由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應添加輔助線構(gòu)成直角三角形，在直角三角形內(nèi)通過邊角關(guān)系作進一步的轉(zhuǎn)化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，邊A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用邊角關(guān)系表示,DB可利用ABAD轉(zhuǎn)化為AD,進而在Rt△ADC內(nèi)求解解：過C作CD⊥AB,垂足為D,則在Rt△CDB中,根據(jù)勾股定理可得A2=CD2+BD∵在Rt△ADC中,CD2=B2AD又∵BD2=(CAD)2=C22CAD+AD∴A2=B2AD2+C22CAD+AD2=B2+C22C∵在Rt△ADC中,AD=BCOsA∴a2=b2+c22abcosA.類似地可以證明b2=c2+a22cacosBc2=a2+b22abcosC另外,當A為鈍角時也可證得上述結(jié)論,當A為直角時，a2+b2=c2也符合上述結(jié)論,這也正是我們這一節(jié)將要研究的余弦定理,下面我們給出余弦定理的具體內(nèi)容.
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