【正文】 。231。247。232。4248。232。1248。232。9248。232。3248。試判斷α4是否為α1，α2，α3的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。=231。231。210231。232。3332246。247。66247。.23247。247。34248。0求：（1）秩（A）；（2）A的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。247。A=231。234247。231。247。43248。232。2的全部特征值為1，使T1AT=/ 72f(x1,x2,x3)=x1+2x223x3+4x1x24x1x34x2x3，并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）=0，試證明EA可逆，且（EA）1=E+A+=b的一個(gè)特解，ξ1，（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ答案：一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分） 2是其導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)2均是Ax=b的解；（2）η0，η1，η2線性無(wú)關(guān)。230。337246。231。247。232。137248。 18.–10 +c(η2η1)（或η2+c(η2η1)），c為任意常數(shù) 21.–5 22.–2 +z22+z3z4三、計(jì)算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）230。120246。230。22246。231。247。231。247。40247。231。34247。（1）AB=231。3231。247。231。247。232。121248。232。10248。T230。86246。231。247。=231。1810247。231。247。232。310248。（2）|4A|=43|A|=64|A|，而.|A|=120340=|4A|=64（2）=128 3521110512341313=51105110511311300/ 7=5111111 55051162620==30+10==AB=A+2B即（A2E）B=A，而（A2E）1230。223246。231。247。=231。110247。231。247。232。121248。1230。143246。231。247。=231。153247。.231。247。232。164248。所以B=(A2E)1230。143246。230。423246。231。247。231。247。53247。231。110247。 A=231。1231。247。231。247。232。164248。232。123248。230。386246。231。247。96247。.=231。2231。247。 230。2130246。230。0532246。231。247。231。247。13011301231。247。190。247。190。174。231。231。0224247。231。0112247。231。247。231。247。232。3419248。232。013112248。230。1231。0190。190。174。231。231。0231。232。0230。1231。0190。190。174。231。231。0231。232。005246。230。1247。231。112247。0190。190。174。231。231。0088247。247。231。01414248。232。0002246。247。101247。, 011247。247。000248。3035246。247。112247。011247。247。000248。所以α4=2α1+α2+α3，組合系數(shù)為（2，1，1）.解二考慮α4=x1α1+x2α2+x3α3，即 236。2x1+x2+3x3=0239。x3x=1239。12 237。2x+2x=43239。2239。238。3x1+4x2x3=（2，1，1）T，組合系數(shù)為（2，1，1）.對(duì)矩陣A施行初等行變換230。121231。000A190。190。174。231。231。032231。232。09602246。247。62247。82247。247。32248。/ 72246。230。1210230。121231。247。231。03283032247。190。190。190。174。231。190。174。231。231。000231。00062247。231。247。231。232。000217248。232。0002246。247。83247。=247。247。00248。0（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系，而B(niǎo)是階梯形，B的第4列是B的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組，故A的第4列是A的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。（A的第5列或4列，或5列也是） A的屬于特征值λ=1的2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為ξ1=（2，1，0）T，ξ2=（2，0，1），得η1231。，η2231。5/5247。=247。5/15247。=231。4247。.232。0247。248。231。232。5/3247。248。λ=8的一個(gè)特征向量為230。230。1/3246。ξ=231。1246。3231。247。，經(jīng)單位化得η231。2247。3=231。231。231。2/3247。247。.232。2247。248。232。2/3247。248。230。231。25/5215/151/3246。247。所求正交矩陣為T=247。232。05/32/3247。248。230。1對(duì)角矩陣D=231。00246。231。231。010247。247。.232。008247。248。230。231。25/5215/151/3246。231。247。（也可取T=.）231。05/32/3247。232。5/545/152/3247。f(x1，x2，x3)=（x1+2x22x3）22x22+4x2x37x32=（x1+2x22x3）22（x2x3）=x1+2x22x3236。x1=y12設(shè)239。237。y239。y22=x2x3，即237。x2=y239。239。2+y3239。x=y238。y3=x3238。33230。因其系數(shù)矩陣C=231。120246。231。11247。247?？赡?，故此線性變換滿秩。231。0232。001247。248。經(jīng)此變換即得f(x1，x2，x3)的標(biāo)準(zhǔn)形、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）由于（EA）（E+A+A2）=EA3=E，所以EA可逆，且（EA）1= E+A+由假設(shè)Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2個(gè)解。（2）考慮l0η0+l1η1+l2η2=0，即（l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=+l1+l2=0，否則η0將是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=，ξ1，ξ2線性無(wú)關(guān)，所以l1=0，l2=0，從而l0=，η1，η2線性無(wú)關(guān)。/ 7，