【導讀】師的指導下進行的研究工作及取得的成果。盡我所知，除文中特別加。而使用過的材料。均已在文中作了明確的說明并表示了謝意。除了文中特別加以標注引用的內(nèi)容外，本論文。不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標明。全意識到本聲明的法律后果由本人承擔。同意學校保留并向國家有關部門或機構(gòu)送交論文的復印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本人授權大學可以將本學位。印或掃描等復制手段保存和匯編本學位論文。涉密論文按學校規(guī)定處理。但是，由于兩輪自平衡機器人屬于非完整約束、欠。計難度大，限制了該類機器人的發(fā)展?？欤戕D(zhuǎn)彎半徑，具有靈活的運動能力。式的結(jié)構(gòu)，因此該兩輪車系統(tǒng)具有本質(zhì)穩(wěn)定性。針對一般兩輪車車體產(chǎn)生的震蕩現(xiàn)象，我們提出采用磁流變效應的原理，對車體震蕩現(xiàn)象進行主動抑制。通過對低重心式兩輪。式兩輪車控制策略的設計提供了理論依據(jù)。

　　

【正文】 減少了計算量，并且在考慮地面滾動摩阻力偶矩及系統(tǒng)各關節(jié)轉(zhuǎn)動摩擦力矩的情況下，對所建立的通用機器人動力學模型進行了修正 ]14[ 。 比較而言牛頓 歐拉方法在動力學建模中不具有普遍性，需要對不同的機器人結(jié)構(gòu)具體分析。當機器人的剛體數(shù)增加時，其未知量及方程數(shù)會急劇增多，也大大加大了方程求解的困難。凱恩方法的推導過程較為繁冗，且該方法中的偏速度、偏角速度等量是凱恩本人提出的獨特概念，并不具備物理意義。因此，使用凱恩方程分析機器人的結(jié)構(gòu)低重心式兩輪車動力學建模與分析 –19– 參數(shù)和動力學特性的關系較為困難。由于大多數(shù)機器人樣機都是兼具轉(zhuǎn)向和滾動兩種運動形式，而且這兩種運動是相互影響、互相耦合在一起的，所以在理論分析上不可避免的會遇到非完整約束的問題。非完整約 束一種典型的非線性問題，目前采用的方法一般是利用拉格朗日乘子法將非完整約束引入到系統(tǒng)的原方程，使系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為無約束問題來處理。所以用拉格朗日乘子法建立 低重心式兩輪車 的動力學模型成為首先考慮的方法。拉格朗日方程是從系統(tǒng)的能量角度出發(fā)，基于達朗貝爾原理和虛功原理建立起來的。通過選取適當?shù)拿枋鱿到y(tǒng)的廣義坐標，分別計算出系統(tǒng)的所有質(zhì)點的動能和勢能，由動能和勢能表達式可以最終推導出拉格朗日函數(shù) L，在求出包括拉格朗日函數(shù)在內(nèi)的動力學參數(shù)之后，建模時所進行的工作完全轉(zhuǎn)變?yōu)榧償?shù)學上的推演。由于引入了廣義坐標的概念，在分析時可 以不考慮系統(tǒng)內(nèi)部質(zhì)點所受的各種約束力的影響，所以與其它動力學建模方法相比，具有簡單有效的優(yōu)點，現(xiàn)已成為機器人建模中最常用的方法 低重心式兩輪車 動力學建模的理論基礎 非完整系統(tǒng)概述 完整約束：質(zhì)點系的約束是對系統(tǒng)內(nèi)各個質(zhì)點運動的一種限制，這種限制可以用約束方程表示。若約束方程僅僅對位形加以限制，則這種約束稱為幾何約束或完整約束。 狀態(tài)變量：運動中的質(zhì)點在任意瞬時所占據(jù)的位置以及所具有的速度和起來稱為質(zhì)點在該瞬時的狀態(tài)變量，有 3 個坐標及其導數(shù)共 6 個標量組成。 非完整約束：約束除限制質(zhì)點系內(nèi)各個 質(zhì)點的位置外，也可以限制各個質(zhì)點的速度。這種同時對位置和速度加以限制的約束稱為非完整約束。 非完整系統(tǒng)：全部約束都是完整約束的系統(tǒng)稱為完整系統(tǒng)，若約束中存在非完整約束，則稱為非完整系統(tǒng)。 廣義坐標與 約束力 確定質(zhì)點系位形的獨立參數(shù)（長度或者角度）稱為廣義坐標，記作 ),...,2,1( ljqj ? 。廣義坐標根據(jù)系統(tǒng)的具體結(jié)構(gòu)和問題的要求 選取。選定廣義坐標以后，系統(tǒng)內(nèi)各個質(zhì)點的笛卡爾坐標由廣義坐標單值 來確定。 若 N 個質(zhì)點組成的系統(tǒng)受到 r 個完整約束的限制，則 N3 個笛卡爾坐標中只有rN?3 個獨立變量，此獨立變量數(shù)稱為自由度。完整系統(tǒng)的廣義坐標數(shù) l 與自由度數(shù)rNf ??3 相等，若系統(tǒng)除 r 個完整約束外，還受到 s 個非完整約束的限制，則系統(tǒng)的自由度為 srNf ???3 。由于 s 個非完整約束不能積分為聯(lián)系廣義坐標的關系式，因此對于非完整系統(tǒng)，確定系統(tǒng)位形空間的廣義坐標仍為 rN?3 個，大于系統(tǒng)的自由度數(shù)。 低重心式兩輪車動力學建模與分析 –20– 在質(zhì)點系中，約束對質(zhì)點的作用力稱為約束力，凡約束力對于質(zhì)點系的任意虛位移所做的元功之和為零的約束稱為理想約束，相應的約束力稱為理想約束力，滿足以下條件： 01 ???? riNi NiF ? （ ） 質(zhì)點系中除約 束力以外的力稱為主動力，設第 i 個質(zhì)點的質(zhì)量為 im ，加速度為 ir? ，定義質(zhì)點的慣性力 ?iF 為 iii rmF ????? （ ） 基本形式的拉格朗日方程 （ 1） 達朗貝爾原理： 在矢量力學中，牛頓第二 定律的敘述可以用達朗貝爾原理代替：作用于質(zhì)點的力（包括主動力和約束力）與慣性力相平衡，即： 0??? ?iNit FFF （ ） 達朗貝爾原理將動力學問題化作靜力學問題，成為工程中常用的動靜法的理論基礎。 （ 2） 虛功形式的動力學普遍方程 動力學普遍方程是分析力學的基礎，可以敘述為：具有理想雙側(cè)約束的質(zhì)點系在運動的任意時刻，其主動力和慣性力在系統(tǒng)的任意虛位移中所做的元功之和等于零， 也就是： 0)(1 ????? iNi iii rrmF ??? （ ） （ 3）用動能表示的動力學普遍方程 設質(zhì)點系由 N 個質(zhì)點 ),...,2,1( NiPi ? 組成，設系統(tǒng)存在 r 個完整約束和 s 個非完整約束，選取 srNl ???3 個廣義坐標表示系統(tǒng)的位形， 系統(tǒng)的自由度為 srNf ???3 。各個質(zhì)點的矢徑可以用廣義坐標確定為： ),...,( 21 tqqqrr lii ? （ ） 將各個質(zhì)點的虛位移用廣義坐標的等時變分表示為： 低重心式兩輪車動力學建模與分析 –21– jli iii qqrr ?? ?? ???1 （ ） 代入動力學普遍方程可以得到 ： 0)(1 11 ????????? ??? ?? jlj jiNi iNi iii qqrrmqrF ??? （ ） 然后經(jīng)過一系列化簡與代換我們可以得到用動能表示的動力學普遍方程的最終形式： 0)(1?????????? ???????? jlj jjjqqTqTdtdQ ?? （ ） （ 4）適用于完整系統(tǒng)的拉格朗日方程 若系統(tǒng)為無多余坐標的完整系統(tǒng)，則廣義坐標數(shù)與自由度數(shù)相等動力學普遍方程可以寫作： 0)(1?????????? ???????? jfj jjjqqTqTdtdQ ?? （ ） 由于 f 個廣義坐標的變分為獨立變量，可以任意選取，因此動力學普遍方程成立的充分必要條件為變分前的系數(shù)等于零。我們可以得到： jjj QqTqTdtd ?????? )( ? （ ） 此 f 個獨立方程稱為拉格朗日方程，他們完全確定了質(zhì)點系的運動規(guī)律。 （ 5）非完整系統(tǒng)的拉格朗日方程 拉格朗日方程和哈密頓方程只適用于不含多余坐標的完整系統(tǒng)。對于非完整系統(tǒng)或含有多余坐標的完整系統(tǒng)，必須采用另外的分析方法，拉格朗日乘子法便是處理非完整系統(tǒng)的一種實用方法。 設質(zhì)點系由 N個質(zhì)點 ),...,2,1( NiPi ? 組成，以 N3 個笛卡爾坐標確定其位形。設系統(tǒng)存在 r 個完整約束和 s 個非完整約束，約束方程可以統(tǒng)一寫作微分方程的形式： 031 ??? iNi ki xA ? （ ） 將主動力相對于某個參考坐標系的 N3 個分量依次排列為 )3,...,2,1( NiFi ? 則動力學普遍方程的標量形式為： 低重心式兩輪車動力學建模與分析 –22– ?? ??Ni iii xxmF31 0)( ??? （ ） 引入 sr? 個未定乘子 k? 分別與式（ ）中標號相同的各式相乘，然后將它們的和式與（ ）式相加，得到如下形式的方程： ? ???? ???Ni isrk kikii xAxmF31 1 0)( ???? （ ） 如果選擇適當?shù)?sr? 個未定乘子 k? ，使式（ ）中 sr? 個事先指定為不獨立的變分 ix? 前的系數(shù)等于零，可得到 sr? 個方程。于是在方程 (4)中只包含 f 個與獨立變分相關的和式。這 f 個坐標變分既然是獨立變量，則方程（ ）成立的充分必要條件就是各坐標變分前的系數(shù)等于零，共得到 f 個方程，連同已得到的 sr? 個方程，總共可列出 Nsrf 3??? 個方程： 01 ??? ???srk kikii AxmF ??? （ ） 上面的包含 sr? 個未定乘子的方程組稱為第一類拉格朗日方程，未定乘子稱為拉格朗日乘子。 （ 6）勞斯方程 分析實際工程問題時，采用廣義坐標代替笛卡爾坐標可以使未知變量明顯減少。但是另一方面用廣義坐標表示的第二類拉格朗日方程僅限于不含多余坐標的完整系統(tǒng)。對于非完整系統(tǒng)或含有多余坐標的完整系統(tǒng)，也可以用拉格朗日乘子對第二類拉格 朗日方程加以改造，以擴大其適用范圍 。 由 N 個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，系統(tǒng)內(nèi)存在 r 個完整約束和 s 個線性非完整約束。那么選擇 rNl ??3 個廣義坐標以確定系統(tǒng)的位形。 ),...,( 1 tqqxx lii ? （ ） 非完整約束方程可以寫成如下變 分形式 : ?? ?lj iki qB1 0? （ ） 低重心式兩輪車動力學建模與分析 –23– 將方程（ 7）的每個方程乘以相同的拉格朗日乘子，疊加后與用動能表示的動力學普遍方程相加得到： 0)(1 1?????????? ???????? ?? ? jljsk kjkjjjqBqTqTdtdQ ??? （ ） 如果選擇適當?shù)?s 個未定乘子使得上式中 s 個事先指定為不獨立變分錢的系數(shù)等于零，可得到 s 個方程，于是在上式中只包含與 sl? 個獨立變分有關的求和式，這 sl? 個坐標變分既然是獨立變量，則上式成立的充分必要條件就是各個坐標變分前的系數(shù)等于零，得到 sl? 個方程，連同事先得到的 s 個方程，總共列出 l 個方程： ????????? sk kjkjjj BQqTqTdtd1)( ?? （ ） 此方程與 s 個分完整約束條件聯(lián)立可以確定 l 個坐標和 s 個拉格朗日乘子，方程封閉，這個方程被稱為勞斯方程。方程右邊含拉格朗日乘子的附加項可以理解為廣義坐標對應的理想約束力所構(gòu)成的廣義力。 （ 7） 廣義力 在 低重心式兩輪車 的動力學建模過程中不可 避免的要遇到廣義力的求解問題。 根據(jù)廣義力的定義我們可以知道： ?? ???? Ni jij qrFQ1 ),...,2,1( lj? （ ） 但是在實際工程問題中我們很難按照廣義力的定義來直接求取廣義力。 為了計算廣義力，可以先計算系統(tǒng)的全部主動力的虛功，然后將所有的虛位移用廣義坐標的變分表示，則各個廣義坐標變分前的系數(shù)即為相應的廣義力 jQ 。 低重心式兩輪車動力學建模的假設條件 由于實際的機械零部件和 運動過程比較復雜，很難建立準確的模型，在建模過程中一般需要在允許的范圍內(nèi)忽略摩擦、彈性等因素，從而建立滿足要求的近似模型。因此在對 低重心式兩輪車 建模時需要做合理簡化，進行如下假設： ? 低重心式兩輪車 車體、車輪、配重均為剛體。 ? 低重心式兩輪車 左右兩車輪幾何尺寸一致。 ? 低重心式兩輪車 的左右車輪始終與地面保持接觸，運動時車輪不打滑不側(cè)滑并且只有滾動運動形式?jīng)]有滑動運動形式，因此 低重心式兩輪車 的車體在 z 軸方向沒有運動。 低重心式兩輪車動力學建模與分析 –24– ? 低重心式兩輪車 建模過程中忽略實際使用中的齒輪間隙（回程），傳感器噪聲。 ? 忽略電機電樞繞組中的電感和 電機摩擦，電機建模時忽略電機空載阻轉(zhuǎn)矩，認為電機輸出轉(zhuǎn)矩為電磁轉(zhuǎn)矩。 ? 忽略 低重心式兩輪車 內(nèi)部能量損耗，例如：軸承摩擦等。 ? 忽略 低重心式兩輪車 的摩阻力偶矩等的影響。 低重心式兩輪車 動力學建模的系統(tǒng)坐標系 為了能夠準確的描述 低重心式兩輪車 ，在建立 低重心式兩輪車 系統(tǒng)坐標時，分別建立固連于地面的慣性坐標系 XOY 和固連于 低重心式兩輪車 車體的局部坐標系 39。39。OYX ，具體情況如下圖所示： OO L2XYY?X???OR1L右輪左輪 圖 31 低重心式兩輪車系統(tǒng)坐標系 低重心式兩輪車約束力模型 為了準確描述 低重