【正文】 的拉格朗日方程 若系統(tǒng)為無多余坐標(biāo)的完整系統(tǒng)，則廣義坐標(biāo)數(shù)與自由度數(shù)相等動(dòng)力學(xué)普遍方程可以寫作： 0)(1?????????? ???????? jfj jjjqqTqTdtdQ ?? （ ） 由于 f 個(gè)廣義坐標(biāo)的變分為獨(dú)立變量，可以任意選取，因此動(dòng)力學(xué)普遍方程成立的充分必要條件為變分前的系數(shù)等于零。 （ 6）勞斯方程 分析實(shí)際工程問題時(shí)，采用廣義坐標(biāo)代替笛卡爾坐標(biāo)可以使未知變量明顯減少。 根據(jù)廣義力的定義我們可以知道： ?? ???? Ni jij qrFQ1 ),...,2,1( lj? （ ） 但是在實(shí)際工程問題中我們很難按照廣義力的定義來直接求取廣義力。 ? 忽略 低重心式兩輪車 內(nèi)部能量損耗，例如：軸承摩擦等。 低重心式兩輪車 動(dòng)力學(xué)建模的系統(tǒng)坐標(biāo)系 為了能夠準(zhǔn)確的描述 低重心式兩輪車 ，在建立 低重心式兩輪車 系統(tǒng)坐標(biāo)時(shí)，分別建立固連于地面的慣性坐標(biāo)系 XOY 和固連于 低重心式兩輪車 車體的局部坐標(biāo)系 39。 低重心式兩輪車動(dòng)力學(xué)建模的假設(shè)條件 由于實(shí)際的機(jī)械零部件和 運(yùn)動(dòng)過程比較復(fù)雜，很難建立準(zhǔn)確的模型，在建模過程中一般需要在允許的范圍內(nèi)忽略摩擦、彈性等因素，從而建立滿足要求的近似模型。對(duì)于非完整系統(tǒng)或含有多余坐標(biāo)的完整系統(tǒng)，也可以用拉格朗日乘子對(duì)第二類拉格 朗日方程加以改造，以擴(kuò)大其適用范圍 。 （ 5）非完整系統(tǒng)的拉格朗日方程 拉格朗日方程和哈密頓方程只適用于不含多余坐標(biāo)的完整系統(tǒng)。選定廣義坐標(biāo)以后，系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)由廣義坐標(biāo)單值 來確定。由于引入了廣義坐標(biāo)的概念，在分析時(shí)可 以不考慮系統(tǒng)內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)所受的各種約束力的影響，所以與其它動(dòng)力學(xué)建模方法相比，具有簡(jiǎn)單有效的優(yōu)點(diǎn)，現(xiàn)已成為機(jī)器人建模中最常用的方法 低重心式兩輪車 動(dòng)力學(xué)建模的理論基礎(chǔ) 非完整系統(tǒng)概述 完整約束：質(zhì)點(diǎn)系的約束是對(duì)系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一種限制，這種限制可以用約束方程表示。當(dāng)機(jī)器人的剛體數(shù)增加時(shí)，其未知量及方程數(shù)會(huì)急劇增多，也大大加大了方程求解的困難。牛頓 歐拉方法處理的是力、加速度等矢量之間的關(guān)系，所得方程為微分代數(shù)方程。其中建立動(dòng)力學(xué)模型的方法，大致可以歸納為以下幾類： 朗日方程法 低重心式兩輪車動(dòng)力學(xué)建模與分析 –18– 拉格朗日方程是從動(dòng)力學(xué)普遍方程出發(fā)，推導(dǎo)出的關(guān)于質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)微分方程。另外，為了將來進(jìn)一步對(duì)機(jī)器人進(jìn)行能量分析，也需要求出機(jī)器人的能量表達(dá)式作為能量分析的理論基礎(chǔ)?，F(xiàn)階段兩輪自平衡機(jī)器人控制系統(tǒng)開發(fā)的主要途徑在于通過建立兩輪自平衡機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型探索優(yōu)化控制策略。在整個(gè)設(shè)計(jì)方案中，促使 低重心式兩輪車 前向滾動(dòng)的力矩來源于驅(qū)動(dòng)電機(jī)的輸出力矩，其具體實(shí)現(xiàn)形式主要是使機(jī)器人的質(zhì)心偏離車體形心，從而形成關(guān)于地面接觸點(diǎn)的偏心重力矩。本課題設(shè)計(jì)的 低重心 式兩輪車 前向運(yùn)動(dòng)時(shí)的控制策略是：通過 CPU 直接控制左右兩個(gè)電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩，使得前向運(yùn)動(dòng)時(shí)左右電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩相等，此時(shí) 低重心式兩輪車 便會(huì)前向運(yùn)動(dòng) 。由于 低重心式兩輪車 設(shè)計(jì)使用的是剪切式 磁流變旋轉(zhuǎn)阻尼器因此在這里只對(duì) 剪切模式磁流變阻尼器的工作原理加以介紹 。下面有必要對(duì)磁流變液的減震原理加以介紹： 磁流變液 磁流變液是一種在非導(dǎo)磁性母液中添加軟磁性微粒 (微米級(jí) )和表面活性分散劑等的懸濁液 ,在外加磁場(chǎng)作用下 ,其動(dòng)力粘度變 化過程是連續(xù)、無級(jí)的 ,與外加勵(lì)磁電流存在某種函數(shù)關(guān)系 ,利用磁流變液做成的阻尼器易于與計(jì)算機(jī)技術(shù)相結(jié)合實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制和半主動(dòng)、主動(dòng)控制的車輛用智能阻尼器磁流變液是微米尺寸的磁極化顆粒分散于非磁性液體 (礦物油、硅油等 )中形成的懸浮液 . 磁流變液在外加磁場(chǎng)作用下表現(xiàn)出一種非線性流變效應(yīng) ,即粘度、塑性和粘彈性具有急劇變化性、可控性和可逆性 。 低重心式兩輪車 構(gòu)型設(shè)計(jì)介紹 文獻(xiàn)綜述 中所列舉的兩輪子平衡機(jī)器人都是利用車體內(nèi)部的重力偏離車體的形心，從而形成關(guān)于地面接觸點(diǎn)的重力矩進(jìn)行前向滾動(dòng)的。動(dòng)力學(xué)模型和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)相結(jié)合是機(jī)器人研究的較新領(lǐng)域，通過這種研究有利于明確機(jī)器人的各部分結(jié)構(gòu)的意義，可以提高其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的規(guī)范性和目的性。 3. 兩輪自平衡機(jī)器人現(xiàn)階段不能廣泛應(yīng)用的另外一個(gè)很重要的因素在于兩輪自平衡機(jī)器人現(xiàn)階段僅僅具有移動(dòng)能力。目前兩輪自平衡機(jī)器人在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方面的研究尚不成熟，很多課題有待進(jìn)一步的探索和完善。當(dāng)機(jī)器人轉(zhuǎn)彎時(shí)，將一個(gè)電機(jī)的速度減小即可實(shí)現(xiàn)。操作者在使用現(xiàn)有兩輪自平衡機(jī)器人時(shí)可以站在兩輪自平衡機(jī)器人的上面，適應(yīng)高重心自平衡的要求。采用魯棒控制算法，保證了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能 。它可以實(shí)現(xiàn)零半徑 轉(zhuǎn)向運(yùn) 動(dòng) 和 U 型回轉(zhuǎn) 運(yùn)動(dòng) 。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)其 平衡效果比較好 ， 但是 也 犧牲了實(shí)時(shí)性 。 該機(jī)器人的另外一個(gè)比較明顯的缺陷是 其動(dòng)力分配不夠準(zhǔn)確， 造成 對(duì)電動(dòng)機(jī)進(jìn)行驅(qū)動(dòng)所消耗的電流會(huì)導(dǎo)致 傳感器測(cè)量不準(zhǔn)確。圖 11 是 他們?cè)O(shè)計(jì)的 搬運(yùn)物體的兩輪倒立擺機(jī)器人 的樣機(jī)模型。 兩輪自平衡機(jī)器人的研究現(xiàn)狀 最早提出兩輪自平衡機(jī)器人構(gòu)想的是日本的 Kazuo Yamafuji 教授。與此同時(shí)兩輪自平衡機(jī)器人在控制方面也表現(xiàn)出起動(dòng)方便、前進(jìn)自如的特點(diǎn)。輪式機(jī)器人由于具有運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)、容易控制 ，轉(zhuǎn)向靈活 的優(yōu)點(diǎn) ， 從機(jī)器人研究伊始就吸引了眾多研究人員的目光 ][1 。 本文 在總結(jié)現(xiàn)有各種兩輪自平衡機(jī)器人樣機(jī)構(gòu)型的基礎(chǔ)之上，提出一種新型的兩輪自平衡機(jī)器人構(gòu)型方案 —— 低重心式兩輪車 ，該 兩輪車 能夠進(jìn)行全方位行走，運(yùn)動(dòng)速度快，零轉(zhuǎn)彎半徑，具有靈活 的運(yùn)動(dòng)能力。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。盡我所知，除文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，不包含其他人或組織已經(jīng)發(fā)表或公布過的研究成果，也不包含我為獲得 及其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或?qū)W歷而使用過的材料。本人授權(quán) 大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。 通過對(duì) 低重心式兩輪車 的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，轉(zhuǎn)向機(jī)理 進(jìn)行分析 ，建立了 低重心式兩輪車 的動(dòng)能、勢(shì)能 和磁流變阻力矩 的數(shù)學(xué)模型， 進(jìn) 而利用拉格朗日方程建立了 低重心式兩輪車 的動(dòng)力學(xué)模型，為低重心式兩輪車控制策略的設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。 在結(jié)構(gòu)上 兩輪自平衡機(jī)器人系統(tǒng)的兩個(gè)車輪位于同一軸線上，同時(shí)兩個(gè)車輪分別由直流伺服電機(jī)獨(dú)立驅(qū)動(dòng)，通過運(yùn)動(dòng)保持動(dòng)態(tài)自平衡。 因此， 兩輪自平衡 機(jī)器人在工業(yè)、民用、軍事以及太空探索等領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用前景。 目前，國(guó)內(nèi)關(guān)于兩輪自平衡機(jī)器人的研究處于起步階段 。 在控制算法上 機(jī)器人在優(yōu)化極點(diǎn)配置的基礎(chǔ)上，利用狀態(tài)反饋算法得到搬運(yùn)物體時(shí)所需抵抗外力的數(shù)值。與此同時(shí)它還可以作為測(cè)試 倒立擺系統(tǒng)的不穩(wěn)定性 和 極點(diǎn)配置算法等線性控制理論提供了理想的研究平臺(tái)。而且從汽車發(fā)展的角度看， B2 在能量效率方面極具競(jìng)爭(zhēng)力，減少了污染與交通堵 塞，符合現(xiàn)代社會(huì)運(yùn)輸?shù)男枨?，增加了城市的活力? 圖 16 移動(dòng)機(jī)器人 Gyrover 20xx 年，西安電子科技大學(xué)葉聰紅、徐文龍等研制出如圖 17 所示的帶有兩個(gè)隨動(dòng)輪的兩輪驅(qū)動(dòng)小車。通過加速度計(jì)對(duì)角度進(jìn)行校正的效果不好，沒能從根本上克服陀螺儀噪聲引起的零點(diǎn)漂移問題。該機(jī)器人由一根長(zhǎng)軸和一個(gè)配重塊組成。 Subot 機(jī)器人吸收了兩輪自平衡機(jī)器人和球星機(jī)器人的雙重優(yōu)點(diǎn)因而在形狀上兼具兩輪車和球形機(jī)器人的特征。 2. 兩輪自平衡機(jī)器人研究的另一個(gè)難題就是控制難問題。因此兩輪自平衡機(jī)器人系統(tǒng)的研究主要分為以下幾個(gè)方面：機(jī)器人系統(tǒng)設(shè)計(jì)及建模；機(jī)器人自平衡算法研究；機(jī)器人導(dǎo)航與運(yùn)動(dòng)控制策略研究；機(jī)器人異常過程中定位控制策略研究；機(jī)器人能量?jī)?yōu)化控制策略研究等。該 低重心式兩輪車 在設(shè)計(jì)上的一大亮點(diǎn)在于試圖將磁流變液引入結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，利用磁流變液通電時(shí)的物態(tài)變化來對(duì)配重進(jìn)行主動(dòng)控制。這種布置方案不用將配重被動(dòng)的分成兩部分，為加大配重部分在整機(jī)中所占的比例提供了保證。 上述的磁流變旋轉(zhuǎn)阻尼器基本屬于單片內(nèi)置式的結(jié)構(gòu) 。 下面以外置盤片式磁流變旋轉(zhuǎn)阻尼器 (圖 22所示 ) 為例說明其結(jié)構(gòu)和工作原理 :阻尼片 、 殼體用導(dǎo)磁材料制成 ,旋轉(zhuǎn)軸用不導(dǎo)磁材料制成 ,阻尼片和旋轉(zhuǎn)軸剛性連接 ,有兩個(gè)徑向環(huán)繞的線圈和導(dǎo)磁墊圈位于阻尼片的兩側(cè) ,構(gòu)成了外置式的阻尼器 。 低重心式兩輪車前向運(yùn)動(dòng)時(shí)配重的受力情況 如 圖 24 所示： ?Mg?xf?yf? 圖 24 低重心式兩輪車配重受力圖 根據(jù)達(dá)朗貝爾原理我們可以得到如下方程： ????? c o ss in 112 LMRM g LJ ???? ??? 其中 ? 為低重心兩輪車左右電機(jī)轉(zhuǎn)矩反作用力和磁流變阻力矩的合力； ?? 為低重心式兩輪車左右車輪的平均角加速度。仿真實(shí)驗(yàn)證明所設(shè)計(jì)的 低重心式兩輪車 ，結(jié)構(gòu)緊湊、運(yùn)動(dòng)靈活，達(dá)到了本課題設(shè)計(jì)之初所提出的各項(xiàng)指標(biāo)運(yùn)動(dòng)指標(biāo)的要求，這些有力的說明了 低重心式兩輪車 設(shè)計(jì)的合理性與有效性。牛頓法容易分析每個(gè)力對(duì)系統(tǒng)構(gòu)成的影響，但它需要分析每一時(shí)刻力的相互作用，使得建模過程復(fù)雜。一般來說由于兩輪車所構(gòu)成的是一個(gè)受非完整約束、強(qiáng)耦合、欠驅(qū)動(dòng)、非線性的系統(tǒng)，這些領(lǐng)域都是當(dāng)今力學(xué)和控制學(xué)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，所以它能為從事機(jī)器人理論的人員提供一個(gè)非常有效的研究平臺(tái)。由于建模過程中不需要求解約束力，且利于設(shè)計(jì)控制算法以及從控制角度分析系統(tǒng)的性質(zhì)，因此拉格朗日方法在機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)建模中得到廣泛應(yīng)用。 例如北京郵電大學(xué)的孫漢旭教授等在進(jìn)行機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)建模時(shí)，將系統(tǒng)視為由球殼、配重兩部分組成的系統(tǒng)，利用牛頓 歐拉方程分別建立他們的動(dòng)力學(xué)方程，同時(shí)考慮了球體與地面之間的摩擦力的影響，結(jié)果證明減少配重質(zhì)量、增加配重的擺長(zhǎng)可以改善機(jī)器人的 加速性能，仿真結(jié)果證明了該模型的有效性 ]13[ 。由于大多數(shù)機(jī)器人樣機(jī)都是兼具轉(zhuǎn)向和滾動(dòng)兩種運(yùn)動(dòng)形式，而且這兩種運(yùn)動(dòng)是相互影響、互相耦合在一起的，所以在理論分析上不可避免的會(huì)遇到非完整約束的問題。 非完整約束：約束除限制質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各個(gè) 質(zhì)點(diǎn)的位置外，也可以限制各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度。由于 s 個(gè)非完整約束不能積分為聯(lián)系廣義坐標(biāo)的關(guān)系式，因此對(duì)于非完整系統(tǒng)，確定系統(tǒng)位形空間的廣義坐標(biāo)仍為 rN?3 個(gè)，大于系統(tǒng)的自由度數(shù)。設(shè)系統(tǒng)存在 r 個(gè)完整約束和 s 個(gè)非完整約束，約束方程可以統(tǒng)一寫作微分方程的形式： 031 ??? iNi ki xA ? （ ） 將主動(dòng)力相對(duì)于某個(gè)參考坐標(biāo)系的 N3 個(gè)分量依次排列為 )3,...,2,1( NiFi ? 則動(dòng)力學(xué)普遍方程的標(biāo)量形式為： 低重心式兩輪車動(dòng)力學(xué)建模與分析 –22– ?? ??Ni iii xxmF31 0)( ??? （ ） 引入 sr? 個(gè)未定乘子 k? 分別與式（ ）中標(biāo)號(hào)相同的各式相乘，然后將它們的和式與（ ）式相加，得到如下形式的方程： ? ???? ???Ni isrk kikii xAxmF31 1 0)( ???? （ ） 如果選擇適當(dāng)?shù)?sr? 個(gè)未定乘子 k? ，使式（ ）中 sr? 個(gè)事先指定為不獨(dú)立的變分 ix? 前的系數(shù)等于零，可得到 sr? 個(gè)方程。 ),...,( 1 tqqxx lii ? （ ） 非完整約束方程可以寫成如下變 分形式 : ?? ?lj iki qB1 0? （ ） 低重心式兩輪車動(dòng)力學(xué)建模與分析 –23– 將方程（ 7）的每個(gè)方程乘以相同的拉格朗日乘子，疊加后與用動(dòng)能表示的動(dòng)力學(xué)普遍方程相加得到： 0)(1 1?????????? ???????? ?? ? jljsk kjkjjjqBqTqTdtdQ ??? （ ） 如果選擇適當(dāng)?shù)?s 個(gè)未定乘子使得上式中 s 個(gè)事先指定為不獨(dú)立變分錢的系數(shù)等于零，可得到 s 個(gè)方程，于是在上式中只包含與 sl? 個(gè)獨(dú)立變分有關(guān)的求和式，這 sl? 個(gè)坐標(biāo)變分既然是獨(dú)立變量，則上式成立的充分必要條件就是各個(gè)坐標(biāo)變分前的系數(shù)等于零，得到 sl? 個(gè)方程，連同事先得到的 s 個(gè)方程，總共列出 l 個(gè)方程： ????????? sk kjkjjj BQqTqTdtd1)( ?? （ ） 此方程與 s 個(gè)分完整約束條件聯(lián)立可以確定 l 個(gè)坐標(biāo)和 s 個(gè)拉格朗日乘子，方程封閉，這個(gè)方程被稱為勞斯方程。 ? 低重心式兩輪車 的左右車輪始終與地面保持接觸，運(yùn)動(dòng)時(shí)車輪不打滑不側(cè)滑并且只有滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)形式?jīng)]有滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)形式，因此 低重心式兩輪車 的車體在 z 軸方向沒有運(yùn)動(dòng)