【正文】 輪之間的摩擦力矩。倒立擺式機(jī)器人質(zhì)量主要集中在車軸和擺桿頂端，有一定長度的擺桿，設(shè)計(jì)時(shí)可以充分借鑒倒立擺的研究成果，但是擴(kuò)展空間相對(duì)有限；質(zhì)量均布式機(jī)器人采用分層布置的思想，將元器件按照功能逐層布置，降低了機(jī)器人的高度，提高了運(yùn)動(dòng)靈活性，結(jié)構(gòu)層次清晰，擴(kuò)展功能方便。 20xx 年，瑞典烏普薩拉大學(xué)的布魯恩等人研制出了一種用于星球探測(cè)的球形機(jī)器 人SMIPS。該球形機(jī)器人的結(jié)構(gòu)簡圖如圖 19 所示 圖 19 球形機(jī)器人 低重心式兩輪車動(dòng)力學(xué)建模與分析 –8– 另外還有一種介于兩輪自平衡機(jī)器人和球形機(jī)器人之間的機(jī)器人，它由兩個(gè)半球組成，并可以分別獨(dú)立控制， 如圖 110 所示。 圖 110 介于球形機(jī)器人和兩輪自平衡機(jī)器人之間的機(jī)器人 圖 111 為美國國防局研究的 Subot 機(jī)器人 。因此本課題通過參考兩輪自平衡機(jī)器人和球形機(jī)器人的各種模型與樣機(jī)，力主設(shè)計(jì)一種新型的配重驅(qū)動(dòng)型兩輪自平衡機(jī)器人 —— 低重心式兩輪車 ，以此擴(kuò)大傳統(tǒng)兩輪自平衡機(jī)器的使用范圍并增強(qiáng)其智能性和自適應(yīng)性。兩輪自平衡機(jī)器人的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與其運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的研究獨(dú)立進(jìn)行，還較少將動(dòng)力學(xué)的研究成果應(yīng)用在兩輪自平衡機(jī)器人的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)當(dāng)中。在者由于兩輪自平衡機(jī)器人內(nèi)部空間狹小，為放置控制器和傳感器帶來不便，電機(jī)供電引線易發(fā)生纏繞現(xiàn)象。 總的來講，現(xiàn)階段兩輪自平衡機(jī)器人主要研究動(dòng)態(tài)平衡過程中的運(yùn)動(dòng)控制問題，其關(guān)鍵是解決在機(jī)器人前進(jìn)、后退、旋轉(zhuǎn)等各種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，如何設(shè)計(jì)控制策略，保持車體系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)自平衡以及受干擾后能立即恢復(fù)平衡的問題。 動(dòng)力學(xué)模型是對(duì) 低重心式兩輪車 的準(zhǔn)確描述。本課題設(shè)計(jì)的這種 低重心式兩輪車 是通過同一根軸線上的兩個(gè)電機(jī)來實(shí)現(xiàn)該 低重心式兩輪車 的驅(qū)動(dòng)和轉(zhuǎn)向兩種運(yùn)動(dòng)方式。目前很多性能良好的兩輪自平衡機(jī)器人樣機(jī)都是在不斷的對(duì)以往設(shè)計(jì)方案進(jìn)行改進(jìn)，在總結(jié)成功的經(jīng)驗(yàn)、失敗的教訓(xùn)之后而提出來的。 電機(jī) 電機(jī)配重左輪 右輪 圖 21 低重心式兩輪車構(gòu)型簡圖 本課題在設(shè)計(jì) 低重心式兩輪車的時(shí)候，考慮將兩個(gè)電機(jī)同軸共線放置。 低重心式兩輪車磁流變阻尼器減震設(shè)計(jì) 無論是兩輪自平衡機(jī)器人還是前面介紹的球形機(jī)器人，凡是 屬于配重驅(qū)動(dòng)型的機(jī)器人都會(huì)面臨這樣一個(gè)問題：機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過程中配重的質(zhì)心會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化，這樣勢(shì)必造成機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過程中的震蕩與不穩(wěn)定，尤其是配重的極度不穩(wěn)定。 目前 ,國外已研制出的屬于磁流變旋轉(zhuǎn)阻尼器范疇的器 件有 :美國 TRW 公司的旋轉(zhuǎn)式減震器 ； 通用汽車公司研制的磁流變離合器 ；美國 Lord 公司開發(fā)的用在健身器械上各種磁流變旋轉(zhuǎn)阻尼器件 ,波茲南理工大學(xué)的磁流變旋轉(zhuǎn)阻尼器等 。 由于多盤片的承載面積大于單盤片的承載面積 ,因而穿過磁流變液的磁場(chǎng)強(qiáng)度相同 ,作多盤片上的阻尼力矩總是比單盤片的 大 . 但其軸向尺寸的增大 ,必然導(dǎo)致勵(lì)磁線圈物理尺寸和勵(lì)磁電流的增大 ,這些對(duì)于減小阻尼器的外部尺寸、降低勵(lì)磁線圈的發(fā)熱都是不利的。 在眾多的旋轉(zhuǎn)阻尼器中 ,線圈與阻尼片的相對(duì)位置有兩種形式 :一種是阻尼片被包裹在線圈內(nèi)即阻尼片內(nèi)置于線圈內(nèi)腔中 ,我們稱這種阻尼器為內(nèi)置式旋轉(zhuǎn)阻尼器 ； 而稱其它形式的阻尼器為外置式旋轉(zhuǎn)阻尼器 。 因?yàn)榇┻^磁流變液的磁場(chǎng)強(qiáng)度隨通電電流大小的不同而不同 ,磁流變液對(duì)阻尼片的阻尼作用也就隨電流的改變而改變 ,因此磁流變阻尼器旋轉(zhuǎn)時(shí)受到的阻尼作用具有可控性 。 根據(jù)達(dá)朗貝爾原理我們可以得到以下方程： ??????????fRJNfgMaMffrrrywxwx???? 同理我們可以得到低重心式兩輪車左輪的方程：??????????fRJNfgMaMfflllywxwx???? 低重心式兩輪車動(dòng)力學(xué)建模與分析 –15– 通過方程我們可以發(fā)現(xiàn)只要 rl ??? 那么必然會(huì)有 rl ??? 即此時(shí)低重心式兩輪車左右輪的角速度相等，顯然低重心兩輪車此時(shí)會(huì)做前向運(yùn)動(dòng)。尤 其是當(dāng)左右兩個(gè)電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩大小相等方向相反時(shí)， 低重心式兩輪車 會(huì)實(shí)現(xiàn)零半徑轉(zhuǎn)向 ，此時(shí)低重心式兩輪車的配重位于豎直位置，低重心式兩輪車 的轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)此時(shí)完全依靠左右輪輸入力矩的差值 。另外，本章還對(duì) 低重心式兩輪車 中如何解決 配重?cái)[角震蕩 問題進(jìn)行了有力的探索，引入了磁流變阻尼器來對(duì)配重的擺動(dòng)情況進(jìn)行主動(dòng)或半主動(dòng)控制，實(shí)現(xiàn)了對(duì) 低重心式兩輪車 配重質(zhì)心 位置的人工干預(yù)，有效地減輕了 低重心式兩輪車 運(yùn)動(dòng)過程中的震動(dòng)效果?，F(xiàn)階段兩輪自平衡機(jī)器人在力學(xué)分析和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)等方面 具有很大的難度。拉格朗日法簡單，有規(guī)律；應(yīng)用時(shí)只需計(jì)算系統(tǒng)的能量和廣義力。拉格朗日法是建立在能量的基礎(chǔ)上。 典型的動(dòng)力學(xué)建模方法 現(xiàn)階段兩輪車在力學(xué)分析和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)等方面具有很 大的難度。建立兩輪車的動(dòng)力學(xué)模型有利于對(duì)兩輪車的深入了解。拉格朗日方程法將系統(tǒng)作為整體看待，處理的是功、勢(shì)能、動(dòng)能等標(biāo)量。李團(tuán)結(jié)教授等利用拉格朗日 勞斯方程建立了機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型并給出了消去拉格朗日乘子的策略 ]12[ 。這種方法易于發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)局部間的動(dòng)力學(xué)行為特征，對(duì)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)優(yōu)化、控制方法的研究具有很大的價(jià)值。 例如北京郵電大學(xué)的王亮清等 在 動(dòng)力學(xué)建模中使用了基于矢量運(yùn)算的 Kane 方法，由于無需計(jì)算系統(tǒng)各部分的動(dòng)能和勢(shì)能的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)，有效地減少了計(jì)算量，并且在考慮地面滾動(dòng)摩阻力偶矩及系統(tǒng)各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦力矩的情況下，對(duì)所建立的通用機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了修正 ]14[ 。因此，使用凱恩方程分析機(jī)器人的結(jié)構(gòu)低重心式兩輪車動(dòng)力學(xué)建模與分析 –19– 參數(shù)和動(dòng)力學(xué)特性的關(guān)系較為困難。拉格朗日方程是從系統(tǒng)的能量角度出發(fā)，基于達(dá)朗貝爾原理和虛功原理建立起來的。 狀態(tài)變量：運(yùn)動(dòng)中的質(zhì)點(diǎn)在任意瞬時(shí)所占據(jù)的位置以及所具有的速度和起來稱為質(zhì)點(diǎn)在該瞬時(shí)的狀態(tài)變量，有 3 個(gè)坐標(biāo)及其導(dǎo)數(shù)共 6 個(gè)標(biāo)量組成。 廣義坐標(biāo)與 約束力 確定質(zhì)點(diǎn)系位形的獨(dú)立參數(shù)（長度或者角度）稱為廣義坐標(biāo)，記作 ),...,2,1( ljqj ? 。完整系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)數(shù) l 與自由度數(shù)rNf ??3 相等，若系統(tǒng)除 r 個(gè)完整約束外，還受到 s 個(gè)非完整約束的限制，則系統(tǒng)的自由度為 srNf ???3 。各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的矢徑可以用廣義坐標(biāo)確定為： ),...,( 21 tqqqrr lii ? （ ） 將各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的虛位移用廣義坐標(biāo)的等時(shí)變分表示為： 低重心式兩輪車動(dòng)力學(xué)建模與分析 –21– jli iii qqrr ?? ?? ???1 （ ） 代入動(dòng)力學(xué)普遍方程可以得到 ： 0)(1 11 ????????? ??? ?? jlj jiNi iNi iii qqrrmqrF ??? （ ） 然后經(jīng)過一系列化簡與代換我們可以得到用動(dòng)能表示的動(dòng)力學(xué)普遍方程的最終形式： 0)(1?????????? ???????? jlj jjjqqTqTdtdQ ?? （ ） （ 4）適用于完整系統(tǒng)的拉格朗日方程 若系統(tǒng)為無多余坐標(biāo)的完整系統(tǒng)，則廣義坐標(biāo)數(shù)與自由度數(shù)相等動(dòng)力學(xué)普遍方程可以寫作： 0)(1?????????? ???????? jfj jjjqqTqTdtdQ ?? （ ） 由于 f 個(gè)廣義坐標(biāo)的變分為獨(dú)立變量，可以任意選取，因此動(dòng)力學(xué)普遍方程成立的充分必要條件為變分前的系數(shù)等于零。 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由 N個(gè)質(zhì)點(diǎn) ),...,2,1( NiPi ? 組成，以 N3 個(gè)笛卡爾坐標(biāo)確定其位形。 （ 6）勞斯方程 分析實(shí)際工程問題時(shí)，采用廣義坐標(biāo)代替笛卡爾坐標(biāo)可以使未知變量明顯減少。那么選擇 rNl ??3 個(gè)廣義坐標(biāo)以確定系統(tǒng)的位形。 根據(jù)廣義力的定義我們可以知道： ?? ???? Ni jij qrFQ1 ),...,2,1( lj? （ ） 但是在實(shí)際工程問題中我們很難按照廣義力的定義來直接求取廣義力。 ? 低重心式兩輪車 左右兩車輪幾何尺寸一致。 ? 忽略 低重心式兩輪車 內(nèi)部能量損耗，例如：軸承摩擦等。OYX ，具體情況如下圖所示： OO L2XYY?X???OR1L右輪左輪 圖 31 低重心式兩輪車系統(tǒng)坐標(biāo)系 低重心式兩輪車約束力模型 為了準(zhǔn)確描述 低重心式兩輪。 低重心式兩輪車 動(dòng)力學(xué)建模的系統(tǒng)坐標(biāo)系 為了能夠準(zhǔn)確的描述 低重心式兩輪車 ，在建立 低重心式兩輪車 系統(tǒng)坐標(biāo)時(shí)，分別建立固連于地面的慣性坐標(biāo)系 XOY 和固連于 低重心式兩輪車 車體的局部坐標(biāo)系 39。 低重心式兩輪車動(dòng)力學(xué)建模與分析 –24– ? 低重心式兩輪車 建模過程中忽略實(shí)際使用中的齒輪間隙（回程），傳感器噪聲。 低重心式兩輪車動(dòng)力學(xué)建模的假設(shè)條件 由于實(shí)際的機(jī)械零部件和 運(yùn)動(dòng)過程比較復(fù)雜，很難建立準(zhǔn)確的模型，在建模過程中一般需要在允許的范圍內(nèi)忽略摩擦、彈性等因素，從而建立滿足要求的近似模型。方程右邊含拉格朗日乘子的附加項(xiàng)可以理解為廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的理想約束力所構(gòu)成的廣義力。對(duì)于非完整系統(tǒng)或含有多余坐標(biāo)的完整系統(tǒng)，也可以用拉格朗日乘子對(duì)第二類拉格 朗日方程加以改造，以擴(kuò)大其適用范圍 。于是在方程 (4)中只包含 f 個(gè)與獨(dú)立變分相關(guān)的和式。 （ 5）非完整系統(tǒng)的拉格朗日方程 拉格朗日方程和哈密頓方程只適用于不含多余坐標(biāo)的完整系統(tǒng)。 低重心式兩輪車動(dòng)力學(xué)建模與分析 –20– 在質(zhì)點(diǎn)系中，約束對(duì)質(zhì)點(diǎn)的作用力稱為約束力，凡約束力對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系的任意虛位移所做的元功之和為零的約束稱為理想約束，相應(yīng)的約束力稱為理想約束力，滿足以下條件： 01 ???? riNi NiF ? （ ） 質(zhì)點(diǎn)系中除約 束力以外的力稱為主動(dòng)力，設(shè)第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為 im ，加速度為 ir? ，定義質(zhì)點(diǎn)的慣性力 ?iF 為 iii rmF ????? （ ） 基本形式的拉格朗日方程 （ 1） 達(dá)朗貝爾原理： 在矢量力學(xué)中，牛頓第二 定律的敘述可以用達(dá)朗貝爾原理代替：作用于質(zhì)點(diǎn)的力（包括主動(dòng)力和約束力）與慣性力相平衡，即： 0??? ?iNit FFF （ ） 達(dá)朗貝爾原理將動(dòng)力學(xué)問題化作靜力學(xué)問題，成為工程中常用的動(dòng)靜法的理論基礎(chǔ)。選定廣義坐標(biāo)以后，系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)由廣義坐標(biāo)單值 來確定。這種同時(shí)對(duì)位置和速度加以限制的約束稱為非完整約束。由于引入了廣義坐標(biāo)的概念，在分析時(shí)可 以不考慮系統(tǒng)內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)所受的各種約束力的影響，所以與其它動(dòng)力學(xué)建模方法相比，具有簡單有效的優(yōu)點(diǎn)，現(xiàn)已成為機(jī)器人建模中最常用的方法 低重心式兩輪車 動(dòng)力學(xué)建模的理論基礎(chǔ) 非完整系統(tǒng)概述 完整約束：質(zhì)點(diǎn)系的約束是對(duì)系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一種限制，這種限制可以用約束方程表示。非完整約 束一種典型的非線性問題，目前采用的方法一般是利用拉格朗日乘子法將非完整約束引入到系統(tǒng)的原方程，使系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為無約束問題來處理。當(dāng)機(jī)器人的剛體數(shù)增加時(shí)，其未知量及方程數(shù)會(huì)急劇增多，也大大加大了方程求解的困難。 凱恩方法以矢量運(yùn)算為基礎(chǔ)，不需要計(jì)算各部件的動(dòng)能、勢(shì)能的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)。牛頓 歐拉方法處理的是力、加速度等矢量之間的關(guān)系，所得方程為微分代數(shù)方程。 Abeygunawardhana和 Murakami Toshiyuki利用拉格朗日方法建立了兩輪車的完整系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，并根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程的結(jié)果探討了兩輪車幾種不同模 式下的控制策略，但是此模型 只考慮了球體在前向驅(qū)動(dòng)平面內(nèi)的沿直線滾動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題 ,并沒有考慮轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)對(duì)機(jī)器人系統(tǒng)的影響 ,方程不具有一般性 ]5[ 。其中建立動(dòng)力學(xué)模型的方法，大致可以歸納為以下幾類： 朗日方程法 低重心式兩輪車動(dòng)力學(xué)建模與分析 –18– 拉格朗日方程是從動(dòng)力學(xué)普遍方程出發(fā)，推導(dǎo)出的關(guān)于質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)微分方程?，F(xiàn)階段兩輪車控制系統(tǒng)開發(fā)的主要途徑在于通過建立兩輪車的動(dòng)力學(xué)模型探索優(yōu)化控制策略。另外，為了將來進(jìn)一步對(duì)機(jī)器人進(jìn)行能量分析，也需要求出機(jī)器人的能量表達(dá)式作為能量分析的理論基礎(chǔ)。牛頓法動(dòng)力學(xué) 建模需要通過對(duì)機(jī)器人的受力分析得出機(jī)器人各部分的受力情況?，F(xiàn)階段兩輪自平衡機(jī)器人控制系統(tǒng)開發(fā)的主要途徑在于通過建立兩輪自平衡機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型探索優(yōu)化控制策略。 低重心式兩輪車動(dòng)力學(xué)建模與分析 –17– 3 基于拉格朗日方程的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模 引言 要定量、準(zhǔn)確地分析設(shè)計(jì)一個(gè)控制系統(tǒng)，提高對(duì)研究對(duì)象的認(rèn)識(shí)水平和控制能力，一定要建立控制對(duì)象的數(shù)學(xué)模型。在整個(gè)設(shè)計(jì)方案中，促使 低重心式兩輪車 前向滾動(dòng)的力矩來源于驅(qū)動(dòng)電機(jī)的輸出力矩，其具體實(shí)現(xiàn)