【導讀】1962年，Gough發(fā)明了一種基于并聯(lián)機構(gòu)的六自由度輪胎檢測裝置（如圖）。6根支柱可以獨立地伸縮，分別通過球鉸與上下平臺連接。位置的軸線轉(zhuǎn)動。拉開并聯(lián)機器人研究的序幕。國際學者們的關(guān)注（少自由度并聯(lián)機器人一般是指自由度數(shù)目為2、3、4的并聯(lián)機器人，這類機器人可以應用到不需要6個自由度的場合）。Hunt被公認為是少自由度并聯(lián)機構(gòu)。1983年，他應用空間機構(gòu)自由度準則及Ball的螺旋理論，給出了一張并。Delta機構(gòu)是最典型的空間三。自由度移動的并聯(lián)機構(gòu)，大多數(shù)空間三自由度并聯(lián)機構(gòu)都是從Delta機構(gòu)衍生的。和“變異型”的數(shù)控機床與加工中心并引起了轟動。1999年，Herve提出一種3維移動并聯(lián)微動機器人。并聯(lián)機構(gòu)沒有這樣的積累和放大關(guān)系，誤差較小。慣性，惡化了系統(tǒng)的動力性能。并聯(lián)機器人很容易將電機置于機座上，減少了運動負荷，⑥并聯(lián)機構(gòu)的動力學特性具有高度非線性、強禍合的特點，使其控制較為復雜。③在作業(yè)空間內(nèi)部存在桿件干涉和奇異位形的危險。器人的應用范圍。

　　

【正文】 11H 為 3 3階方向余弦矩陣，它表示前后坐標系之間的旋轉(zhuǎn)變換； 12H 為 3 1列向量，它表示后一坐標系原點在前一坐標系 下的位置；③ 21H 為 1 3 行向量，它表示透鏡的物象空間變換。值得指出的是，方向余弦矩陣具有其自身的一些特點，它是一個正交變換陣，因此它的每行或每列元素的平方和為 1，其中兩個不同行或不同列中對應元素乘積之和為 0。 四、齊次變換的逆變換 從坐標系 {B}相對于坐標系 {A}的描述 TAB ，求得 {A}相對于 {B}的描述 TBA ，是齊次變換的求逆問題。一種求解方法是直接對 4 4 的齊次變換矩陣 TAB 求逆 .另一種是利用齊次變換矩陣的特點，簡化矩陣求逆運算，經(jīng)過推算，可得： ?????? ??10 BOTABTABBAPRRT () 內(nèi)蒙古科技大學畢業(yè)設計說明書（畢業(yè)論文） 32 機器人的雅可比矩陣是研究機器人關(guān)節(jié)空間到工作空間速度之間的映射關(guān)系的廣義傳遞比，因此，機器人末端執(zhí)行器的速度與機器人的雅可比矩陣息息相關(guān)，而雅可比矩陣依賴于機器人的位形，所以機器人末端執(zhí)行器的速度也依賴于機器人的位形。 雅可比矩陣的定義 把機器人末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)用向 量 ? ?TzyxX 321 ???? 表示，其所有可能的取值組成一個空間，我們稱之為機器人的工作空間。機器人各個關(guān)節(jié)變量的集合用向量表示為 ? ?Tnqqqq ?21? ，其所有可能的取值組成一個空間，我們稱之為機器人的關(guān)節(jié)空間。正向運動學和逆向運動學就是描述了這兩個空間之間的映射關(guān)系，只要機器人的構(gòu)型確定，這種幾何關(guān)系就可以通過一定的手段得到解決。機器人的軌跡規(guī)劃過程中，除了需要解決正向運動學和逆向運動學問題之外，常常還要確定工作空間中的速度和關(guān)節(jié)空間中的速度關(guān)系。從數(shù)學角度講，它 是兩個速度空間的映射，速度空間的映射用雅可比矩陣 J 表示。因此，機器人的雅可比矩陣定義為它的操作速度與關(guān)節(jié)速度的線性變換，可以看成是從關(guān)節(jié)空間向工作空間運動速度的傳遞比。機器人的運動學方程式如下： )(qXX?? () 其中 nqqqq ?, 21? ，它代表了工作空間 X與關(guān)節(jié)空間 q之間的位移關(guān)系，將該式的兩邊分別對時間求導，可得： qqJX ?? )(? () 式中 X? 稱為末端執(zhí)行器在工作空間的廣義速度，簡稱操作速度， q 為關(guān)節(jié)速度矢量，? ?Tnqqqq ????? 21? ， J(q)是 6 n 的偏導數(shù)矩陣，稱為操作臂的雅可比矩陣。它的第i 行第 j 列元素為： jiij q qXqj ??? )()( （ ni ,2,1 ?? ） () 即： 內(nèi)蒙古科技大學畢業(yè)設計說明書（畢業(yè)論文） 33 nnnqXqXqXqXqJ????????????????????????6616111)(????? () 對于具有 n 個關(guān)節(jié)的機器人來說，其雅可比矩陣是 6 n 階矩陣。其中前 3 行代表著對末端執(zhí)行器線速度 ? ?Tzyx ????? 的傳遞比；后三行代表了對末端執(zhí)行器角速度? ?Tzyx ???? ? 的傳遞比。 雅可比矩陣的求解 雅可比矩陣的求法有直接求導法和構(gòu)造法。本文就直接求導法和構(gòu)造法中的矢量積法簡單介紹如下： 一、雅可比矩陣的直接求導法 不失一般性，根據(jù)正運動學可以由各個關(guān)節(jié)變量 iq （ ni ~1? ）來表示機器人末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài) X，可以寫成： ???????????????????),(),(),(),(),(),(212121212121nznynxnnnqqqqqqqqqqqqzqqqyqqqxX????????? () 對其求相對于時間的導數(shù)得： qqXXdtdX ????? () 上式中 ? ?Tzyx zyxwvX ???? ????????為末端執(zhí)行器的廣義速度矢量，其中線速度矢量為 v，角速度矢量為ω，qXJ ???為雅 可比矩陣。將其展開有： 內(nèi)蒙古科技大學畢業(yè)設計說明書（畢業(yè)論文） 34 ???????????????????????????????????????????????nzzzznnqqqqqyqyqyqyqxqxqxqxJ?????????????????321321321 () 由此可知廣義速度矢量可表示為： ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????nznnzzqqyqxqqqyqxqqqyqxX??????????22221111 () 二、雅可比矩陣的矢量積法 求解機器人雅可比矩陣的矢量積法是建立在運動坐標系概念基礎(chǔ)上的，由惠特尼(Whitney)提出的。本文以串聯(lián)機器人為例加以描述。圖 表示關(guān)節(jié)速度的傳遞情況，末端執(zhí)行器的線速度 v和角速度ω與關(guān)節(jié)速度 iq? 有關(guān) 。 對于移動關(guān)節(jié) i有： ii qzwv ?????????????? 0 () ??????? 0ii zJ () 對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié) i 有： ii qzwv ?????????????? 0 () ?????? ???????? ??iniiiiniii z PRzz pzJ )( 00 () 上式中 0niP 表示末端執(zhí)行器坐標原點相對于坐標系 {i}的位置矢量在基坐標系 {0}中的表示，即： 內(nèi)蒙古科技大學畢業(yè)設計說明書（畢業(yè)論文） 35 nioini PRP ?0 () 而 iz 是坐標系 {i}的 z軸單位矢量在基坐標系 {0}中的表 示。 雅可比矩陣的構(gòu)造除了上面簡單介紹的兩種方法之外，還有微分變換法和微分向量法等也是行之有效的方法。 剛體運動時，若剛體內(nèi)有一點在空間的位置保持不變，則這種運動稱為剛體繞定點運動。 運動方程 為了確定繞定點運動的剛體在空間的位置，以定點 O 為原點，取定坐標系 OXYZ，另取與剛體固結(jié)的動坐標系 ZYXO ???? ，如圖 所示。顯然只要確定了動坐標系ZYXO ???? 在定坐標系 OXYZ 中的位置，則剛體的位置也就隨之確定 。 圖 關(guān)節(jié)的速度傳遞 圖 歐拉角 動坐標平面 YXO ??? 與定坐標平面 OXY 的交線，用 ON 表示，稱為節(jié)線。節(jié)線垂直于 OZ 和 OZ′，它的正向如圖 所示。節(jié)線與定軸 OX間的夾角 ? 稱為進動角；節(jié)線與動軸 OX′間的夾角 ? 稱為自動角；動軸 OZ 與定軸 OZ′間的夾角θ稱為章動角，它們合稱為歐拉角。如圖 所示。繞定點運動的剛 體在空間的位置用這三個歐拉角可以完全確定：設運動開始時，動坐標系與定坐標系重合。令動坐標系按照圖 所示箭頭方向內(nèi)蒙古科技大學畢業(yè)設計說明書（畢業(yè)論文） 36 先繞定軸 Oz 轉(zhuǎn)過φ角，再繞節(jié)線 ON 轉(zhuǎn)過θ角，最后繞動軸 OZ′轉(zhuǎn)過 ? 角，就到了圖 所示的確定位置。這三個角是相互獨立的，所以繞定點運動的剛體有三個自由度。 歐拉角φ、θ和 ? 的正向，定為圖 所示的箭頭方向。當剛體繞定點運動時，歐拉角是時間的單值連續(xù)函數(shù)，即： ????????)()()(321tftftf??? () 上式稱為剛體繞定點運動的運動學方程。 歐拉定理 繞定點運動的剛體，從某一位置到另一位置的任何位移，可以繞通過定點的某一軸轉(zhuǎn)動一次而實現(xiàn)。 本章對本文所用到的與機器人學有關(guān)的基礎(chǔ)知識進行了相關(guān)的闡述，具體包括數(shù)學建模與分析、矢量的運算、機器人位置和姿態(tài)的描述、機器人雅可比矩陣以及剛體繞定點轉(zhuǎn)動的相關(guān)知識。 內(nèi)蒙古科技大學畢業(yè)設計說明書（畢業(yè)論文） 37 第四章 三自由度繩驅(qū)動并聯(lián)機器人運動學分析 并聯(lián)機器人機構(gòu) 運動學主要研究動平臺、連桿和靜平臺之間的相互運動關(guān)系。它是并聯(lián)機器人精度研究的基礎(chǔ)，要研究并聯(lián)機器人的精度，首先要研究并聯(lián)機器人的運動學。 已 知并聯(lián)機器人動平臺的空間位置和姿態(tài)，求連桿的角 度叫位置反解。并聯(lián)機構(gòu)平臺的空間位姿是設計者期望得到的。一般來說，首先確定平臺位姿，接著根據(jù)平臺位姿計算應該給予每個電機的位移量，控制電機運動。不斷重復這一過程，平臺就在空間按照設計要求運動起來。位置反解在并聯(lián)機構(gòu)實時控制中頻繁使用。值得慶幸的是并聯(lián)機構(gòu)的位置反解同串聯(lián)機構(gòu)相比要簡單得多，而且位置反解只有一個，不像串聯(lián)機構(gòu) 有多個反解。所以并聯(lián)機構(gòu)相對于串聯(lián)機構(gòu)來講，容易控制。并聯(lián)機構(gòu)位置反解是位置分析的一部分，研究快速、方便的位置反解方法對并聯(lián)機構(gòu)精度研究是有實際意義的。 運動學的研究不考慮力和運動。并聯(lián)機器人的運動學研究分為兩部分：正向運動學和逆向運動學。當給出動平臺相對基礎(chǔ)平臺的位姿參數(shù)求所有可能的驅(qū)動關(guān)節(jié)的運動參數(shù)時，這就是逆向運動學；而已知驅(qū)動關(guān)節(jié)的運動參數(shù)，要求所有可能的動平臺相對基礎(chǔ)平臺的位姿時，便是正向運動學。通常，逆向運動學的問題可通過矢量法得到封閉矢量環(huán)等式來解決；正向運動學問題可以被簡化成解一個多項式方程 組。目前，有兩種方法可以得到位置正、逆解。一種是用迭代法獲得數(shù)值解，另一種方法是解析法獲得封閉解。一般來說，求并聯(lián)機器人的逆解比較容易，求正解困難，這個特點和串聯(lián)機器人正好相反。其實，正向運動學、逆向運動學問題的復雜程度取決于它們的結(jié)構(gòu)，本文通過對三自由度繩驅(qū)動并聯(lián)機器人運動學研究，來分析求解的復雜性，并尋找簡單和完善的求解方法。 機器人的工作空間是機器人操作器的工作區(qū)域，它是衡量機器人性能的重要指標。設給定參考點 C是動平臺執(zhí)行器的端點，工作空間是該端點在空間可以達到的所有點的集合。并聯(lián)機器人工作空 間的研究一直以來備受關(guān)注，工作空間分析是設計并聯(lián)機器人操作器的首要環(huán)節(jié)，并聯(lián)機器人的一個最大弱點就是工作空間小，因而研究并聯(lián)機器人內(nèi)蒙古科技大學畢業(yè)設計說明書（畢業(yè)論文） 38 的工作空間是非常重要的。并聯(lián)機器人的工作空間小應該說這是一個相對的概念，同樣的機構(gòu)尺寸，串聯(lián)機器人比并聯(lián)機器人工作空間大，具備同樣的工作空間，串聯(lián)機構(gòu)比并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸要小，看來研究并聯(lián)機器人的工作空間是非常重要的。 本章主要是對該機器人運動學機構(gòu)進行分析，建立該機構(gòu)位置的正反解方程，進行數(shù)值分析，并對機構(gòu)的工作空間進行研究。 為了方便求解三自由度平臺的空間 位置關(guān)系，研究平臺的運動規(guī)律，首先將機構(gòu)稍加改造，如圖 所示?？紤]到運動平臺只有平動沒有轉(zhuǎn)動，相對于固定平臺姿態(tài)固定，機構(gòu)中所有分支中的平行四邊形框架始終為平面四邊形，而不會扭曲為空間四邊形。在此條件下，平行四邊形左右兩邊的運動與上下兩邊中點連線的運動完全相同。 圖 并聯(lián)機器人機構(gòu)示意圖 圖 是規(guī)則結(jié)構(gòu)的繩驅(qū)動并聯(lián)機器人示意圖，兩平臺均為等邊三角形。設基座平臺， Ri ?OA （ i=1~3），動平臺