在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性-資料下載頁
2024-10-13 10:50本頁面
【正文】 外接圓的方程。分析：外接圓即DABC的三個頂點都在圓上，可以利用待定系數(shù)法設(shè)圓的一般方程或標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件求待定系數(shù)，也可利用兩弦的垂直平分線的交點即為圓心解題。解法一：設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F0)Q此圓過A,B,C三點，236。12+32+Dx+Ey+F=0,236。D=4,239。22∴237。(1)+(1)DE+F=0,解得239。237。E=4, 239。(3)2+523D+5E+F=0,239。F=2,238。238。∴圓的方程為x2+y2+4x4y2=0。法二：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2+(xb)2=r2，236。(1a)2+(3b)2=r2,236。a=2,239。222 則237。(1a)+(1b)=r,解得239。237。b=2，239。(3a)2+(5b)2=r2,239。r2=10,238。238。∴圓的方程為(x+2)2+(x2)2=10。1法三：AB的中垂線方程為y1=(x0)，21BC的中垂線方程為y2=(x+2)，3聯(lián)立解得圓心坐標(biāo)為(2,2)。設(shè)圓的半徑為r，則r2=(1+2)2+(32)2=10，∴圓的方程為(x+2)2+(x2)2=10。法四：QkAB=13531=2，kBC==，11312 ∴kABkBC=1，∴AB^BC, ∴DABC是以A為直角的直角三角形，∴外接圓的圓心為BC的中點，即(2,2)，半徑r=1BC=10，2∴圓的方程為(x+2)2+(x2)2=10。二、強(qiáng)化“多題一解”訓(xùn)練，靈活地掌握解題方法數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，“多題一解”是培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性的一種手段，使學(xué)生集中思維，揭示各方面知識的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，從而加深對各方面知識的理解和應(yīng)用，使知識融會貫通，有利于靈活地掌握解題方法。例2：長方體的一個頂點上的三條棱長分別是3,4,5,且它的八個頂點都在同一球面上，則這個球的表面積和體積是多少？分析：長方體的八個頂點都在同一球面上，則這個球的直徑就是長方體的體對角線(設(shè)長方體的棱長分別是a,b,c,它的外接球的半徑為R，則2R=a2+b2+c2。解：設(shè)球的半徑為R，則有已知得(2R)2=32+42+52’ 故R2=2552，∴R=，∴S球=4pR2=50p, 22V球=4345231252pR=p()=p。3323注：特別地，當(dāng)正方體的八個頂點都在同一球面上，則這個球的直徑就是正方體的體對角線(設(shè)正方體的棱長是a,它的外接球的半徑為R，則2R=3a2。練習(xí)1：在球面上有四個點P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩垂直且PA=PB=PC=a，求這個球的表面積和體積。分析:可將球與正方體聯(lián)系起來，將球看成是正方體的外接球解題。以PA、PB、PC為相鄰三條棱構(gòu)造正方體。因為P、A、B、C是球面上的四個點，所以球是正方體的外接球，正方體的體對角線是球的直徑。練習(xí)2：已知正四面體PABC的棱長為a,且P、A、B、C是球面上的四個點，求這個球的表面積和體積。分析：正四面體PABC可以看作是由正方體截去四個三棱錐，正四面體外接球的半徑就是正方體外接球的半徑。三、加強(qiáng)“一題多變”訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維在解題教學(xué)中“一題多變”對培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，提高邏輯思維能力和發(fā)展創(chuàng)造性思維能力都是十分有效的。變式訓(xùn)練即變換條件尋求結(jié)論的不同之處；變換結(jié)論尋求條件的不同之處；變換提出問題的背景，尋求多題一解；變換問題的思考角度，尋求一題多解??以變來培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維。例3：如圖1，求半圓O的內(nèi)接矩形面積的最大值（圓的半徑為1）。DADCCOBAOEB圖1圖2解：法一：連接OA，設(shè)208。AOB=q(0qAB=sinq,BC=2OB=2coqs，于是，矩形ABCD的面積為S=ABBC=2sinqcosq=sin2q。當(dāng)q=p2)，則p4時，Smax=1。法二：設(shè)OB=x(0x1)，則矩形ABCD的面積為S=2x1x2用二元均值不等式2ab163。a2+b2，得S=2x1x2163。x2+(1x2)=1，當(dāng)x=1x2，即x=2時，Smax=1。2變式1：如圖2，求半圓O的內(nèi)接等腰梯形ABCD面積的最大值（圓的半徑為1）。解：法一：設(shè)OE=x(0x1)，作CE^AB，垂足為E，則等腰梯形ABCD1(AB+CD)CE=(1+x)1x2 2用借助四元均值不等式的面積為S=11233。(1+x)+(1+x)+(1+x)+(33x)249。27S=(1+x)(1x)=(1+x)3(33x)163。234。=33235。4162224開方，可得S163。33。4133時，Smax=。24當(dāng)1+x=33x，即x=法二：設(shè)208。AOD=q(0qp2)，則等腰梯形ABCD的面積為S=1111sinq+sinq+sinp(2q)=sinq+sin2q。2222變形，用四元均值不等式，得S163。33。4 變式2：求圓O的內(nèi)接六邊形面積的最大值（圓的半徑為1）。分析：由變式1可知圓內(nèi)接正六邊形面積最大，最大為33。2變式3：如圖3，已知圓O的直徑AB=8cm，弦AD=CD=2cm，求BC的長。CDAOBCDABO圖3圖4 解：在圖3中，連接OC、OD，設(shè)208。COD=208。DOA=q，在DAOD中，OA=OD=4,AD=2，由余弦定理得 cosq=OA+ODAD2OAOD222=717，于是cos2q=2cos2q1=。328在DABC中，208。BOC=p2q,OB=OC=4，由余弦定理得 BC2=OB+OC2OBOCcos(p2q)=42+42+2442217=49，32BC=7(cm)。變式4：如圖4，求半圓O的內(nèi)接任意四邊形ABCD面積的最大值（圓的半徑為1）。解：在圖4中，連接OC、OD，設(shè)208。BOC=a,208。COD=b,208。DOA=g，顯然a+b+g=p，則四邊形ABCD的面積S=1(sina+sinb+sing)。2由常見不等式sina+sinb+sing163。3333，得Smax=。24在解題教學(xué)中，教師應(yīng)選擇典型題目進(jìn)行精講精練,探索研究揭示規(guī)律,訓(xùn)練解題技巧,以拓展學(xué)生思維,達(dá)到舉一反三的功效,使知識融會貫通。盡可能變化已知條件，進(jìn)而從不同角度和用不同知識來解決問題；變換結(jié)論尋求條件的不同之處；變換提出問題的背景，尋求多題一解；變換問題的思考角度，尋求一題多解；??以變來培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維。因此,在解題中,應(yīng)做到三個“一”,即一題多變,多題一解,一題多解。使用從一些基本題出發(fā)變換出相關(guān)題組,可幫助學(xué)生在解題過程中掌握知識間的聯(lián)系,培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣,提高解題效率。參考文獻(xiàn)：?1?：一個有效的思維修煉方式[J]. ?2?[M].安徽：
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