北師大版數(shù)學九上角平分線試題-資料下載頁
2024-11-30 23:35本頁面
【導讀】例，AP、BP分別平分△ABO的外角，∠AOB＝40°，則∠AOP＝。ABC中，AB＝AC，BD、CE分別是?ABC兩底角的平分線，求證：BD＝CE。例3.已知：如圖，∠C=90°∠B=30°，AD是RtΔABC的角平分線。證明：由∠C=90°，∠B=30°，知∠BAC=60°。因AD是ΔABC的角平分線，故∠BAD=∠CAD=30°。ADC全等的條件可輕松找到，BD=2DE顯然也成立。這是在特殊角三角形的情況下考慮的，若。等”依然是一個重要的解題條件。例4.已知：如下圖，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F。但問題既然涉及角平。因點F在∠DAE內(nèi)，且點F到AD，AE的距離相等，故點F在∠DAE的平分線上。請同學們進一步探索。DE之間還存在怎樣的關(guān)系。此時問題就轉(zhuǎn)化為說明∠DOP＝∠EOP。明了第三個角的平分線與前兩個角的平分線相交于一點。
【正文】 所在直線上任一點向第三邊作垂線，角平分線與垂線的夾角等于三角形另外兩角差的絕對值的一半。 例 13 如圖 2，在△ ABC中，∠ B∠ C， AQ平分∠ BAC， AQ交 BC于點 Q，點 T是 AQ延長線上的一點， TH⊥ BC于點 H，試說明∠ HTA=21 （∠ C－∠ B）。 圖 2[來 解析：過點 A作 AH39。⊥ BC，則 AH39。//TH。根據(jù)平行線的 性質(zhì)，可得∠ HTA=∠ AQH39。 由上題的結(jié)論，可得∠ QAH39。=21 （∠ C－∠ B） 故∠ HTA=21 （∠ C－∠ B） 例 14. 如圖 1， OC平分 ?AOB ， P是 OC上一點， D是 OA上一點， E是 OB上一點，且 PD=PE，求證： ? ? ? ? ?PDO PEO 180。 分析： 要證 ? ? ? ? ?PDO PEO 180， ?PDO 、 ?PEO 在圖形的不同位置，又無平行 線使它們聯(lián)系起來， 但若考慮設(shè)法把其中的一個角轉(zhuǎn)化為另一個角的鄰補角，問題便可以解決。由于 OC是角平分線，故可過 P點作兩邊 的垂線，構(gòu)造出兩個直角三角形，再證明這兩個三角形全等即可。 證明： 過點 P作 PMOA? ， PNOB? ，垂足分別為 M、 N 因 OC是角平分線， PMOA? ， PNOB? ，故 PM=PN 由 PD=PE， PM=PN，得 Rt PMD Rt PNE? ?? ?? ? ?MDP NEP 則 ? ? ?PEO MDP，而 ? ? ? ? ?M DP PDO 180 ? ? ? ? ? ?PDO PEO 180 點撥： 遇到角平分線問題，我們可以過角平分線上的一點向這個角的兩邊引垂線，以便充分運用角平分線定理。 例 15. 如圖 2，在 ?ABC 中， ?BAC 的平分線與 BC 邊的垂直平分線相交于點 P。過點 P作 AB、 AC（或延長線）的垂線，垂足分別是 M、 N。求證： BM=CN。 分析： 要證 BM=CN，由圖形特征可構(gòu)造以 BM、 CN為邊的兩個三角形，并證明這兩個三角形全等?？紤] ?BAC 的平分線與 BC邊的垂直平分線相交于點 P，于是連接 PB、 PC，則利用垂直平分線和角平分線的知識即可解決。 證明： 因 AP 是角平分線， PMAB? ， PNAC? ，故 PM=PN 又因 PD是 BC的垂直平分線，故 PB=PC 因 PB=PC， PM=PN，故 Rt PBM Rt PCN? ?? ? ?BM CN 點撥： 這是一道垂直平分線與角平分線的綜合運用問題。上述解答省去了兩次全等的證明，相信同學們一定能體會到線段的垂直平分線定理與角平分線定理在幾何證明中的重要性。
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