【導(dǎo)讀】自貢）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于。重慶）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，連接CE并延長(zhǎng)與BA的。孝感）如圖，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC內(nèi)依次作∠CBD=∠A，咸寧）如圖，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB，GHMN都是正。ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于。AC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC，垂足為N，AN交CE于點(diǎn)M．則下列結(jié)論；①CM=AF；德陽(yáng)）如圖，在⊙O上有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，位于直徑AB的異側(cè)，過(guò)點(diǎn)C作CP. 岳陽(yáng)）如圖，AB為半圓O的直徑，AD、BC分別切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切。①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③點(diǎn)P是△ACQ的外心；④AP?的相似線，此外，還有_________條；，BnBn+1的中點(diǎn)，△B1C1M1的面積為S1，△B2C2M2. △BnCnMn的面積為Sn，則Sn=_________．。荊州）如圖，△ABC是斜邊AB的長(zhǎng)為3的等腰直角三角形，在△ABC內(nèi)作第。1個(gè)內(nèi)接正方形A1B1D1E1，再在△A1B1C. 珠海）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn)，將線段AP繞

　　

【正文】 利用勾股定理可得出 AF 的長(zhǎng)． 解答： 解：（ 1） ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑， ∴∠ ADB=∠ ADC=90176。， ∵∠ B=∠ CAD， ∠ C=∠ C， ∴△ ADC∽△ BAC， ∴∠ BAC=∠ ADC=90176。， ∴ BA⊥ AC， ∴ AC 是 ⊙ O 的切線． （ 2） ∵△ ADC∽△ BAC（已證）， ∴ = ，即 AC2=BCCD=36， 解得： AC=6， 在 Rt△ ACD 中， AD= =2 ， ∵∠ CAF=∠ CAD+∠ DAE=∠ ABF+∠ BAE=∠ AFD， ∴ CA=CF=6， ∴ DF=CA﹣ CD=2， 在 Rt△ AFD 中， AF= =2 ． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的判定定理、相似三角形的性質(zhì)，勾股定理的表達(dá)式． 24．（ 2021?襄陽(yáng)）如圖， △ ABC 內(nèi)接于 ⊙ O，且 AB 為 ⊙ O的直徑． ∠ ACB 的平分線交 ⊙ O于點(diǎn) D，過(guò)點(diǎn) D作 ⊙ O的切線 PD交 CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) P，過(guò)點(diǎn) A作 AE⊥ CD 于點(diǎn) E，過(guò)點(diǎn)B 作 BF⊥ CD 于點(diǎn) F． （ 1）求證： DP∥ AB； （ 2）若 AC=6， BC=8，求線段 PD 的長(zhǎng)． 考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判 定與性質(zhì)． 4387773 專題： 證明題；壓軸題． 分析： （ 1）連結(jié) OD，由 AB 為 ⊙ O 的直徑，根據(jù)圓周角定理得 AB 為 ⊙ O 的直徑得∠ ACB=90176。，再由 ACD=∠ BCD=45176。，則 ∠ DAB=∠ ABD=45176。，所以 △ DAB 為等腰直角三角形，所以 DO⊥ AB，根據(jù)切線的性質(zhì)得 OD⊥ PD，于是可得到 DP∥ AB； （ 2）先根據(jù)勾股定理計(jì)算出 AB=10，由于 △ DAB 為等腰直角三角形，可得到AD= =5 ；由 △ ACE 為等腰直角三角形，得到 AE=CE= =3 ，在 Rt△ AED中利用勾股定理計(jì)算出 DE=4 ，則 CD=7 ，易證得 ∴△ PDA∽△ PCD，得到= = = ，所以 PA= PD， PC= PD，然后利用 PC=PA+AC 可計(jì)算出 PD． 解答： （ 1）證明：連結(jié) OD，如圖， ∵ AB 為 ⊙ O 的直徑， ∴∠ ACB=90176。， ∵∠ ACB 的平分線交 ⊙ O 于點(diǎn) D， ∴∠ ACD=∠ BCD=45176。， ∴∠ DAB=∠ ABD=45176。， ∴△ DAB 為等腰直角三角形， ∴ DO⊥ AB， ∵ PD為 ⊙ O 的切線， ∴ OD⊥ PD， ∴ DP∥ AB； （ 2）解：在 Rt△ ACB 中， AB= =10， ∵△ DAB 為等腰直角三角形， ∴ AD= = =5 ， ∵ AE⊥ CD， ∴△ ACE 為等腰直角三角形， ∴ AE=CE= = =3 ， 在 Rt△ AED 中， DE= = =4 ， ∴ CD=CE+DE=3 +4 =7 ， ∵ AB∥ PD， ∴∠ PDA=∠ DAB=45176。， ∴∠ APD=∠ PCD， 而 ∠ DPA=∠ CPD， ∴△ PDA∽△ PCD， ∴ = = = ， ∴ PA= PD， PC= PD， 而 PC=PA+AC， ∴ PD+6= PD， ∴ PD= ． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理定理、等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形相似的判定 與性質(zhì)． 25．（ 2021?紹興）在 △ ABC中， ∠ CAB=90176。， AD⊥ BC 于點(diǎn) D，點(diǎn) E 為 AB 的中點(diǎn)， EC 與AD 交于點(diǎn) G，點(diǎn) F 在 BC 上． （ 1）如圖 1， AC： AB=1： 2， EF⊥ CB，求證： EF=CD． （ 2）如圖 2， AC： AB=1： ， EF⊥ CE，求 EF： EG 的值． 考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 4387773 專題： 壓軸題． 分析： （ 1）根據(jù)同角的余角相等得出 ∠ CAD=∠ B，根據(jù) AC： AB=1： 2 及點(diǎn) E 為 AB 的中點(diǎn)，得出 AC=BE，再利用 AAS 證明 △ ACD≌ △ BEF，即可得出 EF=CD； （ 2）作 EH⊥ AD 于 H， EQ⊥ BC于 Q，先證明四邊形 EQDH是矩形，得出 ∠ QEH=90176。，則 ∠ FEQ=∠ GEH，再由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明 △ EFQ∽△ EGH，得出 EF：EG=EQ： EH，然后在 △ BEQ 中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出 EQ= BE，在 △ AEH 中，根據(jù)余弦函數(shù)的定義得出 EH= AE，又 BE=AE，進(jìn)而求出 EF： EG 的值． 解答： （ 1）證明：如圖 1， 在 △ ABC 中， ∵∠ CAB=90176。， AD⊥ BC 于點(diǎn) D， ∴∠ CAD=∠ B=90176。﹣ ∠ ACB． ∵ AC： AB=1： 2， ∴ AB=2AC， ∵ 點(diǎn) E 為 AB 的中點(diǎn)， ∴ AB=2BE， ∴ AC=BE． 在 △ ACD 與 △ BEF 中， ， ∴△ ACD≌△ BEF， ∴ CD=EF，即 EF=CD； （ 2）解：如圖 2，作 EH⊥ AD 于 H， EQ⊥ BC 于 Q， ∵ EH⊥ AD， EQ⊥ BC， AD⊥ BC， ∴ 四邊形 EQDH 是矩形， ∴∠ QEH=90176。， ∴∠ FEQ=∠ GEH=90176。﹣ ∠ QEG， 又 ∵∠ EQF=∠ EHG=90176。， ∴△ EFQ∽△ EGH， ∴ EF： EG=EQ： EH． ∵ AC： AB=1： ， ∠ CAB=90176。， ∴∠ B=30176。． 在 △ BEQ 中， ∵∠ BQE=90176。， ∴ sin∠ B= = ， ∴ EQ= BE． 在 △ AEH 中， ∵∠ AHE=90176。， ∠ AEH=∠ B=30176。， ∴ cos∠ AEH= = ， ∴ EH= AE． ∵ 點(diǎn) E 為 AB 的中點(diǎn)， ∴ BE=AE， ∴ EF： EG=EQ： EH= BE： AE=1： ． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形，并且證明四邊形 EQDH 是矩形． 26．（ 2021?汕頭）如圖， ⊙ O 是 Rt△ ABC 的 外接圓， ∠ ABC=90176。，弦 BD=BA， AB=12，BC=5， BE⊥ DC 交 DC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E． （ 1）求證： ∠ BCA=∠ BAD； （ 2）求 DE 的長(zhǎng)； （ 3）求證： BE 是 ⊙ O 的切線． 考點(diǎn)： 切線的判定；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)． 4387773 專題： 壓軸題． 分析： （ 1）根據(jù) BD=BA得出 ∠ BDA=∠ BAD，再由 ∠ BCA=∠ BDA即可得出結(jié)論； （ 2）判斷 △ BED∽△ CBA，利用對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)可求出 DE 的長(zhǎng)度． （ 3）連接 OB， OD，證明 △ ABO≌△ DBO，推出 OB∥ DE，繼而判 斷 OB⊥ DE，可得出結(jié)論． 解答： （ 1）證明： ∵ BD=BA， ∴∠ BDA=∠ BAD， ∵∠ BCA=∠ BDA（圓周角定理） ∴∠ BCA=∠ BAD． （ 2）解： ∵∠ BDE=∠ CAB（圓周角定理）， ∠ BED=∠ CBA=90176。， ∴△ BED∽△ CBA， ∴ = ，即 = ， 解得： DE= ． （ 3）證明：連結(jié) OB， OD， 在 △ ABO 和 △ DBO 中， ∵ ， ∴△ ABO≌△ DBO， ∴∠ DBO=∠ ABO， ∵∠ ABO=∠ OAB=∠ BDC， ∴∠ DBO=∠ BDC， ∴ OB∥ ED， ∵ BE⊥ ED， ∴ EB⊥ BO， ∴ OB⊥ BE， ∴ BE 是 ⊙ O 的切線． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的判定及圓周角定理的知識(shí)，綜合考查的知識(shí)點(diǎn)較多，解答本題要求同學(xué)們熟練掌握一些定理的內(nèi)容． 27．（ 2021?朝陽(yáng)）如圖，直線 AB 與 ⊙ O 相切于點(diǎn) A，直徑 DC 的延長(zhǎng)線交 AB 于點(diǎn) B， AB=8，OB=10 （ 1）求 ⊙ O 的半徑． （ 2）點(diǎn) E 在 ⊙ O 上，連接 AE， AC， EC，并且 AE=AC，判斷直線 EC 與 AB 有怎樣的位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論． （ 3）求弦 EC 的長(zhǎng)． 考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)． 4387773 分析： （ 1）連接 OA，交 EC 于 F，根據(jù)切線性質(zhì)得出 ∠ OAB=90176。，根據(jù)勾股定理求出即可； （ 2）根據(jù) AE=AC 推出弧 AE=弧 AC，根據(jù)垂徑定理求出 OA⊥ EC，根據(jù)平行線判定推出即可； （ 3）證 △ OFC∽△ OAB，求出 FC，根據(jù)垂徑定理得出 EC=2FC，代入求出即可． 解答： （ 1）解：連接 AO，交 EC 于 F， ∵ AB 切 ⊙ O 于 A， ∴ OA⊥ AB， ∴∠ OAB=90176。， 在 Rt△ OAB 中，由勾股定理得： OA= = =6， 答： ⊙ O 的半徑是 6． （ 2）直線 EC 與 AB 的位置關(guān)系是 EC∥ AB． 證明： ∵ AE=AC， ∴ 弧 AE=弧 AC， ∵ OA過(guò) O， ∴ OA⊥ EC， ∵ OA⊥ AB， ∴ EC∥ AB． （ 3）解： ∵ EC∥ AB， ∴△ OFC∽△ OAB， ∴ = ， ∴ = ， ∴ FC= ， ∵ OA⊥ EC， OA過(guò) O， ∴ EC=2FC= ． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力． 28．（ 2021?成都）如圖，點(diǎn) B在線段 AC 上，點(diǎn) D， E 在 AC 同側(cè)， ∠ A=∠ C=90176。， BD⊥ BE，AD=BC． （ 1）求證： AC=AD+CE； （ 2）若 AD=3， CE=5，點(diǎn) P 為線段 AB 上的動(dòng)點(diǎn)，連接 DP，作 PQ⊥ DP，交直線 BE于點(diǎn)Q； （ i）當(dāng)點(diǎn) P 與 A， B 兩點(diǎn)不重合時(shí)，求 的值； （ ii）當(dāng)點(diǎn) P 從 A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 AC 的中點(diǎn)時(shí)，求線段 DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑（線段）長(zhǎng)．（直接寫(xiě)出結(jié)果，不必寫(xiě)出解答過(guò)程） 考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 專題： 幾何綜合題；壓軸題． 分析： （ 1）根據(jù)同角的余角相等求出 ∠ 1=∠ E，再利用 “角角邊 ”證明 △ ABD 和 △ CEB全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得 AB=CE，然后根據(jù) AC=AB+BC 整 理即可得證； （ 2）（ i）過(guò)點(diǎn) Q 作 QF⊥ BC 于 F，根據(jù) △ BFQ 和 △ BCE相似可得 = ，然后求出QF= BF，再 根據(jù) △ ADP 和 △ FPQ 相似可得 = ，然后整理得到（ AP﹣ BF）（ 5﹣AP） =0，從而求出 AP=BF，最后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得 = ，從而得解； （ ii）判斷出 DQ 的中點(diǎn)的路徑為 △ BDQ 的中位線 MN．求出 QF、 BF 的長(zhǎng)度，利用勾股定理求出 BQ 的長(zhǎng)度，再根據(jù)中位線性質(zhì)求出 MN 的長(zhǎng)度，即所求之路徑長(zhǎng)． 解答： （ 1）證明： ∵ BD⊥ BE， ∴∠ 1+∠ 2=180176。﹣ 90176。=90176。， ∵∠ C=90176。， ∴∠ 2+∠ E=180176。﹣ 90176。=90176。， ∴∠ 1=∠ E， ∵ 在 △ ABD 和 △ CEB 中， ， ∴△ ABD≌△ CEB（ AAS）， ∴ AB=CE， ∴ AC=AB+BC=AD+CE； （ 2）（ i）如圖，過(guò)點(diǎn) Q 作 QF⊥ BC 于 F， 則 △ BFQ∽△ BCE， ∴ = ， 即 = ， ∴ QF= BF， ∵ DP⊥ PQ， ∴∠ ADP+∠ FPQ=180176。﹣ 90176。=90176。， ∵∠ FPQ+∠ PQF=180176。﹣ 90176。=90176。， ∴∠ ADP=∠ FPQ， 又 ∵∠ A=∠ PFQ=90176。， ∴△ ADP∽△ FPQ， ∴ = ， 即 = ， ∴ 5AP﹣ AP 2+AP?BF=3? BF， 整理得，（ AP﹣ BF）（ AP﹣ 5） =0， ∵ 點(diǎn) P 與 A， B 兩點(diǎn)不重合， ∴ AP≠5， ∴ AP=BF， 由 △ ADP∽△ FPQ 得， = ， ∴ = ； （ ii）線段 DQ 的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑（線段）就是 △ BDQ 的中