【正文】 鄰正方形的一邊均在同一直線上，點 M1， M2， M3， …Mn分別為邊 B1B2， B2B3， B3B4， …， BnBn+1的中點，即可求得 △ B1C1Mn 的面積，又由 BnCn∥ B1C1，即可得 △ BnCnMn∽△ B1C1Mn，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，求得答案． 解答： 解： ∵ n個邊長為 1 的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點 M1， M2， M3， …Mn分別為邊 B1B2， B2B3， B3B4， …， BnBn+1的中點， ∴ S1= B1C1B1M1= 1 = ， S△ B1C1M2= B1C1B1M2= 1 = ， S△ B1C1M3= B1C1B1M3= 1 = ， S△ B1C1M4= B1C1B1M4= 1 = ， S△ B1C1Mn= B1C1B1Mn= 1 = ， ∵ BnCn∥ B1C1， ∴△ BnCnMn∽△ B1C1Mn， ∴ S△ BnCnMn： S△ B1C1Mn=（ ） 2=（ ） 2， 即 Sn： = ， ∴ Sn= ． 故答案為： ． 點評： 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及直角三角形面積的公式．此題難度較大， 注意掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方定理的應用是解此題的關鍵． 20．（ 2021?荊州）如圖， △ ABC 是斜邊 AB 的長為 3 的等腰直 角三角形，在 △ ABC內(nèi)作第1 個內(nèi)接正方形 A1B1D1E1（ D E1在 AB 上， A B1分別在 AC、 BC 上），再在 △ A1B1C內(nèi)接同樣的方法作第 2 個內(nèi)接正方形 A2B2D2E2， …如此下去，操作 n 次，則第 n 個小正方形 AnBnDnEn 的邊長是 ． 考點： 相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形． 4387773 專題： 規(guī)律型． 分析： 求出第一個、第二個 、第三個內(nèi)接正方形的邊長，總結規(guī)律可得出第 n 個小正方形AnBnDnEn 的邊長． 解答： 解： ∵∠ A=∠ B=45176。點 P 為 AC 邊上的一點，將線段 AP 繞點 A順時針方向旋轉（點 P 對應點 P′），當 AP 旋轉至 AP′⊥ AB 時，點 B、 P、 P′恰好在同一直線上，此時作 P′E⊥ AC 于點 E． （ 1）求證： ∠ CBP=∠ ABP； （ 2）求證： AE=CP； （ 3）當 ， BP′=5 時，求線段 AB 的長． 考點： 全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)． 4387773 專題： 幾何綜合題；壓軸題． 分析 ： （ 1）根據(jù)旋轉的性質(zhì)可得 AP=AP′，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得 ∠ APP′=∠ AP′P，再根據(jù)等角的余角相等證明即可； （ 2）過點 P作 PD⊥ AB于 D，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得 CP=DP，然后求出 ∠ PAD=∠ AP′E，利用 “角角邊 ”證明 △ APD 和 △ P′AE 全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得 AE=DP，從而得證； （ 3）設 CP=3k， PE=2k，表示出 AE=CP=3k， AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出 P′E=4k，再求出 △ ABP′和 △ EPP′相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求 出P′A= AB，然后在 Rt△ ABP′中，利用勾股定理列式求解即可． 解答： （ 1）證明： ∵ AP′是 AP 旋轉得到， ∴ AP=AP′， ∴∠ APP′=∠ AP′P， ∵∠ C=90176。 ∠ ABP+∠ AP′P=90176。 ∴ CP=DP， ∵ P′E⊥ AC， ∴∠ EAP′+∠ AP′E=90176。 ∴∠ PAD=∠ AP′E， 在 △ APD 和 △ P′AE 中 ， ， ∴△ APD≌△ P′AE（ AAS）， ∴ AE=DP， ∴ AE=CP； （ 3） 解 ： ∵ = ， ∴ 設 CP=3k， PE=2k， 則 AE=CP=3k， AP′=AP=3k+2k=5k， 在 Rt△ AEP′中 ， P′E= =4k， ∵∠ C=90176。 ∠ EP′P+∠ EPP′=90176。 ∴△ ABP′∽△ EPP′， ∴ = ， 即 = ， 解得 P′A= AB， 在 Rt△ ABP′中， AB2+P′A2=BP′2， 即 AB2+ AB2=（ 5 ） 2， 解得 AB=10． 點評： 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，（ 2）作輔助線構造出過渡線段DP 并得到全等三角形是解題的關鍵，（ 3）利用相似三角形對應邊成比例求出 P′A= AB是解題的關鍵． 22．（ 2021?湛江）如圖，已知 AB 是 ⊙ O 的直徑， P 為 ⊙ O外一點，且 OP∥ BC， ∠ P=∠ BAC． （ 1）求證： PA 為 ⊙ O 的切線； （ 2）若 OB=5， OP= ，求 AC 的長． 考點： 切線的判定；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì) 分析： （ 1）欲證明 PA 為 ⊙ O 的切線，只需證明 OA⊥ AP； （ 2）通過相似三角形 △ ABC∽△ PAO 的對應邊成比例來求線段 AC 的長度． 解答： （ 1）證明： ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑， ∴∠ ACB=90176。． 又 ∵ OP∥ BC， ∴∠ AOP=∠ B， ∴∠ BAC+∠ AOP=90176。 ∴ 由三角形內(nèi)角和定理知 ∠ PAO=90176。． ∵ OB=5， ∴ OA=OB=5． 又 ∵ OP= ， ∴ 在直角 △ APO 中，根據(jù)勾股定理知 PA= = ， 由（ 1）知， ∠ ACB=∠ PAO=90176。繼而可判斷 AC 是 ⊙ O 的切線． （ 2）根據(jù)（ 1）所得 △ ADC∽△ BAC，可得出 CA的長度，繼而判斷 ∠ CFA=∠ CAF，利用等腰三角形的性質(zhì)得出 AF 的長度，繼而得 出 DF 的長，在 Rt△ AFD中利用勾股定理可得出 AF 的長． 解答： 解：（ 1） ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑， ∴∠ ADB=∠ ADC=90176。 ∴ BA⊥ AC， ∴ AC 是 ⊙ O 的切線． （ 2） ∵△ ADC∽△ BAC（已證）， ∴ = ，即 AC2=BCCD=36， 解得： AC=6， 在 Rt△ ACD 中， AD= =2 ， ∵∠ CAF=∠ CAD+∠ DAE=∠ ABF+∠ BAE=∠ AFD， ∴ CA=CF=6， ∴ DF=CA﹣ CD=2， 在 Rt△ AFD 中， AF= =2 ． 點評： 本題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關鍵是熟練掌握切線的判定定理、相似三角形的性質(zhì)，勾股定理的表達式． 24．（ 2021?襄陽）如圖， △ ABC 內(nèi)接于 ⊙ O，且 AB 為 ⊙ O的直徑． ∠ ACB 的平分線交 ⊙ O于點 D，過點 D作 ⊙ O的切線 PD交 CA的延長線于點 P，過點 A作 AE⊥ CD 于點 E，過點B 作 BF⊥ CD 于點 F． （ 1）求證： DP∥ AB； （ 2）若 AC=6， BC=8，求線段 PD 的長． 考點： 切線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判 定與性質(zhì)． 4387773 專題： 證明題；壓軸題． 分析： （ 1）連結 OD，由 AB 為 ⊙ O 的直徑，根據(jù)圓周角定理得 AB 為 ⊙ O 的直徑得∠ ACB=90176。則 ∠ DAB=∠ ABD=45176。 ∵∠ ACB 的平分線交 ⊙ O 于點 D， ∴∠ ACD=∠ BCD=45176。 ∴△ DAB 為等腰直角三角形， ∴ DO⊥ AB， ∵ PD為 ⊙ O 的切線， ∴ OD⊥ PD， ∴ DP∥ AB； （ 2）解：在 Rt△ ACB 中， AB= =10， ∵△ DAB 為等腰直角三角形， ∴ AD= = =5 ， ∵ AE⊥ CD， ∴△ ACE 為等腰直角三角形， ∴ AE=CE= = =3 ， 在 Rt△ AED 中， DE= = =4 ， ∴ CD=CE+DE=3 +4 =7 ， ∵ AB∥ PD， ∴∠ PDA=∠ DAB=45176。 AD⊥ BC 于點 D，點 E 為 AB 的中點， EC 與AD 交于點 G，點 F 在 BC 上． （ 1）如圖 1， AC： AB=1： 2， EF⊥ CB，求證： EF=CD． （ 2）如圖 2， AC： AB=1： ， EF⊥ CE，求 EF： EG 的值． 考點： 相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 4387773 專題： 壓軸題． 分析： （ 1）根據(jù)同角的余角相等得出 ∠ CAD=∠ B，根據(jù) AC： AB=1： 2 及點 E 為 AB 的中點，得出 AC=BE，再利用 AAS 證明 △ ACD≌ △ BEF，即可得出 EF=CD； （ 2）作 EH⊥ AD 于 H， EQ⊥ BC于 Q，先證明四邊形 EQDH是矩形，得出 ∠ QEH=90176。 AD⊥ BC 于點 D， ∴∠ CAD=∠ B=90176。 ∴∠ FEQ=∠ GEH=90176。 ∴△ EFQ∽△ EGH， ∴ EF： EG=EQ： EH． ∵ AC： AB=1： ， ∠ CAB=90176。． 在 △ BEQ 中， ∵∠ BQE=90176。 ∠ AEH=∠ B=30176。弦 BD=BA， AB=12，BC=5， BE⊥ DC 交 DC 的延長線于點 E． （ 1）求證： ∠ BCA=∠ BAD； （ 2）求 DE 的長； （ 3）求證： BE 是 ⊙ O 的切線． 考點： 切線的判定；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)． 4387773 專題： 壓軸題． 分析： （ 1）根據(jù) BD=BA得出 ∠ BDA=∠ BAD，再由 ∠ BCA=∠ BDA即可得出結論； （ 2）判斷 △ BED∽△ CBA，利用對應邊成比例的性質(zhì)可求出 DE 的長度． （ 3）連接 OB， OD，證明 △ ABO≌△ DBO，推出 OB∥ DE，繼而判 斷 OB⊥ DE，可得出結論． 解答： （ 1）證明： ∵ BD=BA， ∴∠ BDA=∠ BAD， ∵∠ BCA=∠ BDA（圓周角定理） ∴∠ BCA=∠ BAD． （ 2）解： ∵∠ BDE=∠ CAB（圓周角定理）， ∠ BED=∠ CBA=90176。根據(jù)勾股定理求出即可； （ 2）根據(jù) AE=AC 推出弧 AE=弧 AC，根據(jù)垂徑定理求出 OA⊥ EC，根據(jù)平行線判定推出即可； （ 3）證 △ OFC∽△ OAB，求出 FC，根據(jù)垂徑定理得出 EC=2FC，代入求出即可． 解答： （ 1）解：連接 AO，交 EC 于 F， ∵ AB 切 ⊙ O 于 A， ∴ OA⊥ AB， ∴∠ OAB=90176。 BD⊥ BE，AD=BC． （ 1）求證： AC=AD+CE； （ 2）若 AD=3， CE=5，點 P 為線段 AB 上的動點，連接 DP，作 PQ⊥ DP，交直線 BE于點Q； （ i）當點 P 與 A， B 兩點不重合時，求 的值； （ ii）當點 P 從 A點運動到 AC 的中點時，求線段 DQ的中點所經(jīng)過的路徑（線段）長．（直接寫出結果，不必寫出解答過程） 考點： 相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 專題： 幾何綜合題；壓軸題． 分析： （ 1）根據(jù)同角的余角相等求出 ∠ 1=∠ E，再利用 “角角邊 ”證明 △ ABD 和 △ CEB全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得 AB=CE，然后根據(jù) AC=AB+BC 整 理即可得證； （ 2）（ i）過點 Q 作 QF⊥ BC 于 F，根據(jù) △ BFQ 和 △ BCE相似可得 = ，然后求出QF= BF，再 根據(jù) △ ADP 和 △ FPQ 相似可得 = ，然后整理得到（ AP﹣ BF）（ 5﹣AP） =0，從而求出 AP=BF，最后利用相似三角形對應邊成比例可得 = ，從而得解； （ ii）判斷出 DQ 的中點的路徑為 △ BDQ 的中位線 MN．求出 QF、 BF 的長度，利用勾股定理求出 BQ 的長度，再根據(jù)中位線性質(zhì)求出 MN 的長度，即所求之路徑長． 解答： （ 1）證明： ∵ BD⊥ BE， ∴∠ 1+∠ 2=180176。=90176。 ∴∠ 2+∠ E=180176。=90176。﹣ 90176。 ∵∠ FPQ+∠ PQF=180176。=90176。 ∴△ ADP∽△ FPQ， ∴ = ， 即 = ， ∴ 5AP﹣ AP 2+AP?BF=3? BF， 整理得，（ AP﹣ BF）（ AP﹣ 5） =0， ∵ 點 P 與 A， B 兩點不重合， ∴ AP≠5， ∴ AP=BF， 由 △ ADP∽△ FPQ 得， = ， ∴ = ； （ ii）線段 DQ 的中點所經(jīng)過的路徑（線段）就是 △ BDQ