20xx年山東省濟(jì)南市高考數(shù)學(xué)一模試卷理科word版含解析-資料下載頁(yè)
2024-11-28 05:01本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】2．若復(fù)數(shù)z滿足（+i）?z=4i，其中i為虛數(shù)單位，則z=（）。7．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽（如圖1）在學(xué)術(shù)研究中，不迷信古人，堅(jiān)持實(shí)事求是，8．若＞＞0，有四個(gè)不等式：①a3＜b3；②loga+23＞logb+13；③④﹣＜；9．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線C：﹣=1的左焦點(diǎn)，A，10．設(shè)函數(shù)f=當(dāng)x∈[﹣，]時(shí)，恒有f（x+a）＜f，15．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且AE=3ED，CF=FB，如果對(duì)于常數(shù)m，在正方形ABC的四條邊上有且只有6個(gè)不同的點(diǎn)P，=m成立，那么m的取值范圍是．。證明：直線OC1∥平面ADD1A1；18．已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，S3=9，并且a2，a5，求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；求甲、乙兩人所付的費(fèi)用之和等于丙所付的費(fèi)用的概率；求橢圓C的方程和“伴隨圓”E的方程；過(guò)“伴隨圓”E上任意一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，②若直線OP，OQ的斜率存在，設(shè)其分別為k1，k2，試判斷k1k2是否為定值，
【正文】 ﹣（ a+1） x+lnx，其中 a∈ R． （ 1）當(dāng) a＞ 0 時(shí)，討論函數(shù) f（ x）的單調(diào)性； （ 2）當(dāng) a=0 時(shí)，設(shè) g（ x） =﹣ xf（ x） +2，是否存在區(qū)間 [m， n]?（ 1， +∞ ）使得函數(shù) g（ x）在區(qū)間 [m， n]上的值域?yàn)?[k（ m+2）， k（ n+2） ]？若存在，求實(shí) 數(shù) k 的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值． 【分析】 （ 1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論 a 的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可； （ 2） a=0 時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 的方程 x2﹣ xlnx+2=k（ x+2）在區(qū)間（ 1， +∞ ）上是否存在兩個(gè)不相等實(shí)根，即方程 k= 在區(qū)間（ 1，+∞ ）上是否存在兩個(gè)不相等實(shí)根，令 h（ x） = ， x∈ （ 1， +∞ ），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可． 【解答】 解：（ 1） f（ x）的定義域是（ 0， +∞ ）， ∵ f′（ x） =ax﹣（ a+1） + = ，（ a＞ 0）， 令 f′（ x） =0 得： x= 或 x=1； ① 若 0＜ a＜ 1，則 x∈ （ 0， 1）時(shí)， f′（ x） ＞ 0， x∈ （ 1， ）時(shí)， f′（ x） ＜ 0， x∈ （ ， +∞ ）時(shí)， f′（ x） ＞ 0， ∴ 函數(shù) f（ x）在（ 0， 1），（ ， +∞ ）遞增，在（ 1， ）上遞減； ② a=1 時(shí)，則 x∈ （ 0， +∞ ）時(shí)， f′（ x） ≥ 0，當(dāng)且僅當(dāng) x=1 時(shí)， f′（ x） =0， 故函數(shù) f（ x）在（ 0， +∞ ）遞增； ③ 若 a＞ 1 時(shí)，則 x∈ （ 0， ）時(shí)， f′（ x） ＞ 0， x∈ （ ， 1）時(shí)， f′（ x） ＜ 0， x∈ （ 1， +∞ ）時(shí)， f′（ x） ＞ 0， 故函數(shù) z 在（ 0， ），（ 1， +∞ ）遞增，在（ ， 1）遞減， 綜上， 0＜ a＜ 1 時(shí)， f（ x）在（ 0， 1），（ ， +∞ ）遞增，在（ 1， ）遞減； a=1 時(shí)， f（ x）在（ 0， +∞ ）遞增，無(wú)遞減區(qū)間； a＞ 1 時(shí)， f（ x）在（ 0， ），（ 1， +∞ ）遞增，在（ ， 1）遞減； （ 2） a=0 時(shí)， f（ x） =lnx﹣ x， g（ x） =x2﹣ xlnx+2， ∴ g′（ x） =2x﹣ lnx﹣ 1， 令 ω（ x） =g′（ x），則 ω′（ x） =2﹣ ＞ 0， ? x∈ （ 1， +∞ ）， g′（ x）在（ 1， +∞ ）遞增， ∴ ? x∈ （ 1， +∞ ），有 g′（ x） ＞ g′（ 1） =1＞ 0， 即函數(shù) g（ x）在區(qū)間（ 1， +∞ ）遞增， 假設(shè)存在區(qū)間 [m， n]? （ 1， +∞ ）， 使得函數(shù) g（ x）在區(qū)間 [m， n]上的值域是 [k（ m+2）， k（ n+2） ]， 則 ， 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 的方程 x2﹣ xlnx+2=k（ x+2）在區(qū)間（ 1， +∞ ）上是否存在兩個(gè)不相等實(shí)根， 即方程 k= 在區(qū)間（ 1， +∞ ）上是否存在兩個(gè)不相等實(shí)根， 令 h（ x） = ， x∈ （ 1， +∞ ）， h′（ x） = ， 令 p（ x） =x2+3x﹣ 2lnx﹣ 4， x∈ （ 1， +∞ ），則 p′（ x） = ＞ 0， x∈（ 1， +∞ ）， 故 p（ x）在（ 1， +∞ ）遞增，故 ? x∈ （ 1， +∞ ）， p（ x） ＞ p（ 1） =0，即 h′（ x）＞ 0， 故 h（ x）在區(qū)間（ 1， +∞ ）遞增， 故方程 k= 在區(qū)間（ 1， +∞ ）上不存在兩個(gè)不相等實(shí)根， 綜上，不存在區(qū)間 [m， n]? （ 1， +∞ ）使得函數(shù) g（ x）在區(qū)間 [m， n]上的值域是 [k（ m+2）， k（ n+2） ]． 21．設(shè)橢圓 C： + =1（ a＞ b＞ 0），定義橢圓的 “伴隨圓 ”方程為 x2+y2=a2+b2；若拋物線 x2=4y 的焦點(diǎn)與橢圓 C 的一個(gè)短軸重合，且橢圓 C 的離心率為 ． （ 1）求橢圓 C 的方程和 “伴隨圓 ”E的方程； （ 2）過(guò) “伴隨圓 ”E上任意一點(diǎn) P 作橢圓 C 的兩條切線 PA， PB， A， B 為切點(diǎn)，延長(zhǎng) PA 與 “伴隨圓 ”E交于點(diǎn) Q， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)． ① 證明： PA⊥ PB； ② 若直線 OP， OQ 的斜率存在，設(shè)其分別為 k1， k2，試判斷 k1k2 是否為定值，若是，求出該值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 直線與橢圓的位置關(guān)系． 【分析】 （ 1）由拋物線的方程，求得 b 的值，利用離心率公式，即可求得 a 的值，求得橢圓方程； （ 2） ① 設(shè)直線 y=kx+m，代 入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式，即可求得 kPA?kPB=﹣ 1，即可證明 PA⊥ PB； ② 將直線方程代入圓方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式求得 k1k2= ，代入即可求得 k1k2=﹣ ． 【解答】 解：（ 1）由拋物線 x2=4y 的焦點(diǎn)為（ 0， 1）與橢圓 C 的一個(gè)短軸端點(diǎn)重合， ∴ b=1， 由橢圓 C 的離心率 e= = = ，則 a2=3， ∴ 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ， x2+y2=4； （ 2） ① 證明：設(shè) A（ x1， y1）， B（ x2， y2），過(guò)點(diǎn) P 過(guò)橢圓 C 的切線斜率存在且不為零， 設(shè)方程為 y=kx+m，（ k≠ 0）， 由直線 y=kx+m，過(guò) P（ x1， y1），則 m=y1﹣ kx1，且 x12+y12=4， ，消去 y 得：（ 3k2+1） x2+6kmx+3m2﹣ 3=0， △ =36k2m2﹣ 4（ 3k2+1）（ 3m2﹣ 3） =0，整理得： m2=3k2+1， 將 m=y1﹣ kx1，代入上式關(guān)于 k 的方程（ x12﹣ 3） k2﹣ 2x1y1k+y12﹣ 1=0，（ x12﹣ 3≠ 0）， 則 kPA?kPB= =﹣ 1，（ x12+y12=4）， 當(dāng)切線的斜率不存在或等于零結(jié)論顯然成立， ∴ PA⊥ PB， ② 當(dāng)直線 PQ 的斜率存在時(shí)， 由 ① 可知直線 PQ 的方程為 y=kx+m， ，整理得：（ k2+1） x2+2kmx+m2﹣ 4=0， 則 △ =4k2m2﹣ 4（ k2+1）（ m2﹣ 4），將 m2=3k2+1，代入整理 △ =4k2+12＞ 0， 設(shè) P（ x1， y1）， Q（ x2， y2），則 x1+x2=﹣ ， x1?x2= ， ∴ k1k2= = = ， = ， 將 m2=3k2+1，即可求得求得 k1k2=﹣ ， 當(dāng)直線 PQ 的斜率不存在時(shí)，易證 k1k2=﹣ ， ∴ 綜上可知： k1k2=﹣ ． 2017 年 4 月 1 日
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