【導(dǎo)讀】2017年福建省莆田市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）。個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）。1．已知集合A={x|x2﹣6x+5≤0}，B={x|y=log2（x﹣2）}，則A∩B=（）。2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z=3+i，則z=（）。A．1+2iB．2+2iC．2﹣iD．1+i. 3．設(shè)a為實(shí)數(shù)，直線l1：ax+y=1，l2：x+ay=2a，則“a=﹣1”是“l(fā)1∥l2”的（）。A．充分不必要條件B．必要不充分條件。C．充要條件D．既不充分也必要條件。4．已知函數(shù)f是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f=2x，則f（﹣2）。5．我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有如下的問題：“今有方物一束，外周有三。設(shè)每層外周枚數(shù)為a，如圖是解決該問題的程序框圖，則。輸出的結(jié)果為（）。A．121B．81C．74D．49. 6．拋擲一枚均勻的硬幣4次，正面不連續(xù)出現(xiàn)的概率是（）。7．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）。求優(yōu)質(zhì)品率較高的分廠的500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)（同一組

　　

【正文】 從而可得 △ OAB 的面積 ，為定值． 【點(diǎn)評】 本題考查橢圓的標(biāo) 準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長公式，點(diǎn)到直線的距離公式，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題． 21．（ 12 分）（ 2017?莆田一模）已知函數(shù) f（ x） =2x3﹣ 3x2+1， g（ x） =kx+1﹣lnx． （ 1）若過點(diǎn) P（ a，﹣ 4）恰有兩條直線與曲線 y=f（ x）相切，求 a 的值； （ 2）用 min{p， q}表示 p， q 中的最小值，設(shè)函數(shù) h（ x） =min{f（ x）， g（ x） }（ x＞ 0），若 h（ x）恰有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍． 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；根的存在性 及根的個(gè)數(shù)判斷；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程． 【分析】 （ 1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求得 f（ x）在 Q 的切線方程，構(gòu)造輔助函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論即可求得 a 的值； （ 2）根據(jù)函數(shù)定義，求 h（ x），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)的判斷，采用分類討論法，求得函數(shù) h（ x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可求得 h（ x）恰有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí) 數(shù) k 的取值范圍． 【解答】 解：（ 1）設(shè)切點(diǎn) Q（ t， f（ t）），由直線 f（ x） =2x3﹣ 3x2+1，求導(dǎo)，f′（ x） =6x2﹣ 6x， 則 f（ x）在 Q 點(diǎn)的切線的斜率 k=6t2﹣ 6t， 則切線方程為 y﹣ f（ t） =（ 6t2﹣ 6t）（ x﹣ t）， 由切線過點(diǎn) P（ a，﹣ 4），則﹣ 4﹣ f（ t） =（ 6t2﹣ 6t）（ a﹣ t）， 整理得： 4t3﹣（ 3+6a） t2+6at﹣ 5=0， 又由曲線恰有兩條切線，即方程恰有兩個(gè)不同的解， 令 H（ t） =4t3﹣（ 3+6a） t2+6at﹣ 5，求導(dǎo) H′（ t） =12t2﹣ 6（ 6+12a） t+6a， 令 H′（ t） =0，解得： t= ， t=2， 當(dāng) a= 時(shí)， H′（ t） ≥ 0，函數(shù) H（ t）在 R 上單調(diào)遞增，沒有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意， 當(dāng) a＞ 時(shí)，且 t∈ （﹣ ∞ ， ） ∪ （ a， +∞ ）時(shí)， H′（ t） ＞ 0， 當(dāng) t∈ （ ， a）時(shí)， H′（ t） ＜ 0， ∴ H（ t）在（﹣ ∞ ， ），（ a， +∞ ）單調(diào)遞增，在（ ， a）單調(diào)遞減； 要使 H（ t）在 R 上有兩個(gè)零點(diǎn)，則 ，或 ， 由 H（ ） = ﹣ ﹣ a+3a﹣ 5= （ a﹣ ）， H（ a） =4a3﹣（ 3+6a） a2+6a2﹣ 5=﹣（ a+1）（ 2a2﹣ 5a+5）， =﹣（ a+1） [2（ a﹣ ） 2+ ]， ∴ 或 ， 則 a= ， 當(dāng) a＜ 時(shí)，同理可知： 或 ，則 a=﹣ 1， 綜上可知： a=﹣ 1 或 a= ； （ 2） f（ x） =2x3﹣ 3x2+1=（ x﹣ 1） 2（ 2x+1）， ∴ f（ x）在（ 0， +∞ ）上只有一個(gè)零點(diǎn) x=1， g′（ x） =k﹣ ， 當(dāng) k≤ 0 時(shí)， g′（ x） ＜ 0，則 g（ x）在（ 0， +∞ ）上單調(diào)遞減， g（ x）在（ 0， +∞ ）上至多只有一個(gè)零點(diǎn)， 故 k≤ 0 不符合題意； 當(dāng) k＞ 0， g′（ x） =k﹣ =0，解得： x= ， ∴ 當(dāng) x∈ （ 0， ）時(shí)， g′（ x） ＜ 0，當(dāng) x∈ （ ， +∞ ）時(shí)， g′（ x） ＞ 0， ∴ g（ x）在（ 0， ）上單調(diào)遞減，在（ ， +∞ ）上單調(diào)遞增； ∴ g（ x）有最小值 g（ ） =2+lnk， ① 當(dāng) k= 時(shí)， g（ ） =0， g（ x）只有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意； ② 當(dāng) k＞ 時(shí)， g（ ） ＞ 0， g（ x）在（ 0， +∞ ）上無零點(diǎn)，不滿足題意； ③ 當(dāng) ＜ k＜ 時(shí)， g（ ） ＜ 0， 由 g（ ） ?g（ 1） =（ 2+lnk）（ k+1） ＜ 0， ∴ g（ x）在（ 1， ）上有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為 x1， 若 g（ ） ?g（ ） ＜ 0， g（ x）在（ ， +∞ ）上有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為 x2， 易證 ＞ （ ＞ e2）， 下面證明： g（ ） ＞ 0， 令 F（ x） =ex﹣ x2，（ x＞ 2）， 求導(dǎo) F′（ x） =ex﹣ 2x， F′′（ x） =ex﹣ 2＞ e2﹣ 2＞ 0， ∴ F（ x）在（ 2， +∞ ）上單調(diào)遞增； ∴ F（ x） ＞ F（ 2） =e2﹣ 4＞ 0， ∴ e2﹣ x2＞ 0，即 e2＞ x2，（ x＞ 2）， 現(xiàn)在去 x= ，由 0＜ k＜ e﹣ 2， ∴ x＞ e2＞ 2， 則 g（ ） =k? +1﹣ ln ， =k? +1﹣ ， 由 ＞ e2＞ 2，則 ＞ ， ∴ g（ ） ＞ k? +1﹣ =1＞ 0， ∴ g（ x1） =g（ x2） =0 ∴ 由 g（ 1） =k+1＞ 0， f（ x1） ＞ 0， f（ x2） ＞ 0， 故 h（ 1） ＞ f（ 1） =0， h（ x1） =g（ x1） =0， h（ x2） =g（ x2） =0， 故 h（ x）有三個(gè)零點(diǎn)， 綜上可知：滿足題意的 k 的取值范圍為（ 0， ）． 【點(diǎn)評】 本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力、推理能力句函數(shù)和方 程思想、分類和整合思想，是一道綜合題，屬于難題． [選修 44 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 ] 22．（ 10 分）（ 2017?莆田一模）在直角坐標(biāo)系 xOy 中，圓 C 的方程為（ x﹣ 1）2+（ y﹣ 1） 2=2，在以坐標(biāo)原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線 l 的極坐標(biāo)方程為 ． （ 1）寫出圓 C 的參數(shù)方程和直線 l 的普通方程； （ 2）設(shè)點(diǎn) P 為圓 C 上的任一點(diǎn)，求點(diǎn) P 到直線 l 距離的取值范圍． 【考點(diǎn)】 參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標(biāo)方程． 【分析】 （ 1）由題意求出圓 C 的參數(shù)方程和直線 l 的普通方程； （ 2）由題意設(shè) P（ ， ），由點(diǎn)到直線的距離公式表示出點(diǎn) P 到直線 l 距離，利用兩角和的正弦公式化簡后，由正弦函數(shù)的值域求出答案． 【解答】 解：（ 1） ∵ 圓 C 的方程為（ x﹣ 1） 2+（ y﹣ 1） 2=2， ∴ 圓 C 的參數(shù)方程為 （ α為參數(shù)）， ∵ 直線 l 的極坐標(biāo)方程為 ， ∴ ，即 ρsinθ+ρcosθ﹣ 4=0， ∴ 直線 l 的普通方程是 x+y﹣ 4=0； （ 2）由題意設(shè) P（ ， ）， ∴ 點(diǎn) P 到直線 l 距離 d= = = ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ 點(diǎn) P 到直線 l 距離的取值范圍是 [0， ]． 【點(diǎn)評】 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程法轉(zhuǎn)化，點(diǎn)到直線 的距離公式，兩角和的正弦公式，以及正弦函數(shù)的值域等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，化簡、計(jì)算能力． [選修 45 不等式選講 ] 23．（ 2017?莆田一模）已知函數(shù) f（ x） =|x﹣ 4|+|x﹣ 2|． （ 1）求不等式 f（ x） ＞ 2 的解集； （ 2）設(shè) f（ x）的最小值為 M，若 2x+a≥ M 的解集包含 [0， 1]，求 a 的取值范圍． 【考點(diǎn)】 絕對值不等式的解法；函數(shù)的最值及其幾何意義． 【分析】 （ 1） f（ x） =|x﹣ 4|+|x﹣ 2|= ．分 x≤ 2 時(shí)，； 2＜ x＜ 4，x≥ 4，解 f（ x） ＞ 2． （ 2））由 |x﹣ 4|+|x﹣ 2|≥ 2，得 M=2，由 2x+a≥ M 的解集包含 [0， 1]，得 20+a≥ 2， 21+a≥ 2 【解答】 解：（ 1） f（ x） =|x﹣ 4|+|x﹣ 2|= ． ∴ 當(dāng) x≤ 2 時(shí)， f（ x） ＞ 2， 6﹣ 2x＞ 2，解得 x＜ 2； 當(dāng) 2＜ x＜ 4 時(shí)， f（ x） ＞ 2 得 2＞ 2，無解； 當(dāng) x≥ 4 時(shí)， f（ x） ＞ 2 得 2x﹣ 6＞ 2，解得 ＞ 4． 所以不等式 f（ x） ＞ 2 的解集為（﹣ ∞ ， 2） ∪ （ 4， +∞ ）． （ 2）） ∵ |x﹣ 4|+|x﹣ 2|≥ 2， ∴ M=2， ∵ 2x+a≥ M 的解集包含 [0， 1]， ∴ 20+a≥ 2， 21+a≥ 2， ∴ a≥ 1． 故 a 的取值范圍為： [1， +∞ ） 【點(diǎn)評 】 本題考查了絕對值不等式的解法，及恒成立問題，屬于中檔題．