【導讀】知道這些物理量分別是指哪些數(shù)據(jù)以及各自的含義嗎？“取值、列表、描點、連線”這四個步驟．請完成下面的填空.試一試：教材P56習題1－8A組T6你會嗎？試一試：教材P55練習3T4你會嗎？簡諧振動y＝Asin中，A叫作振幅，周期T＝2πω，頻率f＝ω2π，相。用“五點法”作y＝Asin的簡圖，主要是通過變量代換，設(shè)z＝ωx＋φ，則z取0，由函數(shù)y＝sinx的圖像通過變換得到y(tǒng)＝Asin的圖像，主要有兩種。2x－π4，x∈R的一個對稱中心為????x2＋π3在一個周期上的簡圖時，第一個關(guān)鍵點為。正確．當x＝π8時，y＝2sin????13x＋π6的周期、振幅、初相分別是(). 解析：由題知A＝13，T＝2????1116π－316π＝π.y的值依次為0，A，0，－A，0.

　　

【正文】 答案： 38π ： y＝ 2sin?? ??2x－ π 4 . (1)指出此簡諧運動的周期、 振幅、頻率、相位和初相； (2)利用 “ 五點法 ” 作出函數(shù)在一個周期 (閉區(qū)間 )上的簡圖； (3)說明它是由函數(shù) y＝ sin x 的圖像經(jīng)過哪些變換而得到的． 解： (1)周期： π ；振幅： 2； 頻率： 1π ；相位： 2x－ π 4 ；初相：－ π 4 . (2)第一步：列表 x π 8 3π8 5π8 7π8 9π8 2x－ π 4 0 π 2 π 3π2 2π sin?? ??2x－ π 4 0 1 0 － 1 0 y 0 2 0 － 2 0 第二步： 描點． 第三步：連線畫出圖像如圖所示： (3)① 先將函數(shù) y＝ sin x 的圖像上的點縱坐標不變 ， 橫坐標縮短至原來的一半得到函數(shù) y＝ sin 2x 的圖像； ② 再將函數(shù) y＝ sin 2x 的圖像向右平移 π 8 個單位長度得到函數(shù) y＝ sin?? ??2x－ π 4 的圖像； ③ 最后再將函數(shù) y＝ sin?? ??2x－ π 4 的 圖像上的點橫坐標不變 ， 縱坐標伸長為原來的 2倍得到函數(shù) y＝ 2sin?? ??2x－ π 4 的圖像． f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)?? ??A0， ω 0， |φ |π 2 的部分圖像如圖所示． (1)求函數(shù) f(x)的解析式 ， 并寫出函數(shù) f(x)的圖 像的所有的對稱中心； (2)若函數(shù) g(x)的圖像與 f(x)的圖像關(guān)于點 P(4， 0)對稱 ， 求 g(x)的遞增區(qū)間． 解： (1)由圖像可知 A＝ 2， T＝ 16， ω ＝ π 8 ， 將 (－ 2， 0)代入解析式可求得 φ＝ π 4 ， 故f(x)＝ 2sin?? ??π 8 x＋ π4 ， 函數(shù) f(x)的圖像的對稱中心為 (8k－ 2， 0)(k∈ Z)． (2)設(shè) f(x)圖像上任一點 P1(x1， y1)關(guān)于點 P(4， 0)的對稱點為 P(x， y)， 則?????x1＋ x2 ＝ 4，y1＋ y2 ＝ 0，即?????x1＝ 8－ x，y1＝－ y， 因為 y1＝ f(x1)， y＝ g(x)， 所以 f(x1)＝－ g(x)， 所以 g(x)＝－ f(8－ x)＝－ 2sin?? ??π 8 （ 8－ x）＋ π 4 ＝－ 2sin?? ??5π4 － π 8 x ＝ 2sin?? ??π x8 － 5π4 .令 2kπ － π 2 ≤ π 8 x－ 5π4 ≤ 2kπ ＋ π 2 (k∈ Z)， 16k＋ 6≤ x≤ 16k＋14(k∈ Z)， 即 g(x)的遞增區(qū)間為 [16k＋ 6， 16k＋ 14](k∈ Z)． [ ] ① y＝ cos|2x|； ② y＝ |cos x|； ③ y＝ cos?? ??2x＋ π 6 ； ④ y＝ tan?? ??2x－ π 4 中 ， 最小正周期為 π 的函數(shù)有 ( ) A． ②④ B． ①③④ C． ①②③ D． ①③ 解 析： 選 C.① y＝ cos|2x|＝ cos 2x， T＝ π . ② 由圖像知 ， 函數(shù)的周期 T＝ π . ③ T＝ π . ④ T＝ π 2 . 綜上可知 ， 最小正周期為 π 的所 有函數(shù)為 ①②③ . 2． 函數(shù) y＝ Asin(ωx＋ φ)＋ k?? ??A0， ω 0， |φ |π 2 的圖像如圖所示 ， 則函數(shù) y 的解析式是 ( ) A． y＝ 32sin?? ??2x＋ π 3 ＋ 1 B． y＝ 32sin?? ??2x＋ π 3 － 1 C． y＝ 32sin?? ??2x－ π 3 ＋ 1 D． y＝ sin?? ??2x－ π 3 － 1 解析： 選 T2＝ 712π － π12＝ π 2 ， 所以 T＝ π ， 所以 ω＝ 2πT ＝ 2， A＝52＋122 ＝32， k＝52－122 ＝ 1. 由 52＝ 32sin?? ??2 π12＋ φ ＋ 1， 得 π 6 ＋ φ＝ 2kπ＋ π 2 ， k∈ Z， 因為 |φ|π 2 ， 所以 φ＝ π 3 . 所以 y＝ 32sin?? ??2x＋ π 3 ＋ 1. 數(shù) f(x)＝ 2sin?? ??π 2 x＋ π 5 ， 若對任意 x∈ R， 都有 f(x1)≤ f(x)≤ f(x2)成立 ， 則 |x1－ x2|的最小值為 ________． 解析： 若對任意 x∈ R， 都有 f(x1)≤ f(x)≤ f(x2)成立 ， 則 f(x1)≤ f(x)min且 f(x2)≥ f(x)max， 當且僅當 f(x1)＝ f(x)min， f(x2)＝ f(x)max時 ， |x1－ x2|的最小值為 f(x)＝ 2sin?? ??π 2 x＋ π 5 的半個周期 ，即 |x1－ x2|min＝ 12 2ππ2＝ 2. 答 案： 2 4． 若將函數(shù) f(x)＝ 3sin?? ??3x＋ π 6 的圖像向右平移 φ個單位長度 ， 所得圖像關(guān)于 y軸對稱 ，則 φ的最小正值是 ________． 解析： 因為函數(shù) f(x)＝ 3sin?? ??3x＋ π 6 的圖像向右平移 φ 個單位長度得到 g(x)＝3sin?? ??3（ x－ φ）＋ π6 ＝ 3sin?? ??3x＋ π 6 － 3φ ， 又因為 g(x)是偶函數(shù) ， 所以 π 6 － 3φ＝ kπ ＋ π 2 (k∈ Z)． 所以 φ＝－ kπ3 － π 9 (k∈ Z)． 當 k＝－ 1 時 ， φ 取得最小正值 2π9 . 答案： 2π9 5． 已知函數(shù) f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)?? ??A0， ω 0， |φ |π 2 的圖像在 y軸上的截距為 1， 它在y 軸右側(cè)的第一個最大值點和最小值點分別為 (x0， 2)和 (x0＋ 3π ， － 2)． (1)求 f(x)的解析式； (2)將 y＝ f(x)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的 13， 然后再將所得到的圖像向 x軸正方向平移 π 3 個單位長度 ， 得到函數(shù) y＝ g(x)的圖像 ， 寫出 g(x)的解析式 ， 并作出 在長度為一個周期上的圖像 ． 解： (1)由已知 ， 易得 A＝ 2， T2＝ (x0＋ 3π )－ x0＝ 3π ， 解得 T＝ 6π ， 所以 ω＝ 13. 把 (0， 1)代入解析式 f(x)＝ 2sin?? ??x3＋ φ ， 得 2sin φ ＝ 1. 又 |φ|π 2 ， 解得 φ＝ π 6 . 所以 f(x)＝ 2sin?? ??x3＋ π 6 . (2)壓縮后的函數(shù)解析式為 y＝ 2sin?? ??x＋ π6 ， 再平移得 g(x)＝ 2sin??? ????? ??x－ π3 ＋ π 6 ＝2sin?? ??x－ π6 . 列表 x π 6 2π3 7π6 5π3 13π6 x－ π 6 0 π 2 π 3π2 2π 2sin?? ??x－ π6 0 2 0 － 2 0 圖像如圖： 6． (選做題 )已知函數(shù) y＝ Asin(ωx＋ φ)?? ??A0， ω 0， |φ |π 2 的圖像經(jīng)過點 P?? ??π12， 0 ， 圖像上與點 P 最近的一個最高點是 Q?? ??π 3 ， 5 . (1)求函數(shù)的解析式； (2)指出函數(shù)的遞增區(qū)間； (3)求使 y≤ 0 的 x 的取值范圍 ． 解： (1)由題意得 A＝ 5， 周期 T＝ 4 ?? ??π 3 － π12 ＝ π ， 故 ω ＝ 2ππ ＝ 2， 所以 y＝ 5sin(2x＋ φ)，因為圖像過 點 Q?? ??π 3 ， 5 ， 所以 5sin ?? ??23π ＋ φ ＝ 5， 因為 |φ|π 2 ， 所以 φ ＝－ π 6 ， 所以 y＝5sin?? ??2x－ π 6 . (2)令 2kπ － π 2 ≤ 2x－ π 6 ≤ 2kπ＋ π 2 ， k∈ Z， 解得 kπ － π 6 ≤ x≤ kπ ＋ π 3 ， k∈ Z， 所以函數(shù)的遞增區(qū)間為 ?? ??kπ － π 6 ， kπ ＋ π3 ， k∈ Z. (3)由題意得 5sin?? ??2x－ π 6 ≤ 0， 所以 2kπ － π ≤ 2x－ π 6 ≤ 2kπ ， k∈ Z， 解得 kπ － 5π12 ≤x≤ kπ ＋ π12， k∈ Z， 所以使 y≤ 0 的 x 的取值范圍是 ?? ??kπ － 5π12 ， kπ ＋ π12 ， k∈ Z.