高中數(shù)學(xué)人教a版選修2-3132研究性課題楊輝三角教案-資料下載頁(yè)
2024-11-19 23:24本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】1．引言:為什么要研究楊輝三角？了解古今數(shù)學(xué)家的偉大成就，進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育；二項(xiàng)式（a+b）n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)n依次取1，2，3．．．時(shí)，列出的一張表，楊輝，杭州錢(qián)塘人。中國(guó)南宋末年數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)教育家．著作甚。除算法》二卷、《續(xù)古摘奇算法》二卷．其中后三種合稱(chēng)《楊輝算法》，朝鮮、日本等國(guó)均有譯本出版，流傳世界。,他們把這個(gè)表叫做帕斯卡三角．這就是說(shuō)，楊輝三角。楊輝三角具有對(duì)稱(chēng)性（對(duì)稱(chēng)美），即rnnrnCC??分析：觀察可知，它們均為奇數(shù)．第2K行除兩端的1之外都是偶數(shù).二階等差數(shù)列1，3，6，10，?就開(kāi)始生下一對(duì)小兔子，并且以后每個(gè)月都生一對(duì)小兔子．設(shè)所生一對(duì)兔子均為一雄一雌，兔子繁殖問(wèn)題可以從楊輝三角得到答案：右側(cè)從上而下的一列數(shù)1，1，2，3，5，8，
【正文】 行； 66 2 1 63 ,n ? ? ? ? 故第 63行共有 64個(gè) 1，逆推知第 62行共有 32個(gè) 1，第 61行共有 32 個(gè) 1。 3.（ 2020浙江卷理） 觀察下列等式： 1 5 35522CC? ? ? ， 1 5 9 7 39 9 9 22C C C? ? ? ?， 1 5 9 13 11 513 13 13 13 22CCCC? ? ? ? ?， 1 5 9 13 17 15 717 17 17 17 17 22C C C C C? ? ? ? ? ?， ??? 由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論： 對(duì)于 *nN? ， 1 5 9 4 14 1 4 1 4 1 4 1nn n n nC C C C ?? ? ? ?? ? ? ? ? ． . 答案： ? ?4 1 2 12 1 2nnn???? 【解析】這是一種需類(lèi)比推理方法破解的問(wèn)題，結(jié)論由二項(xiàng)構(gòu)成，第二項(xiàng)前有 ? ?1n? ，二項(xiàng)指數(shù)分別為 4 1 2 12 ,2nn??，因此對(duì)于 *nN? ， 1 5 9 4 14 1 4 1 4 1 4 1nn n n nC C C C ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ?4 1 2 12 1 2nnn???? 如圖 2 所示的三角形數(shù)陣叫 “ 萊布尼茲調(diào)和三角形 ”, 它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的 ,第 n行有 個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為1n? ?2≥,每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和 ,如1 11 2 2??,1 12 3 6,1 1 13 4 12??,則第 10行第 4個(gè)數(shù) (從左往右數(shù) )為 （ B ） A． 1260 B． 840 C． 504 D． 360 楊輝三角的第 8行是： 1 7 21 35 35 21 7 1，其中 7， 21，35 三個(gè)相鄰的數(shù)成等差數(shù)列，你還能在楊輝三角中找出其他在同一行中成等差數(shù)列的相鄰三個(gè)數(shù)嗎？ 如圖所示的數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，他們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第 n 行有 n 個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為 1( 2)nn ? ，每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如： 1 1 1 1 1 1 1 1 1,1 2 2 2 3 6 3 4 1 2? ? ? ? ? ??，則第 ( 3)nn? 行第 3個(gè)數(shù)字是 ▲ ． 【答案】 2( 1) ( 2)n n n? ? ? ?， 給出如下三角形數(shù)表 ,此數(shù)表滿(mǎn)足 : (1)第 n行首尾兩數(shù)均為 n+1。 (2)表中數(shù)字間的遞推關(guān)系類(lèi)似于楊輝三角形 ,即除了 “ 兩腰 ” 上 的數(shù)字以外 ,每一個(gè)數(shù)都等于它上一行左右 “ 兩肩 ” 上的兩數(shù)之和 ,第 n行第 n個(gè)數(shù)是________________. 【答案】 222 ??nn. 如右圖 ,它滿(mǎn)足 : (1)第 n 行首尾兩數(shù)均為 n 。 (2)表中的遞推關(guān)系類(lèi)似楊輝三角 ,則第 n 行 ? ?2n? 第 2 個(gè)數(shù)是_________ 【答案】 2 22nn?? 如圖所示的三角形數(shù)陣叫 “ 萊布尼茲調(diào)和三角形 ”, 它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的 , 第 n行有 n個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為 (n≥2) , 每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和 , 如= + = + = + , ?, 則第 10行第 3個(gè)數(shù) (從左往右數(shù) ) 為 . ???? 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6
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