【導(dǎo)讀】第51講用樣本估計(jì)總體。第54講隨機(jī)事件的概率與古典概型。第55講隨機(jī)數(shù)與幾何概型。第九單元概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例?！斫飧怕实囊饬x是解題的前提，互斥事件和對(duì)立事件是容易混淆的概念.圖等方法列出基本事件數(shù)n和事件A的個(gè)數(shù)m是解題的基本。區(qū)域和要求概率的事件A構(gòu)成的區(qū)域是重點(diǎn).是重點(diǎn)，分層抽樣抽取比例是易錯(cuò)點(diǎn).眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等，重點(diǎn)是頻率分布直方圖、莖葉圖。及應(yīng)用和獨(dú)立性檢驗(yàn)，這兩類問(wèn)題中，公式多，運(yùn)算量大，例”，另一部分是“概率”．本單元內(nèi)容與實(shí)際生產(chǎn)生活。結(jié)合得較為緊密，特別是統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例，數(shù)據(jù)多，公式。憶，考試時(shí)會(huì)給出公式；古典概型與幾何概型也是高考經(jīng)。目的是幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，能針對(duì)不同的概率類型靈。注意了高考的發(fā)展趨勢(shì)，重點(diǎn)關(guān)注概率與統(tǒng)計(jì)相結(jié)。心概念，它貫穿概率問(wèn)題的始終，在教學(xué)中一定要通過(guò)各。把握基本題型，對(duì)于常見的求概率的基本題型要牢。固掌握，求概率公式要求記憶準(zhǔn)確，針對(duì)不同的概率類型

　　

【正文】 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 51講 用樣本估計(jì)總體 歸納總結(jié) 莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)的優(yōu)點(diǎn)： ① 所有數(shù)據(jù)信息都可由莖葉圖看到； ② 莖葉圖便于記錄和表示，且能夠展示 數(shù)據(jù)的分布情況． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 51講 用樣本估計(jì)總體 變式題 [ 2020 鄭州質(zhì)檢 ] 第 30 屆夏季奧運(yùn)會(huì)于 2020年 7 月 27 日在倫敦成功舉行，當(dāng)?shù)啬硨W(xué)校招募了 8 名男志愿者和 12 名女志愿者．將這 20 名志愿者的身高編成莖葉圖如圖 9 － 51 － 5( 單位： cm ) ： 若身高在 180 cm 以上 ( 包括 180 cm ) 定義為 “ 高個(gè)子 ” ，身高在 180 cm 以下 ( 不包括 180 cm ) 定義為 “ 非高個(gè)子 ” ． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 51講 用樣本估計(jì)總體 ( 1) 求 8 名男志愿者的平均身高和 12 名女志愿者身高的中位數(shù)； ( 2) 如果用分層抽樣的方法從 “ 高個(gè)子 ” 和 “ 非高個(gè)子 ” 中抽取 5 人，再?gòu)倪@ 5 人中選 2 人，那么至少有一人是 “ 高個(gè)子 ” 的概率是多少？ 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 51講 用樣本估計(jì)總體 解： ( 1) 8 名男志愿者的平均身高為 168 ＋ 176 ＋ 177 ＋ 178 ＋ 183 ＋ 184 ＋ 187 ＋ 1918＝( cm ) ； 12 名女志愿者身高的中位數(shù)為 175. ( 2) 根據(jù)莖葉圖，有 “ 高個(gè)子 ” 8 人， “ 非高個(gè)子 ” 12人， 用分層抽樣的方法，每個(gè)人 被抽中的概率是520＝14， 所以選中的 “ 高個(gè)子 ” 有 8 14＝ 2 人，設(shè)這兩個(gè)人為 A ，B ； “ 非高個(gè)子 ” 有 12 14＝ 3 人，設(shè)這三個(gè)人為 C ， D ， E . 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 51講 用樣本估計(jì)總體 從這五個(gè)人 A ， B ， C ， D ， E 中選出兩個(gè)人共有： ( A ，B ) ， ( A ， C ) ， ( A ， D ) ， ( A ， E ) ， ( B ， C ) ， ( B ， D ) ， ( B ， E ) ，( C ， D ) ， ( C ， E ) ， ( D ， E ) 10 種不同方法； 其中至少有一人是 “ 高個(gè)子 ” 的選法有： ( A ， B ) ，( A ， C ) ， ( A ， D ) ， ( A ， E ) ， ( B ， C ) ， ( B ， D ) ， ( B ， E ) 共 7種． 因此，至少有一人是 “ 高個(gè)子 ” 的概率是710. ? 探究點(diǎn)三 用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 51講 用樣本估計(jì)總體 例 3 ( 1) 甲、乙兩種水稻試驗(yàn)品種連續(xù) 5 年的平均單位面積產(chǎn)量如下 ( 單位： t/ hm2) ，根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計(jì)產(chǎn)量比較穩(wěn)定的水稻品種是 ________ . 品種 第 1 年 第 2 年 第 3 年 第 4 年 第 5 年 甲 9 . 8 9 . 9 1 0 . 1 10 1 0 . 2 乙 9 . 4 1 0 . 3 1 0 . 8 9 . 7 9 . 8 ( 2) 某醫(yī)院急診中心關(guān)于病人等待急診的時(shí)間記錄如下 ( 單位： m i n ) ： 等待時(shí)間 [0 ， 5) [5 ， 10 ) [1 0 ， 1 5 ) [1 5 ， 2 0 ) [2 0 ， 2 5 ] 頻數(shù) 4 8 5 2 1 用上表分組資料計(jì)算病人平均等待時(shí)間的估計(jì)值是________ m i n . 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 51講 用樣本估計(jì)總體 思考流程 ( 1) 分析：判定產(chǎn)量是否穩(wěn)定，關(guān)鍵看方差的大小，方差越小越穩(wěn)定；推理：利用方差計(jì)算公 式算出兩組數(shù)據(jù)的方差；結(jié)論：根據(jù)方差值的大小作結(jié)論． ( 2) 分析：以區(qū)間中點(diǎn)值作為平均等待時(shí)間的估計(jì)值；推理：先求出各個(gè)時(shí)間段的等待總時(shí)間的估計(jì)值，再求總的平均等待時(shí)間的估計(jì)值；結(jié)論：依據(jù)計(jì)算結(jié)果作結(jié)論． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 51講 用樣本估計(jì)總體 [ 解析 ] ( 1) 甲品種的樣本平均數(shù)為 10 ，樣本方差為 [ ( － 10)2＋ ( － 10)2＋ ( － 10 )2＋ ( 10 － 10 )2＋ ( － 10)2] 247。 5 ＝ . 乙品種的樣本平均數(shù)也為 10 ，樣本方差為 [ ( － 10 )2＋ ( － 10)2＋ ( － 10)2＋ ( － 10 )2＋( － 10)2] 247。 5 ＝ . 因?yàn)? ，所以，由這組數(shù)據(jù)可以認(rèn)為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定． [ 答案 ] ( 1 ) 甲 ( 2 ) 9 . 5 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 51講 用樣本估計(jì)總體 ( 2) 等待時(shí)間在 [0 ， 5) 內(nèi)的 4 個(gè)人的等待總時(shí)間的估計(jì)值為0 ＋ 52 4 ＝ 10 ； 等待時(shí)間在 [5 ， 10) 內(nèi)的 8 個(gè) 人的等待總時(shí)間的估計(jì)值為5 ＋ 102 8 ＝ 60 ； 同理，其余三個(gè)時(shí)間段等待總時(shí)間的估計(jì)值分別為 ， 35 ， . 所以病人平均等待時(shí)間的估計(jì) 值為10 ＋ 60 ＋ ＋ 35 ＋ 4 ＋ 8 ＋ 5 ＋ 2 ＋ 1＝ ( m i n ) ． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 51講 用樣本估計(jì)總體 點(diǎn)評(píng) 平均值是樣本數(shù)字特征中的一個(gè)重要特征，它能夠反映樣本的總體水平．樣本的數(shù)字特征除了平均值外，還有眾數(shù)、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等，在進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí)，這些數(shù)字特征往往會(huì)結(jié)合起來(lái)使用． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 51講 用樣本估計(jì)總體 歸納總結(jié) 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的異同： (1) 眾數(shù)、中位數(shù) 及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量，平均數(shù)是最重要的量． (2) 平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里每個(gè)數(shù)據(jù)均有關(guān)系，任何一個(gè)數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)引起平均數(shù)的變動(dòng)，而中位數(shù)和眾數(shù)都不具備此性質(zhì)． (3) 眾數(shù)體現(xiàn)各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有若干數(shù)據(jù)多次出現(xiàn)時(shí)，眾數(shù)往往更能反映問(wèn)題． (4) 中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，中位數(shù)可能出現(xiàn) 在所給數(shù)據(jù)中，也可能不在所給數(shù)據(jù)中，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，可用中位數(shù)描述其集中趨勢(shì)． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 51講 用樣本估計(jì)總體 變式題 ( 1) [ 2020 廣東卷 ] 由正整 數(shù)組成一組數(shù)據(jù) x1，x2， x3， x4，其平均數(shù)和中位數(shù)都是 2 ，且標(biāo)準(zhǔn)差等于 1 ，則這組數(shù)據(jù)為 ________ ． ( 從小到大排列 ) ( 2) [ 2020 西安質(zhì)檢 ] 某校甲、乙兩個(gè)班級(jí)各有 5 名編號(hào)為 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的學(xué)生進(jìn)行投籃練習(xí)，每人投 10 次，投中的次數(shù)如下表： 學(xué)生 1 號(hào) 2 號(hào) 3 號(hào) 4 號(hào) 5 號(hào) 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 則以上兩組數(shù) 據(jù)的方差中較小的一個(gè)為 s2，則 s2＝( ) A.25 B.425 C.65 D ． 2 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 51講 用樣本估計(jì)總體 [ 解析 ] ( 1) 設(shè)四個(gè)數(shù)從小 到大分別是： x1， x2， x3， x4，根據(jù)已知可以得到方程組： ??????? x2＋ x32＝ 2 ，x1＋ x2＋ x3＋ x44＝ 2 ，s2＝ 1 ，即????? x2＋ x3＝ 4 ，x1＋ x2＋ x3＋ x4＝ 8 ，x21＋ x22＋ x23＋ x24＝ 20.又因 為四個(gè)數(shù)都是正整數(shù)，根據(jù)第一個(gè)式子知 x2＝ 1 ， x3＝ 3 或 x2＝ 2 ，x3＝ 2 ，則 x1＝ 1 ， x4＝ 3 或 x1＝ 2 ， x4＝ 2 ，代入第三個(gè)式子，只有 x1＝ 1 ， x2＝ 1 ， x3＝ 3 ， x4＝ 3 滿足條件，所以四個(gè)數(shù)分別是 1 ， 1 ， 3 ， 3. [ 答案 ] ( 1 ) 1 ， 1 ， 3 ， 3 ( 2 ) A 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 51講 用樣本估計(jì)總體 ( 2) 本題主要考查樣本的數(shù)字特征．屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查． x 甲 ＝ 7 ， s2甲 ＝15[(6 － 7)2＋ (7 － 7)2＋ (7 － 7)2＋ (8 － 7)2＋ ( 7－ 7)2] ＝25， x 乙 ＝ 7 ， s2乙 ＝15[(6 － 7)2＋ (7 － 7)2＋ (6 － 7)2＋ (7 － 7)2＋ (9－ 7)2] ＝65. 兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個(gè)為 s2甲 ， s2甲 ＝25. 易錯(cuò)究源 17 頻率分布直方圖中概念不清致誤 返回目錄 多元提能力 第 51講 用樣本估計(jì)總體 例 [ 2020 廣東卷改編 ] 某校 100 名學(xué)生期中考試語(yǔ)文成績(jī)的頻率分布直方圖如圖 9 － 51 － 6 所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：[ 50 ， 60) ， [ 60 ， 70) ， [ 70 ， 80) ， [ 80 ， 90 ) ， [ 90 ， 1 00] ，那么圖中a 的值等于 ( ) A ． B ． C ． D ． 返回目錄 多元提能力 第 51講 用樣本估計(jì)總體 [ 錯(cuò)因 ] 沒有弄清頻率分布直方圖中的概念，錯(cuò)把縱坐標(biāo)當(dāng)成頻率了． 錯(cuò)解 A 由頻率分布直方圖可知 0. 04 ＋ 0. 03 ＋ 0. 0 2 ＋2 a ＝ 1. 所以 a ＝ 0. 05 . 故選 A. 返回目錄 多元提能力 第 51講 用樣本估計(jì)總體 [ 正解 ] C 由頻率分布直方圖可知， ( ＋ 3 ＋ ＋ 2 a ) 10 ＝ 1. 所以 a ＝ . 故選 C. 返回目錄 多元提能力 第 51講 用樣本估計(jì)總體 自我檢評(píng) (1) [ 2020 山東卷 ] 如圖 9 － 51 － 7 是根據(jù)部分城市某年 6 月份的平均氣溫 ( 單位： ℃ ) 數(shù)據(jù)得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的范圍是 [ ， ] ，樣本數(shù)據(jù)的分組為[ ， ) ， [ ， ) ， [ ， ) ， [ ， ) ， [ ，) ， [ ， ] ．已知樣本中平均氣溫低于 ℃ 的城市個(gè)數(shù)為 11 ，則樣本中平均氣溫不低于 25. 5 ℃ 的城市個(gè)數(shù)為________ ． 返回目錄 多元提能力 第 51講 用樣本估計(jì)總體 ( 2) 有一個(gè)容量為 200 的樣本，其頻率分布直方圖如圖9 － 51 － 8 所示，根據(jù)樣本的頻率分 布直方圖估計(jì)，樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間 [ 10 ， 12) 內(nèi)的頻數(shù)為 ( ) A ． 18 B ． 36 C ． 54 D ． 7 2 返回目錄 多元提能力 第 51講 用樣本估計(jì)總體 [ 解析 ] ( 1) 本題考查頻率分布直方圖及樣本估計(jì)總體的知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力，容易題． 樣本容量＝111 （ ＋ ）＝ 50 ，樣本中平均氣 溫不低于 ℃ 的城市個(gè)數(shù)為 50 1 ＝ 9. ( 2) 樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間 [ 10 ， 12) 內(nèi)的頻率為 1 － ( ＋ ＋ 5 ＋ ) 2 ＝ ，則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間 [ 10 ， 12) 內(nèi)的頻數(shù)為 200 ＝ 36. [ 答案 ] ( 1 ) 9 ( 2 ) B 返回目錄 教師備用題 第 51講 用樣本估計(jì)總體 備選理由 例 1 、例 2 均為統(tǒng)計(jì)在實(shí)際中的應(yīng)用． 返回目錄 教師備用題 第 51講 用樣本估計(jì)總體 例 1 某市 2020 年 4 月 1 日 — 4 月 30 日對(duì)空氣污染指數(shù)的監(jiān)測(cè)