【導讀】倒立擺系統(tǒng)是一個典型的多變量、非線性、強耦合和快速運動的高階不穩(wěn)定系統(tǒng)，它是檢驗各種新的控制理論和方法有效性的典型理想模型。在其控制過程中，能有效。地反映諸如鎮(zhèn)定性、魯棒性、隨動性以及跟蹤等許多關鍵問題。本文主要研究二級倒。狀態(tài)反饋控制矩陣。最后，用MATLAB進行了系統(tǒng)仿真。在幾次湊試Q矩陣值后系。統(tǒng)的響應結果都不盡如人意，于是采用遺傳算法對Q矩陣優(yōu)化。過遺傳算法優(yōu)系統(tǒng)響應能更加滿足設計要求。

　　

【正文】 就意味著對 X的要求較嚴 。R是對控制量 u的平方的加權，當 R相對較大，意味著控制費用增高，使得控制能量較小，反饋減弱，當 R相對很小時，控制費用較低，反饋增強，系統(tǒng)動態(tài)響應迅速。 對于二級倒立擺系統(tǒng)，二次型性能指標應能使其在調(diào)節(jié)過程中不偏離倒立擺的控制區(qū)域且盡可能在系統(tǒng)的線性范圍內(nèi)，根據(jù)前面對二級倒立擺運動分析， 在考慮倒立擺系統(tǒng)的各個狀態(tài)時，上擺偏角 2? 應比下擺的偏角 1? 重要，下擺的偏 角 1? 應比小車的位移 x重要，因此要在選擇加權矩陣 Q和 R時反映這些要求。 大連海洋 大學畢業(yè)設計（論文） 第 22 頁 第 4 章 遺傳算法 遺傳算法 (Geic Algorithms，簡稱 GA)是一種基于生物界中的自然選擇原理和自然遺傳機制的隨機搜索算法 [18]。它模擬了生物界中的生命進化機制，并用在人工系統(tǒng)中實現(xiàn)特定目標的優(yōu)化。這是一種在思想和方法上別開生面的全新優(yōu)化 搜索算法。傳統(tǒng)的優(yōu)化搜索算法往往要求所求的函數(shù)具有連續(xù)、可微的性質(zhì)， 有要求搜索空間及噪聲相對較小的限制。 而遺傳算法不受問題性質(zhì)的限制，可以在巨大的空間上實行概率性搜索，能在搜索的過程中自動獲取和積累有關搜索空間的指示，并自適應地控制搜索過程，以求得最優(yōu)解或較優(yōu)解。遺傳算法的這種特點使得它能夠處理許多復雜問題，具有廣泛的適用性和魯捧性。在自動控制、組合優(yōu)化、模式識別、機器學習、人工生命、管理決策等許多領域都得到了廣泛 的應用 [19,20]。 近年來，自動控制己成為遺傳算法最活躍的研究領域之一，包括 PID控制、最 優(yōu)控制、自適應、魯棒控制、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡控制及系統(tǒng)辨識等許多分支 [21,22]。越來越多的研究人員開 始研究用遺傳算法及其改進算法解決控制領域中的難題。在科技高速發(fā)展的今天，對大規(guī)模的、復雜的、不確定性的系統(tǒng)進行有效控制的要求在不斷提高，如何準確方便地優(yōu)化各種控制方法中控制器的結構和參數(shù)己成 為迫切需要解決的問題。盡管遺傳算法經(jīng)過幾十年的理論及應用研究已獲得了大 量的成果，但其理論基礎仍較薄弱，一些參數(shù)的選取還要依靠實驗經(jīng)驗的積累。因此，對遺傳算法本身及其解決控制問題的能力的深入研究具有重要的現(xiàn)實意義。 遺傳算法的基本理論 遺傳算法最早是由美國 Michigan大學的 John Holland和他的同事及學 生提出的。它將“適者生存”的理論引入到搜索過程中，實現(xiàn)編碼串之間有組織但又隨機的 信息交換。其基本思想是模仿生物界中基因的復制、交叉和變異的行為，以獲得離散搜索或者參數(shù)尋優(yōu)的結果。生物個體的所有信息都包含在基因中，種群經(jīng)過一代代的進化，優(yōu)勝劣汰。不適應環(huán)境的基因被淘汰，具有競爭力的個體則生存 下來并得以繁衍后代。如果把待定的參數(shù)與生物個體進行對應，就能比較容易地 理解遺傳算法的基本原理了。待定參數(shù)決定了系統(tǒng)的性能，參數(shù)尋優(yōu)的目的就是 要獲得使系統(tǒng)性能最佳的一組 大連海洋 大學畢業(yè)設計（論文） 第 23 頁 參數(shù)。把一組參數(shù)下系統(tǒng)的性能指標函數(shù)看成是這組參數(shù)對環(huán)境 的適應能力，性能指標好的個體具有強的生存能力并遺傳給后代， 指標差的個體的生存能力較弱。這樣，經(jīng)過很多代的進化，最后存活的個體必定 是最適應環(huán)境的，其生存能力最強。遺傳算法的主要特點是群體搜索策略和群體 中個體之間的信息交換，搜索不依賴梯度信息，也不需要求解函數(shù)可微，只需要該函數(shù)在約束條件下可解，因此該方法尤為適用于處理傳統(tǒng)方法難以解決的復雜 和非線性問題。 基本遺傳算法 基本遺傳算法 (Standard Geic Algorithms， 簡稱 SGA)是 Goldberg總結出的一 種最基本的遺傳算法，其工作 流程和結構形式是 Goldberg在天然氣管道控制優(yōu)化應用中首先提出的。它只使用選擇算子、交叉算子和變異算子這三種基本的遺傳算子，其遺傳進化操作簡單，容易理解，是其它一些遺傳算法的雛形和基礎，也是研究各種遺傳算法性能和優(yōu)缺點的對象。在實際應用中，可結合具體領域知識和問題特征對 SGA進行改進，增強 SGA的功能和解決問題的能力，以形成各式各樣 的具體的 GA。 遺傳算法的出發(fā)點是一個簡單的群體模型，該模型滿足以下假設 [23]： (1)染色體由一固定長度的字符串組成，其中的每一位有有限數(shù)目的等位基因。 (2)群體由有限 數(shù)目的基因型個體組成。 (3)每一個基因型個體有一相應的適應度，表示該個體的生存與復制能力。適應度為大于零的實數(shù)，適應度越大表示生存能力越強?；具z傳算法的特點是采用輪盤賭選擇方法 (適應度比例法 )，單點交叉，位點變異，群體中允許有相同的個體存在。遺傳算法的實現(xiàn)是一個迭代過程，它以編 碼空間代替問題空間，以適應度函數(shù)為評價依據(jù)，以群體為進化基礎，以對群體中個體的位串的遺傳操作實現(xiàn)選擇和遺傳機制，通過隨機重組位串中的重要基因，使群體不斷進化，最終達到求解目的。 基本遺傳算法的局限性 基本遺傳算法采 用二進制編碼．二進制編碼優(yōu)點很多，簡單、易于實現(xiàn)，符合最小字符集編碼原則，有較強的通用性，但它不反映所求問題的結構特征，無法利用具體領域的特定知識，遺傳算子可選擇的操作方式有限，精度也不太高。選擇采用輪盤賭方法，當群體適應度差異非常大時，最佳個體的生存機會顯著增高，較差個體的生 大連海洋 大學畢業(yè)設計（論文） 第 24 頁 存機會被剝奪，使最佳個體很快充滿整個群體。遺傳算法也較早地喪失了進化能力。根據(jù)模式定理，即使基本 GAs 搜索到最優(yōu)解，但在交叉和變異算子的作用下仍然可能在生成下一代群體的過程中丟失，當前群體中最優(yōu)解被破壞的概率與群體規(guī)模和迭代次數(shù)成反比 。文獻 [24]證明了在交叉概率 Pc∈ (O， 1)，變異概率 Pm∈ (0， 1)，且采用輪盤賭方法的基本遺傳算法是不能收斂到全局最優(yōu)解的。另外，針對不同問題，僅采用單點交叉和基本位變異的方法是遠遠不夠的，其中交叉是遺傳算法生成新群體，帶動群體進化的主要方法，是遺傳算法的核心，變異是維持群體多樣性，突破局部極值的重要手段，兩算子的操作方式對整個 GA的影響捆當大，應根據(jù)具體問題選擇設計適當?shù)牟僮鞣绞健?SGA 采用固定的控制參數(shù)，在處理復雜問題時，很難同時兼顧搜索范圍廣和搜索速率快的矛盾，容易陷入局部極值或使搜索時間增長，Grefenstette[25]采用一組測試函數(shù)進行了大量的實驗，試圖發(fā)現(xiàn)一組通用的或具有普適性的最佳參數(shù)，但結果表明。這樣的參數(shù)很難找到，因此，采用固定參數(shù)的 GA 有很多值得改進的地方。 遺傳算法的求解步驟 、初始化 首先要把問題的解表示成為遺傳算法可以接受的格式，即 2 進制或字符串的格式。接著產(chǎn)生初解群，即串或個體的集合。這個初始的群體也就是問題假設解的集合，也稱為初始群體。 通常以隨機方法產(chǎn)生初始群體。問題的最優(yōu)解將通過這些初始假設解進化而求出。 這是從群體中選擇出較適應環(huán)境的個 體。這些選中的個體用于繁殖下一代。故有時也稱這一操作為再生 (Reproduction)。由于在選擇用于繁殖下一代的個體時，是根據(jù)個體對環(huán)境的適應度而決定其繁殖量的，故也稱為非均勻再生 (Differential Reproduction)。適應度準則體現(xiàn)了適者生存，不適應者淘汰的自然法則。 給出目標函數(shù) f，則 f(a)稱為個體 a 的適應度。適應度較高的個體，繁殖下一代的數(shù)目較多。適應度較小的個體，繁殖下一代的數(shù)目較少，甚至被淘汰。這樣，就產(chǎn)生了對環(huán)境適應能力較強的后代。對于問題求解角度來講，就是選擇出和最優(yōu)解較接 大連海洋 大學畢業(yè)設計（論文） 第 25 頁 近的中間解。 對于選中用于繁殖下一代的個體，隨機地選擇兩個個體的相同位置，在選中的位置實行交換。這個過程反映了隨機信息交換，目的在于產(chǎn)生新的基因組合，也即產(chǎn)生新的個體。交叉時，可實行單點交叉或多點交叉。 例如有個體： S1=100101 S2=010111，選擇它們的左邊 3 位進行單點交叉操作，則有 39。1S =010101 39。2S =100111 異 根據(jù)生物遺傳中基因變異的原理，對某些個體的某些位執(zhí)行變異。在變異時，對執(zhí)行變異的串的對應位求反，即把 1 變?yōu)?0，把 0 變?yōu)?1。 例如有個體 ： S=101011，對其第 1， 4 位置的基因進行變異，則有 39。S =001111。 單靠變異不能在求解中得到好處。但是，它能保證算法過程不會產(chǎn)生無法進化的單一群體。因為所有個體都一樣時，交叉無法產(chǎn)生新的個體，這時只能靠變異產(chǎn)生新的個體。也就是說，變異增加了全局優(yōu)化的特質(zhì)。 當最優(yōu)個體的適應度達到給定的閥值，或者 最優(yōu)個體的適應度和群體適應度不再上升時，則算法的迭代過程收斂、算法結束。否則，用經(jīng)過選擇、交叉、變異所得到的新一代群體取代上一代群體，并返回到第 2 步即選擇操作處繼續(xù)循環(huán)執(zhí)行。 遺傳算法的求解流程如圖 所示： 遺傳算法的特點 遺傳算法具有以下幾個特點 ，而不是從單個解開始。這是遺傳算法與傳統(tǒng)優(yōu)化算法的極大區(qū)別。傳統(tǒng)優(yōu)化算法是從單個初始值開始迭代求最優(yōu)解的，容易誤入局部最優(yōu)解。遺傳算法從初始群體開始搜索，覆蓋面大，利于全局擇優(yōu)。 信息極少，容易形成通用算法程序。由于遺傳算法使用適應值這一信息進行搜索，并不需要問題導數(shù)等與問題直接相關的信息。遺傳算法只需適應度和串編碼等通用信息，故幾乎可處理任何問題。 大連海洋 大學畢業(yè)設計（論文） 第 26 頁 的容錯能力。遺傳算法的初始群體本身就帶有大量與最優(yōu)解甚遠的信息。通過選擇、交叉、變異操作能迅速排除與最優(yōu)解相差極大的串，這是一個強烈的濾波過程，并且是一個并行濾波機制。故而，遺傳算法有很高的容錯能力。 、交叉和變異都是隨機操作，而不是確定的精確規(guī)則。這說明遺傳算法是采用隨機方法進行最優(yōu)解搜索，選擇體現(xiàn) 了向最優(yōu)解迫近，交叉體現(xiàn)了最優(yōu)解的產(chǎn)生，變異體現(xiàn)了全局最優(yōu)解的覆蓋。 圖 遺傳算法的求解流程 YES NO 生成初始群體 計算適應度 選擇 交叉 變異 滿足終止條件？ 開始 結束 Gen=Gen+1 Gen=0 計算適應度 大連海洋 大學畢業(yè)設計（論文） 第 27 頁 遺傳算法的應用關鍵 遺傳算法在應用中最關鍵的問題有如下 3 個： 這本質(zhì)是問題編碼。一般把問題的各種參數(shù)用二進制編碼，構成子串，然后把子串拼接構成“染色體”串。串長度及編碼形式對算法收斂影響極大。 適應度函數(shù)也稱對象函數(shù)，這是題求解品質(zhì)的測量函數(shù)，往往也稱為問 題的“環(huán)境”。一般可以把問題的模型函數(shù)作為對象函數(shù)，但有時需要另行構造。 遺傳算法自身參數(shù)有 3 個，即群體大小 M、交叉概率 Pc 和變異概率 Pm。群體大小 M 太小時難以求出最優(yōu)解，太大則延長收斂時間，一般情況下專家建議n=20~200。交叉概率 Pc 太小時難以向前搜索，太大則容易破壞高適應度的結構，一般取 Pc=~。變異概率 Pm太小時難以產(chǎn)生新的基因結構，太大使遺傳算法成了單純的隨機搜索，一般取 Pm=~。 遺傳算法優(yōu)化加權陣 采用遺傳算法優(yōu)化加權陣的具 體步驟如下： 。將 Q 矩陣的對角線 6 個元素作為待尋優(yōu)參數(shù)，采用長度為 10 位的二進制編碼串來分別表示這 6 個參數(shù)，然后將這些二進制編碼串連接在一起，組成一個 610 位長的二進制編碼串；取 R =； 。解碼時需先將 810 位長的二進制編碼串切斷為 6 個 10 位長的二進制編碼串，然后分別將它們轉換為對應的十進制整數(shù)代碼； 。在 LQ 最優(yōu)控制中取目標函數(shù) J 為)(PtraceJ ? ，這里 P 為 0)()( ?????? QRKKBKAPPBKA TT 。選擇運算采用比例選擇算子，交叉運算采用單點交叉算子，變 大連海洋 大學畢業(yè)設計（論文） 第 28 頁 異運算采用基本位變異算子； 。設群體大小為 80，最大迭代次數(shù)為 200，交叉概率選為 ，變異概率選為 并隨機產(chǎn)生初始群體； 。在本設計中將適應度取為目標函數(shù)值的倒數(shù)，即 1/fJ? ； ，即采用 隨機采樣的方法選擇個體、通過交叉和變異產(chǎn)生新個體、再計算新個體的目標函數(shù)值 JJ ； (即超過給定的最大代次 )，則結束算法；否則，重復 7。 通過上述算法就確定了使目標函數(shù)值最小加權矩陣 Q 中的待優(yōu)化元素的值，從而確定反饋控制規(guī)律的向量 K 。 大連海洋 大學畢業(yè)設計（論文） 第 29 頁 第 5 章 二級倒立擺 LQR 控制設計及仿真 二級倒立擺控制系統(tǒng)框圖 對二級倒立擺采用 LQR 控制設計，確定系統(tǒng)的狀態(tài)反饋，其 系統(tǒng) 的框圖 如圖 所示。 圖 二級倒立擺控制系統(tǒng)的框圖 輸出 ? ?1 2 3 Ty x x x? ，即小車的位移，一級、二級擺與豎直方向的夾角?？刂破髟O計時，系統(tǒng)輸入為單位階躍輸入。系統(tǒng)運行時，通過控制器的調(diào)節(jié)，小車可以達到指定位置，擺桿可以回到豎直位置。