【導(dǎo)讀】正的偶數(shù)次方（根式）0,,,,412142?乙甲，甲是乙的乙乙甲注意：甲比乙大。),10(·2121nixxxxnxxxinnn，＝＞＋＋＋????當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立＝nxxx????定理成為二項式定理。通項公式第k＋1項為kknknkbaCT???逐項減1；b的指數(shù)：由0n?????項）系數(shù)2nnC最大；，即與首末等距的兩項系數(shù)相等；，即展開式各項系數(shù)之和為2n；

　　

【正文】 )0P(A)1 ( ) ( )P B A P B A? 即： A發(fā)生與否不 影響 B 的概率 ( ) ( )( ) 1 ( )P A B P B AP B P A? ?分 析 ： ( ) ( )1 ( )B P ABPA?? ? P(AB)P(A)P(AB)=P(A)P(B)P(A)P(AB) ? P(AB)=P(A)P(B) ( 4 ) ( ) ( ) 1 ( 0 ( ) 1 )P B A P B A P A? ? ? ? ( ) 1 ( ) ( )P B A P B A P B A? ? ?分 析 ： (5 ) , 。 , 。 , 。 ,A B A B A B A B 四組事件中，若其中一組相互獨立，則其余三組也相互獨立，則其余三組也相互獨立 (6)求“ n 個事件至少有一個發(fā)生時 ”轉(zhuǎn)化為其對立事件“都不發(fā)生” ( ) 1 ( )P A B C P A B C? ? ? ? ? ?1 ( ) ( ) ( )P A P B P C? ? ?獨 立 9．獨立試驗序列 (1)貝努里： n 次試驗中成功 k 次的概率： () k k n knnP k C P q ?? (2)直到第 k 次試驗， A才首次發(fā)生： 1kkP q p??? (3)做 n 次貝努里試驗，直到第 n 次，才成功 k 次： 11k k n knP C p q???? 二、隨機(jī)變量部分 常見隨機(jī)變量的分布表如下： 隨機(jī)變量 EX DX 密度函數(shù) f(x) 離散型 0 – 1 分布 P P( 1 – P ) P{x = k}=Pk(1P) 1k,k=0,1 二項分布 nP nP(1 – P ) knkkn pPCkxP ????? )1(}{ 連續(xù)型 正態(tài)分布 u 2? 22()21()2xuf x e ?????? 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 u = 0 2 1?? 221()2xxe?? ?? 離散型隨機(jī)變量 （ 1）分 布律 24 Pk=P(X=Xk)， k=1， 2， ┅ （ 2）分布律的性質(zhì) (1)有界性： 0≤Pk≤1 ( 2 ) 1kk P ??歸 一 性 ： 應(yīng)用：求待定參數(shù)值，注意求完參數(shù)要驗證 二項分布 （ 1）定義 00{ } ( 1 ) , 0 , 1 , 2 ,( , ) ,1 ) 1 ( 0 1 )2 ) ( ) ( 1 ) [ ( 1 ) ] 1k k n knnnk k n k nnkkX P X k C p p k nX n p X B n pnP X k C P p P p????? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???設(shè) 隨 機(jī) 函 數(shù) 變 量 的 概 率 函 數(shù) 為則 稱 服 從 參 數(shù) 為 和 的 二 項 分 布 ， 記 為 ～ 值 得 注 意 的 是 ：當(dāng) 時 ， 二 項 分 布 化 為 — 分 布 ； （ 2）各參數(shù)的意義 參數(shù) n：試驗次數(shù)為 n 次；參數(shù) P：每次試驗成功的概率 參數(shù) k： n 次試驗中成功 k 次 （ 3） 二項分布產(chǎn)生的背景可以是 n 重貝努利試驗，若用 X 表示 n 重被努力試驗中事件 A發(fā)生的次 數(shù)，則 X 服從參數(shù)為 n,p 的二項分布，其中 p 是一次試驗中事件 A發(fā)生的概率。 應(yīng) 用 概 型 ： 每 次 試 驗 只 有 兩 種 結(jié) 果 A 和 A， ( ) , ( ) 1P A P P A P q? ? ? ?其 中 分布函數(shù) F(X) F(X)=P(X≤x) (1)定義： F(X)在 x處函數(shù)值表示點 X落入?yún)^(qū)間 (?， x]上的概率 ()k kxxF X P?? ?離 散 型 ： (2)公式： P(x1X≤x2)=P(X≤x2)P(X≤x1)=F(x2)F(x1) (3)分布函數(shù)性質(zhì)： 1)值域： 0≤F(X) ≤1 2)極限 性質(zhì) (★★ ) Xk x1 x2 ┅ xk ┅ Pk P1 P2 ┅ Pk ┅ 25 ( ) lim ( ) 0xF F x? ???? ? ?， ( ) lim ( ) 1xF F x? ???? ? ? 應(yīng)用：求參數(shù)值 3)單調(diào)性：單調(diào)不減 (單調(diào)增 ) 即若 x1x2，有 F(x1) ≤F(x2) 4)F(x)右連續(xù) l im ( ) ( ) ( 0 )ux F u F x F x?? ? ? ?即 注意：前四個性質(zhì)，用來判斷函數(shù)是否為分布函數(shù) 5)P(X=x)=F(x)F(x0) 6)對于 x1x2，有 P(x1X≤x2)=F(x2)F(x1) 7)對 x1 x2， F(x)在 x1， x2 處連續(xù) P(x1≤X≤x2)=P(x1X≤x2)=P(x1Xx2)=P(x1≤Xx2)=F(x2)F(x1) 連續(xù)型隨機(jī)變量 密度函數(shù) f(x)的性質(zhì) (1)非負(fù)性： f(x) ≥0 ( 2 ) : ( ) 1f x d x???? ??歸 一 性 ，即 f(x)與 x軸所圍面積為 1 應(yīng)用：求待定參數(shù)值 注意：前兩個性質(zhì)用來判斷函數(shù)是否為密度函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn) (3)對于 x1x2 有 P(x1X≤x2)=P(x1≤X≤x2)=P(x1≤Xx2)=P(x1Xx2) 21 21( ) ( ) ( )xx f x d x F x F x? ? ?? 正態(tài)分 布 X~N(?， ?2) (1)正態(tài)分布密度函數(shù) 22()221()2( , ) , 0xf x eN????? ? ?????記 作 :X 其 中 (2)f(x)圖像特點 26 a) 密度函數(shù)的曲線關(guān)于 x = μ對稱， μ是正態(tài)分布的位置參數(shù) b) 它在 x = μ時取到最大值 P(μ) = ????? ?? 212 1 2越大，密度函數(shù)的取值越??； σ越小，其值越大，由于密度函數(shù)曲線與 x軸之間的面積總是 1，所以 σ越大表明密度函數(shù)的曲線越矮越胖，而 σ越小，密度函數(shù)的曲線越瘦高。 c) x離 μ越遠(yuǎn)， P(x)的值越小 ，表明對于同樣長度的區(qū)間，區(qū)間離 μ越遠(yuǎn)， X落在這個區(qū)間上的概率越小。 d) 121)( 2 22 )(2 ?? ??????????? dxedxxpx ????，這一條性質(zhì)非常有用，應(yīng)好好掌握 。 e) P(X≤?)=P(X≥?) 1 ()2 F ??? f) 期望 EX=? 一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化（非常重要） 2( , ) , ( 0 , 1 )XX N N??? ??則 密度函數(shù) f(x)為偶函數(shù)的重要結(jié)論 0 1( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) 2F P X P X f x d x??? ? ? ? ? ?? (2)F(a)=1F(a) (3)P(|X|a)=2F(a)1 (a0) 分析： P(|X|a)=P(aXa)=F(a)F(a)=2F(a)1 (4)P(|X|a)=1P(|X|a)=2(1F(a)) (5)若 EX存在，則 EX=0 a a F(a) 1F(a) ? 27 數(shù)學(xué)期望有以下重要性質(zhì)： (1) 若 C 為常數(shù)，則 E(C) = C. (2) 若 X 為一個隨機(jī)變量， C 為常數(shù)，則 E(CX) = CE(X). (3) 若 X 為一個隨機(jī)變量， C 和 k 為常數(shù)，則 E(kx + C) = kE(x) + C. (4) 若 X,Y 是兩個隨機(jī)變量，則有 E(X + Y) = E(X) + E(Y) 有性質(zhì) (2)和性質(zhì) (4)，我們可以得到以下結(jié)論：若 X1,X2? Xk 為 k 個隨機(jī)變量，C1,C2,…C k為常數(shù)，則 .)()( 11 ?? ?? ? Ki iiKi ii XECXCE (5) 設(shè) Y 是隨機(jī)變量 X的函數(shù)： Y= g(X),其中 g是連續(xù)函數(shù)，則關(guān)于隨機(jī)變量 Y 的數(shù)學(xué)期望，有以下結(jié)論 11( ) ( ) , 1 , 2 , ,( ) ( ) [ ( ) ] ( ) .( ) ( ) , ( ) ( )( ) [ ( ) ] ( ) ( ) .kkk k k kkki X p P X x kg x p E Y E g X g x Pi i X p x g x p x dxE Y E g X g x p x dx????? ? ????????????????若 是 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 ， 它 的 概 率 分 布 為 如 果絕 對 收 斂 ， 則 有若 是 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 ， 它 的 概 率 密 度 函 數(shù) 如 果 ，絕 對 收 斂 則 有 方差及性質(zhì) (1) 若 C 為常數(shù)，則 D(C) = 0,即常量的方差等于零。 (2) 若 k 為常數(shù)， X 為一個隨機(jī)變量，則 D(kX) = k2D(X). (3) 若 C 為常數(shù)， X 為 一個隨機(jī)變量，則 D(X+C) = D(X). (4) 若 k 和 C 為常數(shù)， X 為隨機(jī)變量，則 D(kX + C) = k2D(X). 1標(biāo)準(zhǔn)差 具有相同的量綱。標(biāo)準(zhǔn)差與 的或簡記為的標(biāo)準(zhǔn)差，記為稱為方差的非負(fù)平方根 X XxXXD ???)( 數(shù)學(xué)期望 EX 方差 DX EC=C （ C為常數(shù)） DC=0 E( kX) = kEX D( kx ) = k2DX E( X+C) = EX+C D( X+C) = DX 28 E(X177。 Y) = EX177。 EY ()D X Y D X D Y??獨 立 EYEXXYE ??)( （獨立） DX = EX2(EX)2 （重要） 科 目 結(jié)論 初 數(shù) （ 1） n個正數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值相等時，則這 n 個正數(shù)相等，且等于算術(shù)平均值。 （ 2）奇數(shù)次方程在定義域內(nèi)至少有一個實數(shù)根。 微積分 （ 1）連續(xù)函數(shù)必定有原函數(shù) （注意：不一定有極值?。。? （ 2） 奇（偶）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)必定為偶（奇）函數(shù) （ 3）奇函數(shù)的原函數(shù)必定為偶函數(shù) （ 4）周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)必定是周期函數(shù)，最小正周期不變 線 代 （ 1） 對于 AX＝ 0，當(dāng) mn時，必定有無窮多解（非零解） （ 2） 對于 AX＝ β ,當(dāng) mn時，必定沒有唯一解 （ 3） 零向量必定與任何向量線性相關(guān) （ 4） 若兩個線性無關(guān)的向量組互相等價，則它們包含的向量的個數(shù)必定相等 （ 5）數(shù)量矩陣可以與任何矩陣相交換 概 率 （ 1） 空集 Ф 必定與任何事件既相互獨立也互斥 （ 2） A、 B不為 Ф ,不可能事件 若 A、 B互斥，則 A、 B必定不互相獨立 若 A、 B獨立，則 A、 B必定相容 （ 3）離散型隨機(jī)變量中只有幾何分布不具有記憶性， 連續(xù)型隨機(jī)變量中只有指數(shù)分布不具有記憶性 （ 4）概率中的必考分部公式：正態(tài)分布 報名參加泰祺 MBA輔導(dǎo)班，讓您的備考之路不在孤單！ 29