【正文】 ????????? 00 01A取 ????????? 00 02B ????????? 00 02AB r（ AB） =r（ A） =1 （ 7） A中任意兩行成比例???????r（ A） =1 11A=00?????? （ 8） A=B??????? r（ A） =r（ B） （ 9） A=0?????? r（ A） =0 （ 10） ( ) ( ) ( 0)r A r kA k?? （ 11） A B 0 ( ) ( )m n n p A B r A r B n? ? ? ?若 是 階 矩 陣 ， 是 階 矩 陣 ， 當(dāng) 時 ， ＋ 重點掌握以下矩陣可逆性的判斷： | | 0()(),0,n A Ar A nAn B A B B A EAXAX???????? ? ???階 方 陣 可 逆的 行 列 向 量 組 線 性 無 關(guān)存 在 階 方 陣 有 （ 可 逆 矩 陣 的 定 義 ）齊 次 方 程 組 只 有 零 解對 于 任 意 的 非 齊 次 方 程 組 總 有 唯 一 解 AA B C C???方 陣 的 特 征 值 全 不 為 零( 可 逆 ） 設(shè) A為 n階矩陣，有以下等價命題 a) r（ A） =n （滿秩矩陣） b) A可逆 c) |A|≠ 0 d) AT 可逆 e) r（ A*） =n f) A* 可逆 g) A的 n個列（行）向量線性無關(guān)，即 A列（行）滿秩 h) AX=0只有零解 i) AX=β有唯一解 二、向量組 線性相關(guān)性基本定義 18 .02211 ??????? mm ?????? .0)1( 21 使上式成立，則其相關(guān)，的存在不全為 m??? ??? ..0)2( 21 無關(guān)使上式成立，則其線性當(dāng)且僅當(dāng) ??????? m??? 常見相關(guān)性歸納 01 ??? 線性相關(guān)能推出）單個向量（ ( 2 ) ? ? ? ?兩 個 向 量 、 線 性 相 關(guān) 與 、 成 比 例 的 關(guān) 系 （ 3）包含 0 向量的任何向量組，線性相關(guān) . ? ?1 2 1( 4 ) 2mmm? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?， ， 線 性 相 關(guān) 中 有 一 個 向 量 可 由 其 余 向 量 線 性 表 示 1m( 5 ) ( m 2 ) .?? ? 線 性 無 關(guān) 任 何 一 個 向 量 都 不 能 由 其 余 向 量 線 性 表 示n1 2 m3 R ,mn? ? ? ? ? ?、 ， ， 即 向 量 組 的 個 數(shù) 個 維 數(shù) (1) mn 時，則其線性相關(guān) . .0|A|).,(An( 2 ) m 21nn 判斷相關(guān)性根據(jù)時，令 ??? ? n??? ? 三、線性方程組 （一）關(guān)于方程組解的性質(zhì) ? ?? ?? ?1 2 1 1 2 21 1 2 2 1 1 2 211 2 1 1 2 21 1 2 2 1 1 2 21211 , 0 0:021 ) 1 ,:2)k k kk k k kkk k kk k k kkAX AXA A A AAXAXA A A A? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??、 若 為 的 解 , 則 為 的 解分 析、 若 為 的 解當(dāng) 時 為 的 解分 析當(dāng) 2 1 1 2 20 , 0k k k AX? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?時 為 的 解 ? ?1 2 1 2 1 21230: , , 00A X A Xx x A X A x x A x A xx x A X?? ? ???? ? ? ? ??、 任 何 兩 個 解 之 差 為 的 解分 析 若 為 的 解即 為 的 解 （二）含有參數(shù)的線性方程組的求解。 1．齊次線性方程組 AX＝ 0 解題提示：對系數(shù)矩陣 A進行初等變換，化成階梯型，然后按兩步進行討論： （ 1）線性方程組 只有零解，即 r(A)＝ n； 19 （ 2）線性方程組有非零解，即 r(A)n，并將非零解求出來。 2．非齊次線性方程組 AX＝ β 解題提示：對增廣矩陣 A 進行初等變換，化成階梯型，然后按兩步進行討論： （ 1）線性方程組無解，即 ( ) ( )r A r A? ； （ 1）線性方程組有唯一解，即 ( ) ( )r A r A n??； （ 2）線性方程組有無窮多解，即 ( ) ( )r A r A n??，并將解求出來。 如果有一組向量 12, , , ,s? ? ? ?，則 ? 是否可以由 12, , , s? ? ? 線性表示，可以轉(zhuǎn)化為非齊次線性方程組 1 1 2 2 ssx x x? ? ? ?? ? ? ?解的情況，若無解，則不能線性表示；若有唯一解，則能夠唯一線性表示；若有無窮多解，則能夠線性表示，且表示方式不唯一。 有關(guān)基礎(chǔ)解系的問題 解題提示：某一個向量組要是方程組的基礎(chǔ)解系，需要滿足三個條件： （ 1）該向量組中的每個向 量都滿足方程 AX＝ 0； （ 2）該向量組線性無關(guān)； （ 3）該向量組中向量的個數(shù)等于 nr(A)；或方程組的任一解向量都可由該向量組線性表示。 四、特征值和特征向量 ? ? ? ?0 , 2 AA? ? ? ? ??( 一 ) 概 念1. 定 義 : 若 向 量 滿 足 1 與 線 性 相 關(guān) , 稱 為 的 特 征 向 量 ? ?2. :00 , , 0AAA E B A E B X? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?表 達 式令 即 為 的 非 零 解 ? ?3. 0AE?? ? ?特 征 值 ? ?14.0 ...0.niiAEA E X? ? ?????? ? ?求 特 征 向 量先 由 求 出再 求 出 對 應(yīng) 特 征 值 下 的 特 征 向 量對 應(yīng) 的 特 征 向 量 , 即 的 非 零 解 （二）性質(zhì) 屬 于 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量 線 性 無 關(guān) 20 1 , 2 1 1 2 2, k k A? ? ? ? ??來 自 同 一 特 征 值 的 特 征 向 量 其 非 零 組 合 為 的 特 征 向 量 0 , 0??可 為 但 不 能 為 ? ?11nnA tra A? ? ? ???， ? ? ? ?00A ????若 滿 足 fA ， 則 滿 足 f 一個特征值可以對應(yīng)多個特征向量，但一個特征向量只能對應(yīng)一個特征值 ??????矩 陣 的 特 征 值 為 對 應(yīng) 的 特 征 向 量 為 （三）歸納列表如下 矩陣 特征值 特征向量 KA ik? i? Am mi? i? A1 1i? i? A* iA? i? f（ A） ? ?if ? i? AT i? 無法確定是否相同 （（ 五五 ）） 概概 率率 論論 部部 分分 一、隨機事件部分 (1)包含 A?B 21 AB?結(jié) 論 ： 　 　 ( ) ( )P A P B?　 A B A B B A B A A B? ? ? ? ?　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 (2)相等 A=B(兩個事件 A,B 樣本點完全一致 ) : AB?結(jié) 論 　 　 ( ) ( )P A P B?　 A B A C B CAB B A A C B C? ? ? ???? ??????　 　 　 　 　 　 (3) BA?對 立 : A B A B A B A B? ? ? ? ?結(jié) 論 　 　 　 　 　 　 　 (4)互 斥： A?B= 216。 : A B A B B A A B?? ? ? ? ? ?結(jié) 論 　 　 　 　 　 　 　 　 AB?互 斥 　 　 ABAB ???? ? ?對 立 　 　1nii A???? ????兩 兩 互 斥完 備 事 件 組 (1)和 (并 )： A+B=A?B ( 2 ) A B A A B A B? ? ? ? ?差 ： (3) A B A B? ? ?積 ： (1)若 A?B，則有 P(A) ≤P(B)和 P(BA)=P(B)P(A) (2)P(AB)=P(AAB)=P(A)P(AB) ()P A B?? ( 3 ) ( ) ( )P A B P A A B? ? ?=P(A)+P(B)P(AB) P(A+B)P(AB)=P(B) ( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C P A B P B C P A C P A B C? ? ? ? ? ? ? ? ? (5) ( ) 1 ( )P A P A?? 22 ()( ) ( ( ) 0 )()P A BP A B P BPB??， P(A|B)實質(zhì)為事件 A的概率 ( ) 1 ( )P A B P A B?? 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )P A A B P A B P A B P A A B? ? ? ? 1 2 1 1 2( ) ( ) ( )P A A B P A B P A A B? ? ? ： P(AB)=P(A) ?P(B|A)=P(B) ?P(A|B) (1 ) ??? 兩 兩 互 斥完 備 事 件 組 并 集 為 全 集 1( 2 ) ( ) ( ) ( )niiiP B P A P B A?? ?全 概 公 式 ： (3)貝葉斯公式： (逆概 )1( ) ( )()( ) ( )iii njjjP A P B AP A BP A P B A?? ? (?) (1)定義： P(AB)=P(A) ?P(B) (2)特殊情況： 與任何事件相互獨立 (A)=0 的事件 A與任事件相 互獨立 ( 3 ) 相 互 獨 立 　 　個 數(shù)　 兩 兩 獨 立 (4)當(dāng) P(A)P(B)0 時 若 A與 B 相互獨立，則 A與 B 必不互斥 (獨立不互斥 ) 若 A與 B 互斥，則 A與 B 必不獨立 (互斥不獨立 ) 注意： 216。 與任事件即互斥也獨立 A與 B 相互獨立的充要條件 (1)定義 P(AB)=P(A)P(B) (2)P(B|A)=P(B) (P(A)0)或 P(A|B)=P(A) (P(B)0)，即： B 的發(fā)生不受 A的影響 23 (3