【正文】 微積分 （ 1）連續(xù)函數(shù)必定有原函數(shù) （注意：不一定有極值?。。? （ 2） 奇（偶）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)必定為偶（奇）函數(shù) （ 3）奇函數(shù)的原函數(shù)必定為偶函數(shù) （ 4）周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)必定是周期函數(shù)，最小正周期不變 線 代 （ 1） 對于 AX＝ 0，當(dāng) mn時(shí)，必定有無窮多解（非零解） （ 2） 對于 AX＝ β ,當(dāng) mn時(shí)，必定沒有唯一解 （ 3） 零向量必定與任何向量線性相關(guān) （ 4） 若兩個(gè)線性無關(guān)的向量組互相等價(jià)，則它們包含的向量的個(gè)數(shù)必定相等 （ 5）數(shù)量矩陣可以與任何矩陣相交換 概 率 （ 1） 空集 Ф 必定與任何事件既相互獨(dú)立也互斥 （ 2） A、 B不為 Ф ,不可能事件 若 A、 B互斥，則 A、 B必定不互相獨(dú)立 若 A、 B獨(dú)立，則 A、 B必定相容 （ 3）離散型隨機(jī)變量中只有幾何分布不具有記憶性， 連續(xù)型隨機(jī)變量中只有指數(shù)分布不具有記憶性 （ 4）概率中的必考分部公式：正態(tài)分布 報(bào)名參加泰祺 MBA輔導(dǎo)班，讓您的備考之路不在孤單！ 29 。 EY ()D X Y D X D Y??獨(dú) 立 EYEXXYE ??)( （獨(dú)立） DX = EX2(EX)2 （重要） 科 目 結(jié)論 初 數(shù) （ 1） n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值相等時(shí)，則這 n 個(gè)正數(shù)相等，且等于算術(shù)平均值。標(biāo)準(zhǔn)差與 的或簡記為的標(biāo)準(zhǔn)差，記為稱為方差的非負(fù)平方根 X XxXXD ???)( 數(shù)學(xué)期望 EX 方差 DX EC=C （ C為常數(shù)） DC=0 E( kX) = kEX D( kx ) = k2DX E( X+C) = EX+C D( X+C) = DX 28 E(X177。 e) P(X≤?)=P(X≥?) 1 ()2 F ??? f) 期望 EX=? 一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化（非常重要） 2( , ) , ( 0 , 1 )XX N N??? ??則 密度函數(shù) f(x)為偶函數(shù)的重要結(jié)論 0 1( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) 2F P X P X f x d x??? ? ? ? ? ?? (2)F(a)=1F(a) (3)P(|X|a)=2F(a)1 (a0) 分析： P(|X|a)=P(aXa)=F(a)F(a)=2F(a)1 (4)P(|X|a)=1P(|X|a)=2(1F(a)) (5)若 EX存在，則 EX=0 a a F(a) 1F(a) ? 27 數(shù)學(xué)期望有以下重要性質(zhì)： (1) 若 C 為常數(shù)，則 E(C) = C. (2) 若 X 為一個(gè)隨機(jī)變量， C 為常數(shù)，則 E(CX) = CE(X). (3) 若 X 為一個(gè)隨機(jī)變量， C 和 k 為常數(shù)，則 E(kx + C) = kE(x) + C. (4) 若 X,Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 E(X + Y) = E(X) + E(Y) 有性質(zhì) (2)和性質(zhì) (4)，我們可以得到以下結(jié)論：若 X1,X2? Xk 為 k 個(gè)隨機(jī)變量，C1,C2,…C k為常數(shù)，則 .)()( 11 ?? ?? ? Ki iiKi ii XECXCE (5) 設(shè) Y 是隨機(jī)變量 X的函數(shù)： Y= g(X),其中 g是連續(xù)函數(shù)，則關(guān)于隨機(jī)變量 Y 的數(shù)學(xué)期望，有以下結(jié)論 11( ) ( ) , 1 , 2 , ,( ) ( ) [ ( ) ] ( ) .( ) ( ) , ( ) ( )( ) [ ( ) ] ( ) ( ) .kkk k k kkki X p P X x kg x p E Y E g X g x Pi i X p x g x p x dxE Y E g X g x p x dx????? ? ????????????????若 是 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 ， 它 的 概 率 分 布 為 如 果絕 對 收 斂 ， 則 有若 是 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 ， 它 的 概 率 密 度 函 數(shù) 如 果 ，絕 對 收 斂 則 有 方差及性質(zhì) (1) 若 C 為常數(shù)，則 D(C) = 0,即常量的方差等于零。 c) x離 μ越遠(yuǎn)， P(x)的值越小 ，表明對于同樣長度的區(qū)間，區(qū)間離 μ越遠(yuǎn)， X落在這個(gè)區(qū)間上的概率越小。 ,A B A B A B A B 四組事件中，若其中一組相互獨(dú)立，則其余三組也相互獨(dú)立，則其余三組也相互獨(dú)立 (6)求“ n 個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生時(shí) ”轉(zhuǎn)化為其對立事件“都不發(fā)生” ( ) 1 ( )P A B C P A B C? ? ? ? ? ?1 ( ) ( ) ( )P A P B P C? ? ?獨(dú) 立 9．獨(dú)立試驗(yàn)序列 (1)貝努里： n 次試驗(yàn)中成功 k 次的概率： () k k n knnP k C P q ?? (2)直到第 k 次試驗(yàn)， A才首次發(fā)生： 1kkP q p??? (3)做 n 次貝努里試驗(yàn)，直到第 n 次，才成功 k 次： 11k k n knP C p q???? 二、隨機(jī)變量部分 常見隨機(jī)變量的分布表如下： 隨機(jī)變量 EX DX 密度函數(shù) f(x) 離散型 0 – 1 分布 P P( 1 – P ) P{x = k}=Pk(1P) 1k,k=0,1 二項(xiàng)分布 nP nP(1 – P ) knkkn pPCkxP ????? )1(}{ 連續(xù)型 正態(tài)分布 u 2? 22()21()2xuf x e ?????? 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 u = 0 2 1?? 221()2xxe?? ?? 離散型隨機(jī)變量 （ 1）分 布律 24 Pk=P(X=Xk)， k=1， 2， ┅ （ 2）分布律的性質(zhì) (1)有界性： 0≤Pk≤1 ( 2 ) 1kk P ??歸 一 性 ： 應(yīng)用：求待定參數(shù)值，注意求完參數(shù)要驗(yàn)證 二項(xiàng)分布 （ 1）定義 00{ } ( 1 ) , 0 , 1 , 2 ,( , ) ,1 ) 1 ( 0 1 )2 ) ( ) ( 1 ) [ ( 1 ) ] 1k k n knnnk k n k nnkkX P X k C p p k nX n p X B n pnP X k C P p P p????? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???設(shè) 隨 機(jī) 函 數(shù) 變 量 的 概 率 函 數(shù) 為則 稱 服 從 參 數(shù) 為 和 的 二 項(xiàng) 分 布 ， 記 為 ～ 值 得 注 意 的 是 ：當(dāng) 時(shí) ， 二 項(xiàng) 分 布 化 為 — 分 布 ； （ 2）各參數(shù)的意義 參數(shù) n：試驗(yàn)次數(shù)為 n 次；參數(shù) P：每次試驗(yàn)成功的概率 參數(shù) k： n 次試驗(yàn)中成功 k 次 （ 3） 二項(xiàng)分布產(chǎn)生的背景可以是 n 重貝努利試驗(yàn)，若用 X 表示 n 重被努力試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次 數(shù)，則 X 服從參數(shù)為 n,p 的二項(xiàng)分布，其中 p 是一次試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的概率。 , 。 : A B A B B A A B?? ? ? ? ? ?結(jié) 論 　 　 　 　 　 　 　 　 AB?互 斥 　 　 ABAB ???? ? ?對 立 　 　1nii A???? ????兩 兩 互 斥完 備 事 件 組 (1)和 (并 )： A+B=A?B ( 2 ) A B A A B A B? ? ? ? ?差 ： (3) A B A B? ? ?積 ： (1)若 A?B，則有 P(A) ≤P(B)和 P(BA)=P(B)P(A) (2)P(AB)=P(AAB)=P(A)P(AB) ()P A B?? ( 3 ) ( ) ( )P A B P A A B? ? ?=P(A)+P(B)P(AB) P(A+B)P(AB)=P(B) ( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C P A B P B C P A C P A B C? ? ? ? ? ? ? ? ? (5) ( ) 1 ( )P A P A?? 22 ()( ) ( ( ) 0 )()P A BP A B P BPB??， P(A|B)實(shí)質(zhì)為事件 A的概率 ( ) 1 ( )P A B P A B?? 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )P A A B P A B P A B P A A B? ? ? ? 1 2 1 1 2( ) ( ) ( )P A A B P A B P A A B? ? ? ： P(AB)=P(A) ?P(B|A)=P(B) ?P(A|B) (1 ) ??? 兩 兩 互 斥完 備 事 件 組 并 集 為 全 集 1( 2 ) ( ) ( ) ( )niiiP B P A P B A?? ?全 概 公 式 ： (3)貝葉斯公式： (逆概 )1( ) ( )()( ) ( )iii njjjP A P B AP A BP A P B A?? ? (?) (1)定義： P(AB)=P(A) ?P(B) (2)特殊情況： 與任何事件相互獨(dú)立 (A)=0 的事件 A與任事件相 互獨(dú)立 ( 3 ) 相 互 獨(dú) 立 　 　個(gè) 數(shù)　 兩 兩 獨(dú) 立 (4)當(dāng) P(A)P(B)0 時(shí) 若 A與 B 相互獨(dú)立，則 A與 B 必不互斥 (獨(dú)立不互斥 ) 若 A與 B 互斥，則 A與 B 必不獨(dú)立 (互斥不獨(dú)立 ) 注意： 216。 有關(guān)基礎(chǔ)解系的問題 解題提示：某一個(gè)向量組要是方程組的基礎(chǔ)解系，需要滿足三個(gè)條件： （ 1）該向量組中的每個(gè)向 量都滿足方程 AX＝ 0； （ 2）該向量組線性無關(guān)； （ 3）該向量組中向量的個(gè)數(shù)等于 nr(A)；或方程組的任一解向量都可由該向量組線性表示。 2．非齊次線性方程組 AX＝ β 解題提示：對增廣矩陣 A 進(jìn)行初等變換，化成階梯型，然后按兩步進(jìn)行討論： （ 1）線性方程組無解，即 ( ) ( )r A r A? ； （ 1）線性方程組有唯一解，即 ( ) ( )r A r A n??； （ 2）線性方程組有無窮多解，即 ( ) ( )r A r A n??，并將解求出來。 重要結(jié)論與公式 ? ?nmm i nArA)1( nm ，）（對于 ?? （ 2） ( ) ( )Tr A r A? 有行 BA)3( ? ?? ① A與 B的行向量相互等價(jià) ② 不改變列向量的線性關(guān)系（一般用初等行變換求矩陣的秩） ③ r（ A） =r（ B） （ 4） ( ) ( ) ( )r A B r A r B? ? ? 類似 |x+y|≤ |x|+|y| P(A+B)≤ P(A)+P(B) P(A+B)=P(A)+P(B)P(A