【文章內(nèi)容簡介】 12 ?????????????????????的大小關(guān)系極大值與極小值無必然最大（?。┲迭c極大（?。┲迭c為局部很小的鄰域內(nèi)研究極值點為局部概念，在存在，則為極值點，且：必要條件（求參數(shù)值））第二充分條件：駐點（導(dǎo)數(shù)兩側(cè)異號）第一充分條件：連續(xù)（圖像（適用于給定了的函數(shù)）嚴(yán)格按照定義判斷。（判別方法：極值點..0)0(39。)0(39。0x0)(39。39。0)(39。321xfxfxfxf邊界 ???????.]ba[ba最低點為最小值上最高點為最大值，數(shù)圖像在開區(qū)間最值為整體概念，即函用題），則此點為最值點（應(yīng)）內(nèi)可能的極值點唯一，在開區(qū)間（求最值點的方法最值點： 1 函數(shù)的切線與法線 切線與法線求法 0 0 0 00 0 0039。( ) ( )1 ()39。( )x y y f x x xx y y x xfx? ? ?? ? ? ?一 般 地 ， 在 處 切 線 方 程 為在 處 法 線 方 程 為 1函數(shù)凹凸性及其判定 （ 1）凹弧 （ a）定義：如果曲線在其任一點切線之上，稱曲線為凹弧 （ b）凹弧的切線斜率隨著 x的增 大而增大，即 f’(x)單調(diào)遞增 （ c）設(shè) f(x)在 (a， b)上二階可導(dǎo)， f(x)為凹弧的充要條件為 f’’(x) ≥0 ?x?(a,b) (2) 凸弧 （ a）定義：若曲線在其任一點切線之下，稱曲線為凸弧 （ b）凸弧的切線斜率隨著 x的增大的而減小，即 f’(x)單調(diào)遞減 （ c）設(shè) f(x)在 (a,b)二階可導(dǎo)， f(x)為凸弧的充要條件為 f’’(x) ≤0 (3) 常見函數(shù)的性質(zhì) f(x) ax(a1) ax(0a1) logax(a1) logax(0a1) f’(x) ax? lna ax?lna 1lnxa? 1lnxa? f’’(x) ax?(lna)2 ax?(lna)2 2 1lnxa? ? 2 1lnxa? ? 13 圖像 性質(zhì) 增，凹 減，凹 增，凸 減，凹 1 拐點及其判定 （ 1）定義：曲線上凸弧與凹弧的分界點稱為拐點。 二階導(dǎo)數(shù)從大于 0 到小于 0，或從小于 0 到大于 0，中間的過渡點稱為拐點。 （ 2） 必要條件： f’’(x)存在且 (x0， f(x0))為拐點，則 f’’(x0)＝ 0 拐 點0( ) 0fx?? ? （ 3）充分條件：若 f’’(x0)＝ 0，且在 x0 的兩側(cè) f’’(x)異號，則 (x0， f(x0))是拐點 三、一元函數(shù)積分學(xué) 不定積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 ( ( ) ) ( )f x dx f x??? ? ??? Cxfdxxf )()( 基本初等函數(shù)的不定積分公式 （ 1） ? ?Cdx0 （ 2） Cxdxx ??? ?? 111 ?? ? （ 1??? ）， ? ? ???? cxdxxcxx dx 21,21 2 　　， ? ??? cxdxx 112 （ 3） Cxdxx ??? ln1 （ 4） Caadxa xx ??? ln ， Cedxe xx ??? （ 5）221 dtxa?? Cax axa ???? ln21 （ 6） 1 1 1[]( ) ( )dx dxa x b x b a a x b x??? ? ? ? ??? （ 7）221 dxxa?? Caxx ???? 22ln () /()( ( ) ) ( ( ) ) 39。( ) ( ( ) ) 39。( )xxx f t dt f x x f x x?? ? ? ? ????3 、 變 限 積 分 求 導(dǎo) 公 式 ：　 　 ＝ － 14 ( ) , ( ) , ( )xbaaf x d x f t d t f x d x? ? ? 聯(lián) 系 與 區(qū) 別 ( 1 ) ( ) ( )f x d x f x? 表 示 的 全 體 原 函 數(shù) ， 它 是 一 族 函 數(shù) ，且 任 兩 個 原 函 數(shù) 相 差 一 個 常 數(shù) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( )xxaaf t d t f t f x d x f t d t C??? ? ?表 示 的 一 個 原 函 數(shù) ， 有 ( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( ) ( )babaf x dx f x x a b F b F afxbf x dx F x F b F aa?? ? ???表 示 一 個 數(shù) 值 ， 其 值 為 的 任 一 個 原 函 數(shù) F 在 從 到 的 增 量并 且 其 值 由 上 下 限 和 決 定 ， 與 用 何 符 號 表 示 無 關(guān)即 奇偶函數(shù)的積分 ? ???????? 為偶函數(shù)為奇函數(shù))(,)(02)(,0)(xfdxxfaxfdxxfaa 四、多元函數(shù) 偏導(dǎo)的定義 設(shè)函數(shù) z = f(x, y)定義 在 P0(x0, y0)點的一個鄰域內(nèi)，若將 y固定在 y0，作為 x的函數(shù) f(x, y0)在 x0 點處的導(dǎo)數(shù) x yxfyxxfx ? ????? ),(),(lim 00000 稱為函數(shù) f(x, y)在 P0(x0, y0)點處對 x的偏導(dǎo)數(shù)，記作 ),(00),(39。0039。 0000 ),(),( yxyxxx xzx yxfzyxf ???? ，或 一般極值 （ 1） 00( , ) ( , )z f x y x y?定 義 ： 設(shè) 在 的 某 鄰 域 內(nèi) 有 定 義 ， 恒 有 0 0 0 , 0 0 0( , ) ( , ) [ ( ) ] ( , ) ( , ) ( )f x y f x y f x y x y z f x y? ? ?則 稱 為 的 極 小 大 值 點 ， 相 應(yīng) 地 。極大值的極小值為 )(),(),( 00 yxfyxf （ 2） 0 0 0 0 0 0( , ) Z ( , ) ( , ) , ( , )xyx y f x y f x y f x y???必 要 條 件 ： 若 為 的 極 值 點 ， 且 存 在 ， 則 ： 15 0 0 0 0000000( , ) 0 , ( , ) 03( , ) 0 ,( , ) ( , )( , ) 0 ,xyxyf x y f x yf x yx y f x yf x y????? ??? ? ??（ ） 駐 點 的 定 義 ：稱 為 的 駐 點 （ 4） 0),(,0),( 0000 ???? yxfyxf yx充分條件：設(shè) ，則不一定若時為極小值點時極為值點，為極值點，且，則若不是極值點，則若則：令0ACB30A0A),(0ACB2),(0ACB1,B),(f ),( ,),(2002002200xy0000?????????????????????????yxyxACyxyxfByxfA xyxx （（ 四四 ）） 線線 性性 代代 數(shù)數(shù) 部部 分分 一、矩陣 矩陣的乘法一般沒有交換律 ， 即 AB BA? ； 常見可交換矩陣： (1) 逆 A1： A?A1=A1?A=E (2) 單位矩陣 E： A?E=E?A=A (3) 數(shù)量矩陣 kE： A?(k?E)=(kE)?A=kA (4) 零陣 0： A?0=0?A=0 (5) 冪： Am?An= An? Am=Am+n (6) 伴隨 A*： A A*= A*A=|A|E (重 要 ) 0 0 ,A B A??????? ?? 或 B=0，當(dāng)且僅當(dāng) A或 B 可逆時才成立；對于 0AB? ，應(yīng)該認(rèn)識到 B 的每一列都是齊次方程組 AX＝ 0 的解，若 0B? ，則齊次方程組有非零解； AB AC B C????????? ，當(dāng)且僅當(dāng) A可逆時，才成立； 2 0A A A E A????? ? ?? ?? 或，當(dāng)且僅當(dāng) A可逆時，有 A＝ E； 當(dāng) A－ E 可逆時，有 A＝ 0； 2 00AA????????? ，僅當(dāng) A為對稱矩陣，即 TAA? 時，命題才成立； 16 注意數(shù)乘矩陣和數(shù)乘行列式的區(qū)別： | | | | | |nkA k A k A??。 列表對比矩陣的逆、轉(zhuǎn)置和伴隨的公式 逆 轉(zhuǎn)置 伴隨 11()AA??? ()TTAA? * * 2( ) | |nA A A?? 1 1 1( ) ( 0)k A k A k? ? ??? ( ) ( )TTkA kA k R?? * 1 *( ) ( )nk A k A k R??? 1 1 1()AB B A? ? ?? ()T T TAB B A? * * *()AB B A? 11| | | |AA??? | | | |TAA? *1| | | | ( 2)nA A n??? 一般 1 1 1()A B A B? ? ?? ? ? ()T T TA B A B? ? ? 一般 * * *()A B A B? ? ? 互換性： 11( ) ( )TTAA??? ， 1 * * 1( ) ( )AA??? ， **( ) ( )TTAA? ， **( ) ( )kkAA? ；即這四種符號（ 1， T， *， k）可以進(jìn)行互換，以簡化運算。 重要結(jié)論與公式 ? ?nmm i nArA)1( nm ，）（對于 ?? （ 2） ( ) ( )Tr A r A? 有行 BA)3( ? ?? ① A與 B的行向量相互等價 ② 不改變列向量的線性關(guān)系（一般用初等行變換求矩陣的秩） ③ r（ A） =r（ B） （ 4） ( ) ( ) ( )r A B r A r B? ? ? 類似 |x+y|≤ |x|+|y| P(A+B)≤ P(A)+P(B) P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)≤ P(A)+P(B) （ 5） ( ) m in( ( ) , ( ) )r AB r A r B? ??? ??? r(B)B)r(A r(A )B)r(A （ 6） B可逆???????r（ AB） =r（ A） B不可逆 ??????? r（ AB） r（ A） 17