【導(dǎo)讀】9．在公比為q且各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若a1=，10．如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AA1=3，點(diǎn)P在棱CC1上，別在函數(shù)y1=3logax，y2=2logax和y3=logax（a＞1）的圖象上，則實(shí)數(shù)a的值為．。12．已知對(duì)于任意的x∈∪，都有x2﹣2（a﹣2）x+a＞0，15．如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在邊AB上，AD=3DB，cosA=，cos∠ACB=，若QF=2FP，求直線l的方程；設(shè)直線AP，BQ的斜率分別為k1，k2，是否存在常數(shù)λ，使得k1=λk2？求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域；若{bn}為等差數(shù)列，對(duì)任意的n∈N*，都有Sn＞Tn．證明：an＞bn；，則稱（A，B）為集合U的一組“互斥子集”．記集合U的所

　　

【正文】 h（ ） = （ 2 ﹣ 1） = ，解得 = （舍）， 綜上所述， m的值為 1． （ 3）由題意知， KOA= +lnx， KOB= ， 考慮函數(shù) y= ，因?yàn)?y′= 在 [1， e]上恒成立， 所以函數(shù) y= 在 [1， e]上單調(diào)增，故 KOB∈ [﹣ 2，﹣ ]， 所以 KOA∈ [ ， e]，即 ≤ +lnx≤ e 在 [1， e]上恒成立， 即 ﹣ x2lnx≤ m≤ x2（ e﹣ lnx）在 [1， e]上恒成立， 設(shè) p（ x） = ﹣ x2lnx，則 p′（ x） =﹣ 2lnx≤ 0 在 [1， e]上恒成立， 所以 p（ x）在 [1， e]上單調(diào)減，所以 m≥ p（ 1） = ， 設(shè) q（ x） =x2（ e﹣ lnx）， 則 q′（ x） =x（ 2e﹣ 1﹣ 2lnx） ≥ x（ 2e﹣ 1﹣ 2lne） ＞ 0 在 [1， e]上恒成立， 所以 q（ x）在 [1， e]上單調(diào)增，所以 m≤ q（ 1） =e， 綜上所述， m的取值范圍為 [ ， e]． 【選做題】本題包括 A、 B、 C、 D 四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評(píng)分 .解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 . 41：幾何證明選講 21．如圖，圓 O 的弦 AB， MN 交于點(diǎn) C，且 A 為弧 MN 的中點(diǎn) ，點(diǎn) D 在弧 BM上，若 ∠ ACN=3∠ ADB，求 ∠ ADB 的度數(shù)． 【考點(diǎn)】 NB：弦切角． 【分析】 連結(jié) AN， DN．利用圓周角定理，結(jié)合 ∠ ACN=3∠ ADB，求 ∠ ADB 的度數(shù)． 【解答】 解：連結(jié) AN， DN． 因?yàn)?A 為弧 MN 的中點(diǎn)，所以 ∠ ANM=∠ ADN． 而 ∠ NAB=∠ NDB， 所以 ∠ ANM+∠ NAB=∠ ADN+∠ NDB， 即 ∠ BCN=∠ ADB． 又因?yàn)?∠ ACN=3∠ ADB， 所以 ∠ ACN+∠ BCN=3∠ ADB+∠ ADB=180176。， 故 ∠ ADB=45176。． 42：矩陣與變換 22．已知矩陣 A= ，若 A = ，求矩陣 A 的特征值． 【考點(diǎn)】 OV：特征值與特征向量的計(jì)算． 【分析】 利用矩陣的乘法，求出 a， d，利用矩陣 A 的特征多項(xiàng)式為 0，求出矩陣 A 的特征值． 【解答】 解：因?yàn)?A = = ， 所以 ，解得 a=2， d=1． 所以矩陣 A 的特征多項(xiàng)式為 f（ λ） = =（ λ﹣ 2）（ λ﹣ 1）﹣ 6=（ λ﹣ 4）（ λ+1）， 令 f（ λ） =0，解得矩陣 A 的特征值為 λ=4或﹣ 1． 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 23．在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) A（ 2， ），點(diǎn) B 在直線 l： ρcosθ+ρsinθ=0（ 0≤ θ≤ 2π）上，當(dāng)線段 AB 最短時(shí)，求點(diǎn) B 的極坐標(biāo)． 【考點(diǎn)】 Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程． 【分析】 點(diǎn) A（ 2， ）的直角坐標(biāo)為（ 0， 2），直線 l 的直角坐標(biāo)方程為 x+y=0． AB最短時(shí)，點(diǎn) B 為直線 x﹣ y+2=0 與直線 l 的交點(diǎn)，求出交點(diǎn)，進(jìn)而得出． 【解答】 解：以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x 軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系， 則點(diǎn) A（ 2， ）的直角坐標(biāo)為（ 0， 2），直線 l 的直角坐標(biāo)方程為 x+y=0． AB 最短時(shí)，點(diǎn) B 為直線 x﹣ y+2=0 與直線 l 的交點(diǎn)， 聯(lián)立 ，得 ，所以點(diǎn) B 的直角坐標(biāo)為（﹣ 1， 1）． 所以點(diǎn) B 的極坐標(biāo)為 ． 45：不等 式選講 24．已知 a， b， c 為正實(shí)數(shù)，且 a3+b3+c3=a2b2c2，求證： a+b+c≥ 3 ． 【考點(diǎn)】 R6：不等式的證明． 【分析】 利用基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明． 【解答】 證明： ∵ a3+b3+c3=a2b2c2， a3+b3+c3≥ 3abc， ∴ a2b2c2≥ 3abc， ∴ abc≥ 3， ∴ a+b+c≥ 3 ≥ 3 ． 當(dāng)且僅當(dāng) a=b=c= 時(shí)，取 “=”． 請(qǐng)考生在 2 23 兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 .[選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 ] 25．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) F（ 1， 0），直 線 x=﹣ 1 與動(dòng)直線 y=n 的交點(diǎn)為 M，線段 MF 的中垂線與動(dòng)直線 y=n 的交點(diǎn)為 P． （ Ⅰ ）求點(diǎn) P 的軌跡 Г 的方程； （ Ⅱ ）過(guò)動(dòng)點(diǎn) M 作曲線 Г 的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A， B，求證： ∠ AMB 的大小為定值． 【考點(diǎn)】 K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【分析】 （ Ⅰ ）連接 PF，運(yùn)用中垂線的性質(zhì)可得 |MP|=|PF|，再由拋物線的定義可得點(diǎn) P 的軌跡方程； （ Ⅱ ）求得 M（﹣ 1， n），過(guò)點(diǎn) M 的切線斜率存在，設(shè)為 k，則切線方程為： y﹣ n=k（ x+1），聯(lián)立拋物線的方程，消去 y，運(yùn)用相切的條件：判別式為 0，再由韋達(dá)定理，結(jié)合兩直線垂直的條件 ：斜率之積為﹣ 1，即可得證． 【解答】 解：（ Ⅰ ）據(jù)題意， MP⊥ 直線 x=﹣ 1， ∴ |MP|為點(diǎn) P 到直線 x=﹣ 1 的距離， 連接 PF， ∵ P 為線段 MF 的中垂線與直線 y=n 的交點(diǎn)， ∴ |MP|=|PF|， ∴ P 點(diǎn)的軌跡是拋物線，焦點(diǎn)為 F（ 1， 0），準(zhǔn)線為直線 x=﹣ 1， ∴ 曲線 Г 的方程為 y2=4x； （ Ⅱ ）證明：據(jù)題意， M（﹣ 1， n），過(guò)點(diǎn) M 的切線斜率存在，設(shè)為 k， 則切線方程為： y﹣ n=k（ x+1）， 聯(lián)立拋物線方程 可得 ky2﹣ 4y+4k+4n=0， 由直線和拋物線相切， 可得 △ =16﹣ 4k（ 4k+4n） =0， 即 k2+kn﹣ 1=0，（ *） ∵△ =n2+4＞ 0， ∴ 方程（ *）存在兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)為 k1， k2， ∵ k1=kAM， k2=kBM， 由方程（ *）可知， kAM?kBM=k1?k2=﹣ 1， ∴ 切線 AM⊥ BM， ∴∠ AMB=90176。，結(jié)論得證． [選修 45：不等式選講 ] 26．已知集合 U={1， 2， … ， n}（ n∈ N*， n≥ 2），對(duì)于集合 U 的兩個(gè)非空子集A， B，若 A∩ B=?，則稱（ A， B）為集合 U 的一組 “互斥子集 ”．記集合 U 的所有 “互斥子集 ”的組數(shù)為 f（ n）（視（ A， B）與（ B， A）為同一組 “互斥子集 ”）． （ 1） 寫出 f（ 2）， f（ 3）， f（ 4）的值； （ 2）求 f（ n）． 【考點(diǎn)】 1H：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算． 【分析】 （ 1）直接由 “互斥子集 ”的概念求得 f（ 2）， f（ 3）， f（ 4）的值； （ 2）由題意，任意一個(gè)元素只能在集合 A， B， C=CU（ A∪ B）之一中，求出這n 個(gè)元素在集合 A， B， C 中的個(gè)數(shù)，再求出 A、 B 分別為空集的種數(shù)，則 f（ n）可求． 【解答】 解：（ 1） f（ 2） =1， f（ 3） =6， f（ 4） =25； （ 2）任意一個(gè)元素只能在集合 A， B， C=CU（ A∪ B）之一中， 則這 n 個(gè)元素在集合 A， B， C 中，共有 3n 種； 其 中 A 為空集的種數(shù)為 2n， B 為空集的種數(shù)為 2n， ∴ A， B 均為非空子集的種數(shù)為 3n﹣ 2n+1+1， 又（ A， B）與（ B， A）為一組 “互斥子集 ”， ∴ f（ n） = ． 2017 年 5 月 24 日