【正文】 即 a=1 或 a=4 時(shí)，方程 x2﹣ 2（ a﹣ 2） x+a＞ 0 的解為 x≠ a﹣ 2， 顯然當(dāng) a=1 時(shí)，不符合題意，當(dāng) a=4 時(shí)，符合題意； （ 3）當(dāng) △＞ 0，即 a＜ 1 或 a＞ 4 時(shí)， ∵ x2﹣ 2（ a﹣ 2） x+a＞ 0 在（﹣ ∞ ， 1） ∪ （ 5，+∞ ）恒成立， ∴ ，解得 3＜ a≤ 5， 又 a＜ 1 或 a＞ 4， ∴ 4＜ a≤ 5． 綜上， a 的范圍是（ 1， 5]． 故答案為（ 1， 5]． 13．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，圓 C：（ x+2） 2+（ y﹣ m） 2=3，若圓 C 存在以 G為中點(diǎn)的弦 AB，且 AB=2GO，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是 ? ． 【考點(diǎn)】 J9：直線與圓的位置關(guān)系． 【分析】 求出 G 的軌跡方程，得兩圓公共弦，由題意，圓心（﹣ 2， m）到直線的距離 d= ＜ ，即可求出實(shí)數(shù) m的取值范圍． 【解答】 解：設(shè) G（ x， y），則 ∵ AB=2GO， ∴ 2 =2 ， 化簡可得 x2+y2+2x﹣ my+ m2+ =0， 兩圓方程相減可得 2x﹣ my+ m2+ =0 由題意，圓心（﹣ 2， m）到直線的距離 d= ＜ ，無解， 故答案為 ?． 14．已知 △ ABC 三個(gè)內(nèi)角 A， B， C 的對應(yīng)邊分別為 α， b， c，且 C= ， c=2．當(dāng)取得最大值時(shí)， 的值為 2+ ． 【考點(diǎn)】 9V：向量在幾何中的應(yīng)用． 【分析】 根據(jù)正弦定理用 A 表示出 b，代入 =2bcosA，根據(jù)三角恒等變換化簡得出當(dāng) 取最大值時(shí) A 的值，再計(jì)算 sinA， sinB 得出答案． 【解答】 解： ∵ C= ， ∴ B= ﹣ A， 由正弦定理得 = ， ∴ b= sin（ ﹣ A） =2cosA+ sinA， ∴ =bccosA=2bcosA=4cos2A+ sin2A =2+2cos2A+ sin2A = （ sin2A+ cos2A） +2 = sin（ 2A+ ） +2， ∵ A+B= ， ∴ 0＜ A＜ ， ∴ 當(dāng) 2A+ = 即 A= 時(shí)， 取得最大值， 此時(shí)， B= ﹣ = ∴ sinA=sin =sin（ ） = ﹣ = ， sinB=sin（ ） = = ． ∴ = =2+ ． 故答案為 2+ ． 二、解答題（本大題共 6小題，共 90分 .解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 .） 15．如圖，在 △ ABC 中，已知點(diǎn) D 在邊 AB 上， AD=3DB， cosA= ， cos∠ ACB= ，BC=13． （ 1）求 cosB 的值； （ 2）求 CD 的長． 【考點(diǎn)】 HT：三角形中的幾何計(jì)算． 【分析】 （ 1）在 △ ABC 中，求出 sinA= = ．， sin∠ ACB= ． 可得 cosB=﹣ cos（ A+∠ ACB） =sinAsin∠ ACB﹣ cosAcosB； （ 2）在 △ ABC 中，由正弦定理得， AB= sin∠ ACB． 在 △ BCD 中，由余弦定理得， CD= ． 【解答】 解：（ 1）在 △ ABC 中， cosA= ， A∈ （ 0， π）， 所以 sinA= = ． 同理可得， sin∠ ACB= ． 所以 cosB=cos[π﹣（ A+∠ ACB） ]=﹣ cos（ A+∠ ACB） =sinAsin∠ ACB﹣ cosAcos∠ ACB = ； （ 2）在 △ ABC 中，由正 弦定理得， AB= sin∠ ACB= ． 又 AD=3DB，所以 DB= ． 在 △ BCD 中，由余弦定理得， CD= = =9 ． 16．如圖，在四棱錐 P﹣ ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，點(diǎn) E 在棱 PC 上（異于點(diǎn) P， C），平面 ABE 與棱 PD 交于點(diǎn) F． （ 1）求證： AB∥ EF； （ 2）若平面 PAD⊥ 平面 ABCD，求證： AE⊥ EF． 【考點(diǎn)】 LZ：平面與平面垂直的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）推導(dǎo)出 AB∥ CD，從而 AB∥ 平面 PDC，由此能證明 AB∥ EF． （ 2）推導(dǎo)出 AB⊥ AD，從而 AB⊥ 平面 PAD，進(jìn)而 AB⊥ AF，由 AB∥ EF，能證明 AF⊥ EF． 【解答】 證明：（ 1）因?yàn)?ABCD 是矩形，所以 AB∥ CD． 又因?yàn)?AB?平面 PDC， CD? 平面 PDC， 所以 AB∥ 平面 PDC． 又因?yàn)?AB?平面 ABEF，平面 ABEF∩ 平面 PDC=EF， 所以 AB∥ EF． （ 2）因?yàn)?ABCD 是矩形，所以 AB⊥ AD． 又因?yàn)槠矫?PAD⊥ 平面 ABCD，平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD， AB? 平面 ABCD，所以 AB⊥ 平面 PAD． 又 AF? 平面 PAD，所以 AB⊥ AF． 又由（ 1）知 AB∥ EF，所以 AF⊥ EF． 17．如圖，在平面直角坐標(biāo) 系 xOy 中，已知橢圓 C： + =1 的左、右頂點(diǎn)分別為 A， B，過右焦點(diǎn) F 的直線 l 與橢圓 C 交于 P， Q 兩點(diǎn)（點(diǎn) P 在 x 軸上方）． （ 1）若 QF=2FP，求直線 l 的方程； （ 2）設(shè)直線 AP， BQ 的斜率分別為 k1， k2，是否存在常數(shù) λ，使得 k1=λk2？若存在，求出 λ 的值；若不存在，請說明理由． 【考點(diǎn)】 KL：直線與橢圓的位置關(guān)系． 【分析】 （ 1）由橢圓方程求出 a， b， c，可得 F 的坐標(biāo)，設(shè) P（ x1， y1）， Q（ x2，y2），直線 l 的方程為 x=my+1，代入橢圓方程，求得 P， Q 的縱坐標(biāo)，再由向量共線的坐標(biāo)表示，可得 m的方程，解方程可得 m，進(jìn)而得到直線 l 的方程； （ 2）運(yùn)用韋達(dá)定理可得 y1+y2， y1y2， my1y2，由 A（﹣ 2， 0）， B（ 2， 0）， P（ x1，y1）， Q（ x2， y2）， x1=my1+1， x2=my2+1， 運(yùn)用直線的斜率公式，化簡整理計(jì)算可得常數(shù) λ 的值，即可判斷存在． 【解答】 解：（ 1）因?yàn)?a2=4， b2=3，所以 c= =1， 所以 F 的坐標(biāo)為（ 1， 0）， 設(shè) P（ x1， y1）， Q（ x2， y2），直線 l 的方程為 x=my+1， 代入橢圓方程 + =1，得（ 4+3m2） y2+6my﹣ 9=0， 則 y1= ， y2= ． 若 QF=2FP，即 =2 ， 則 +2? =0， 解得 m= ， 故直線 l 的方程為 x﹣ 2y﹣ =0． （ 2）由（ 1）知， y1+y2=﹣ ， y1y2=﹣ ， 所以 my1y2=﹣ = （ y1+y2）， 由 A（﹣ 2， 0）， B（ 2， 0）， P（ x1， y1）， Q（ x2， y2）， x1=my1+1， x2=my2+1， 所以 = ? = = = ， 故存在常數(shù) λ= ，使得 k1= k2． 18．某景區(qū)修建一棟復(fù)古建筑，其窗戶設(shè)計(jì)如圖所示．圓 O 的圓心與矩形 ABCD對角線的交點(diǎn)重合，且圓與矩形上下兩邊相切（ E 為上切點(diǎn) ），與左右兩邊相交（ F， G 為其中兩個(gè)交點(diǎn)），圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域．已知圓的半徑為 1m且 ≥ ，設(shè) ∠ EOF=θ，透光區(qū)域的面積為 S． （ 1）求 S 關(guān)于 θ 的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域； （ 2）根據(jù)設(shè)計(jì)要求，透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值越大越好．當(dāng)該比值最大時(shí)，求邊 AB 的長度． 【考點(diǎn)】 HN：在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型．