【正文】 21121111111211211111101)()()()()()()()(0aaaatttttttatttttttttttkxExExExExExEk?????????????????????????????????????????????????????????????????時有當于是其中時有當5/23/2023 109 第四章 時間序列模型的性質(zhì) 1221)1)((01,21111211111011????????????????????kkkkkkkkk???????????????到通過整理計算最后可得得時當5/23/2023 110 第四章 時間序列模型的性質(zhì) ?通過上式可以看出， ARMA(1,1)過程的自相關(guān)函數(shù)具有 AR(1)過程和 MA(1)過程的組合特性。 ?當 k=1時 ， 自相關(guān)系數(shù)有一峰值 ，并且是由φ1和 θ1共同決定。 ?當 k≥2時，自相關(guān)系數(shù)僅取決于 φ1即自回歸部分對應(yīng)的差分方程的根，呈指數(shù)衰減。 5/23/2023 111 第四章 時間序列模型的性質(zhì) (1,1)過程的 PACF ? ARMA(1,1)過程的 PACF和它的 ACF一樣，也是 滯后一階有一峰值 ，一 階以后呈指數(shù)衰減 ，不過指數(shù)衰減的形態(tài)由 φ1和 θ1共同決定，因此指數(shù)衰減的形態(tài)比 MA(1)過程PACF指數(shù)衰減形式更多 5/23/2023 112 第四章 時間序列模型的性質(zhì) 例 1：模擬產(chǎn)生的 250個數(shù)據(jù)的如下 ARMA(1,1)過 程的樣本 ACF和樣本 PACF： 白噪聲為正態(tài)其中即)1,0()()(1111NBxBxxttttttt????????????????5/23/2023 113 第四章 時間序列模型的性質(zhì) 例 ARMA(1,1)過程的樣本 ACF 和樣本 PACF 11??????滯后一階有一峰值 之后呈指數(shù)衰減 滯后一階有一峰值 之后呈指數(shù)衰減 5/23/2023 114 第四章 時間序列模型的性質(zhì) 例 2：模擬產(chǎn)生的 250個數(shù)據(jù)的如下 ARMA(1,1)過 程的樣本 ACF和樣本 PACF： 白噪聲為正態(tài)其中即)1,0())(1())(1()()(1111NaBxBxxttttttt?????????????????????5/23/2023 115 第四章 時間序列模型的性質(zhì) 例 ARMA(1,1)過程的樣本 ACF 和樣本 PACF 11????????指數(shù)拖尾 指數(shù)拖尾 滯后一階有峰值 5/23/2023 116 第四章 時間序列模型的性質(zhì) (1,1)過程的傳遞形式和逆轉(zhuǎn)形式 ?（ 1）傳遞形式和格林函數(shù)： ? xt=φ1(B)θ(B)at ?（ 2）逆轉(zhuǎn)形式和逆函數(shù) ? θ1(B) φ (B) xt =at 5/23/2023 117 第四章 時間序列模型的性質(zhì) 二、 ARMA(p,q)過程的性質(zhì) tqtpqtqttptpttxBxBxxxqpARM A)()(),(1111?????????????????????或模型的一般形式為??無公共因子和為白噪聲序列其中假定)()()3(0),()2()1(:BBstaxEaqpstt????5/23/2023 118 第四章 時間序列模型的性質(zhì) (p,q)的平穩(wěn)性和可逆性 的根必須在單位圓外為滿足平穩(wěn)性的根必須在單位圓外為滿足可逆性模型對于01)(,01)(,),(11??????????pppqqqBBBBBBqpARM A????????5/23/2023 119 第四章 時間序列模型的性質(zhì) ????????????????2212211)()()(:)(:1)()()(:)(:),(BBBBBaBxBBBBBaxBqpARM Apqttqptt????????????其中即均形式表示該過程也可用純移動平其中即式表示過程可以用純自回歸形5/23/2023 120 第四章 時間序列模型的性質(zhì) (p,q)過程的 ACF )()()(),(1111112211112211qtktqtkttktpkpkkqtktqtkttktptktptkttkttktktqtqttptptttaxEaxEaxEaxaxaxxxxxxxxxxaaaxxxxqpARMA???????????????????????????????????????????????????????????????????????對兩邊求期望得乘兩端得用模型的一般形式得由5/23/2023 121 第四章 時間序列模型的性質(zhì) qkqkikaxEstaxEpkpkkpkpkkitktst??????????????????????????????1111:0)(0)(于是可得到所以有即由于5/23/2023 122 第四章 時間序列模型的性質(zhì) 由上推導(dǎo)可以得出結(jié)論： ARMA(p,q)模型的 自相關(guān)函數(shù) 滯后 q階后拖尾。 當 k≤q時，即前 q項自相關(guān)系數(shù) ρq,ρq1…ρ 1取 決于自回歸和移動平均的參數(shù)。 當 k≥q+1時，它僅取決于中自回歸的參數(shù)， 即 φ(B)=0的根，呈指數(shù)衰減或阻尼正弦 波衰減，而與移動平均的參數(shù)無關(guān)。 5/23/2023 123 第四章 時間序列模型的性質(zhì) (p,q)過程的 PACF ARMA(p,q)過程的 PACF的一般形式 比較復(fù)雜，由于它包括 MA過程這個 特例，所以它的 PACF也由 θ(B)=0的 根確定，呈混合指數(shù)衰減或阻尼正弦 波衰減。 5/23/2023 124 第四章 時間序列模型的性質(zhì) 既然 ARMA(p,q)模型的 ACF和 PACF都 呈拖尾形態(tài)，那么我們要通過一個時間 序列的樣本自相關(guān)圖判斷 ARMA模型的 階數(shù)就比較困難。 但是如果通過樣本自相關(guān)圖得到一個時 間序列的 ACF和 PACF都呈拖尾形態(tài)， 那么我們至少能判斷出該過程不是純 AR 或純 MA過程，而是混合 ARMA過程。 至于模型階數(shù)的確定，第六章將作介紹。 5/23/2023 125 第四章 時間序列模型的性質(zhì) 附：非中心化時間序列模型的均值 5/23/2023 126 第四章 時間序列模型的性質(zhì) AR(P)模型的均值 ?如果 AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則有 ?根據(jù)平穩(wěn)序列均值為常數(shù)，且 為白噪聲序列，有 ?推導(dǎo)出 p???????? ?101 )( 110 tptptt xxEEx ???? ????? ?? ?TtEEx tt ???? ,0)(, ??}{t? tptpttxxx ???? ????? ?? ?1105/23/2023 127 第四章 時間序列模型的性質(zhì) MA(q)模型的均值 ?常數(shù)均值 ???????????????? ??? ）（ qtqtttt EEx ?2211qtqttttx ??? ?????? ???????? ?22115/23/2023 128 第四章 時間序列模型的性質(zhì) ARMA(p,q)模型的均值 ptEx ????????101均值為： 5/23/2023 129 第四章 時間序列模型的性質(zhì) 第四節(jié) ARMA 模型的性質(zhì)總結(jié) 5/23/2023 130 第四章 時間序列模型的性質(zhì) 屬性 AR ( p ) M A( q ) AR M A( p , q ) 模型方程 φ ( B ) xt=at Xt= θ ( B ) at φ ( B ) xt= θ ( B ) at 逆轉(zhuǎn)形式（用過去的 xt表示的模型） φ ( B ) xt=at at = θ 1 ( B ) Xt at = θ 1 ( B ) φ ( B ) xt 傳遞形式（用過去的 at表示的的模型） xt = φ 1( B ) at Xt= θ ( B ) at xt = φ 1 ( B ) θ ( B ) at 平穩(wěn)性條件 φ ( B ) = 0 的根均在單位圓外 無條件 φ ( B ) = 0 的根均在單位圓外 可逆性條件 無條件 θ ( B ) =0 的根均在單位 圓外 θ ( B ) =0 的根均在單位圓外 自相關(guān)函數(shù)（ A C F ） 拖尾 滯后 q 階后截尾 拖尾 偏自相關(guān)函數(shù)（ P A C F ） 滯后 p 階后截尾 拖尾 拖尾 5/23/2023 131 第四章 時間序列模型的性質(zhì)