【正文】 可能的預(yù)測(cè)：（1）預(yù)測(cè)表達(dá)式是時(shí)間序列過(guò)去取值的線性組合；（2）具有最小的預(yù)測(cè)方差。1． 問(wèn)題的求解對(duì)于作一平穩(wěn)的時(shí)間序列模型，我們都可以將它轉(zhuǎn)化成移動(dòng)平均過(guò)程： 由于是相互正交的，因而形成平面M的一組正交基。預(yù)測(cè)函數(shù) （2）式意味著可由線性表出，因此可由正交基線性表出： 因而，求解的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求解。而是在平面M上的正投影相對(duì)于平面M的一組正交基的坐標(biāo)，比較容易求解。解之得 這是從幾何角度解決了預(yù)測(cè)的問(wèn)題，還可以從代數(shù)角度上解決，詳見教材P128。： 注：由于該預(yù)測(cè)使得與的均方誤差最小，因而將其稱為最小均方誤差預(yù)測(cè)。綜上所述，的最小均方誤差預(yù)測(cè) 預(yù)測(cè)誤差預(yù)測(cè)誤差為： 方差為： 由（7）式可以看出步線性最小方差預(yù)測(cè)誤差的方差和預(yù)測(cè)步長(zhǎng)有關(guān)，而與預(yù)測(cè)的時(shí)間起點(diǎn)t無(wú)關(guān)，這一點(diǎn)也體現(xiàn)了預(yù)測(cè)的平穩(wěn)性質(zhì)。同時(shí)預(yù)測(cè)的步長(zhǎng)越長(zhǎng)，預(yù)測(cè)誤差的方差也越大，即預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性越差。表 各種預(yù)測(cè)方法及其特點(diǎn)方 法時(shí)間范圍適用情況應(yīng)做工作定性預(yù)測(cè)法短、中、長(zhǎng)期對(duì)缺乏歷史統(tǒng)計(jì)資料或趨勢(shì)面臨轉(zhuǎn)折的事件進(jìn)行預(yù)測(cè)需做大量的調(diào)查研究工作一元線性回歸預(yù)測(cè)法短、中期自變量與因變量?jī)蓚€(gè)變量之間存在著線性關(guān)系為兩個(gè)變量收集歷史數(shù)據(jù)，此項(xiàng)工作是此預(yù)測(cè)中最費(fèi)時(shí)的事情多元線性回歸預(yù)測(cè)法短、中期因變量與兩個(gè)以上的自變量之間存在著線性關(guān)系為所有變量收集歷史數(shù)據(jù)是此項(xiàng)工作是此預(yù)測(cè)中最費(fèi)時(shí)的事情非線性回歸預(yù)測(cè)法短、中期因變量與一個(gè)自變量或多個(gè)其它自變量之間存在著某種非線性關(guān)系必須收集歷史數(shù)據(jù)，并用幾個(gè)非線性模型試驗(yàn)趨勢(shì)外推法中期到長(zhǎng)期當(dāng)被預(yù)測(cè)項(xiàng)目的有關(guān)變量用時(shí)間表示時(shí)，用非線性回歸只需要因變量的歷史資料，但用趨勢(shì)圖作試探時(shí)很費(fèi)時(shí)間分解分析法短期適用于一次性的短期預(yù)測(cè)或在使用其它預(yù)測(cè)方法前消除季節(jié)變動(dòng)的因素只需要序列的歷史資料移動(dòng)平均法短期不帶季節(jié)變動(dòng)的反復(fù)預(yù)測(cè)只需要因變量的歷史資料，但初次選擇權(quán)數(shù)時(shí)很費(fèi)勁指數(shù)平滑法短期具有或不具有季節(jié)變動(dòng)的反復(fù)預(yù)測(cè)只需因變量的歷史資料，是一切反復(fù)預(yù)測(cè)中最簡(jiǎn)單的方法，但建立模型所費(fèi)的時(shí)間與自適應(yīng)過(guò)濾不相上下自適應(yīng)過(guò)濾法短期適用于趨勢(shì)形態(tài)的性質(zhì)隨時(shí)間而變化，而且沒有季節(jié)變動(dòng)的反復(fù)預(yù)測(cè)只需要因變量的歷史資料，但制定并檢查模型規(guī)格很費(fèi)時(shí)間博克斯—詹金斯法短期適用于任何序列的發(fā)展形態(tài)的一種高級(jí)預(yù)測(cè)方法計(jì)算過(guò)程復(fù)雜、繁瑣景氣預(yù)測(cè)法短、中期適用于時(shí)間序列趨勢(shì)延續(xù)及轉(zhuǎn)折預(yù)測(cè)收集大量歷史資料和數(shù)據(jù)并需進(jìn)行大量計(jì)算灰色預(yù)測(cè)法短、中期適用于時(shí)間序列的發(fā)展呈指數(shù)型趨勢(shì)收集對(duì)象的歷史數(shù)據(jù)狀態(tài)空間模型和卡爾漫濾波短、中期適用于各類時(shí)間序列的預(yù)測(cè)收集對(duì)象的歷史數(shù)據(jù)并建立狀態(tài)空間模型2． 實(shí)際中預(yù)測(cè)值的計(jì)算前面從理論得到時(shí)間序列的步最小方差預(yù)測(cè)包含無(wú)窮項(xiàng)求和，而實(shí)際中我們只可能有有限的數(shù)據(jù)，因此，只能用充分多項(xiàng)的有窮和近似，即 因?yàn)楦窳趾瘮?shù)是指數(shù)衰減的，T的取值只要使小于允許的值即可。（8）中的格林函數(shù)可遞推計(jì)算；隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)也可遞推計(jì)算 詳見王振龍：《時(shí)間序列分析》P129。第二節(jié) 條件期望預(yù)測(cè)條件期望預(yù)測(cè)的實(shí)質(zhì)：它是根據(jù)差分方程形式來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)，該算法直接從所建立的模型出發(fā)能夠求出步線性最小方差預(yù)測(cè)的值。1． 條件期望所謂條件期望，是指在一定條件下的期望值。例如，在已知的條件下，的期望值稱為的條件期望，記為：或。它具有如下的性質(zhì)：性質(zhì)1：性質(zhì)2：性質(zhì)3：性質(zhì)1表明：條件期望滿足線性運(yùn)算法則；性質(zhì)2表明：現(xiàn)在或過(guò)去觀察值的條件期望是其本身，未來(lái)取值的條件期望是其預(yù)測(cè)值；性質(zhì)3表明：現(xiàn)在或過(guò)去的殘差的條件期望是它的估計(jì)值，未來(lái)殘差的條件期望則為零。2． 用模型的逆轉(zhuǎn)形式進(jìn)行預(yù)測(cè) 任一ARMA模型可用逆轉(zhuǎn)形式來(lái)表示，即將xt表示為過(guò)去觀測(cè)值的線性組合再加一個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)： 3． 用差分方程形式進(jìn)行預(yù)測(cè)AR（1），MA（1）的預(yù)測(cè)詳見教材P130。下面以ARMA (1, 1) 模型為例具體介紹預(yù)測(cè)方法。其他形式時(shí)間序列模型的預(yù)測(cè)方法與此類似。設(shè)對(duì)時(shí)間序列樣本{xt}, t = 1, 2, …, T，所擬合的模型是 上式中at需要通過(guò)遞推計(jì)算。 即當(dāng) l1時(shí)，預(yù)測(cè)值滿足模型自回歸部分差分方程利用做為初始值，解此差分方程得預(yù)測(cè)值為 ARMA(m,n)模型的預(yù)測(cè) ①一步預(yù)測(cè)(l=1) ②二步預(yù)測(cè)(l=2) ③步預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)其中對(duì)于,?；瑒?dòng)平均部分全部消失，預(yù)測(cè)值滿足自回歸部分的差分方程。結(jié)論：對(duì)一般的ARMA(n,m)模型，自回歸部分決定了預(yù)測(cè)函數(shù)的形式，而滑動(dòng)平均部分用于確定預(yù)測(cè)函數(shù)中的系數(shù)。ARMA(n,m)模型的預(yù)測(cè)區(qū)間 由于，所以的分布完全由所決定 按照原則，%%的預(yù)測(cè)區(qū)間分別為：和 在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，理論上的用 預(yù)測(cè)的穩(wěn)定性格林函數(shù)與預(yù)測(cè)值滿足同樣的關(guān)系式，由第三章的內(nèi)容可知格林函數(shù)描述了系統(tǒng)的記憶性，而預(yù)測(cè)所依賴的正是這種記憶性，因而預(yù)測(cè)值的變化趨勢(shì)與格林函數(shù)的變化是一致的，預(yù)測(cè)的穩(wěn)定性依賴于格林函數(shù)的穩(wěn)定性或系統(tǒng)的穩(wěn)定性。4． 實(shí)例【例45】利用例41所建立的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，詳見教材P13P134。解：（1）實(shí)際計(jì)算，見教材P135；（2）軟件中的預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)和模擬（一）在估計(jì)的單方程基礎(chǔ)上進(jìn)行預(yù)測(cè)；（二）合并成多方程模型進(jìn)行預(yù)測(cè)（solve）；（三）幾種指數(shù)平滑預(yù)測(cè)法。1．單個(gè)估計(jì)方程的預(yù)測(cè)有兩種方法：其一，Dynamic法，利用滯后左手變量以前的預(yù)測(cè)值計(jì)算當(dāng)前樣本區(qū)間的預(yù)測(cè)；其二，Static法，使用的是實(shí)際值而不是預(yù)測(cè)值。NOTE：兩種方法在多步預(yù)測(cè)的第一步給出相同的結(jié)果，當(dāng)方程中不含滯后被解釋變量和ARMA項(xiàng)時(shí)，二者相同。2．預(yù)測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)差和置信區(qū)間。預(yù)測(cè)誤差來(lái)源于：方程的新息（殘差）未知；系數(shù)的不確定性。3．預(yù)測(cè)精度與預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)研究的一個(gè)重要任務(wù)是為各具物色的不同預(yù)測(cè)對(duì)象尋找合適的預(yù)測(cè)方法，使得預(yù)測(cè)結(jié)果具有更高的可靠性和精確度。預(yù)測(cè)精度的一般含義是指預(yù)測(cè)模型擬合的好壞程度，即由預(yù)測(cè)模型所產(chǎn)生的模擬值與歷史實(shí)際值擬合程度的優(yōu)劣。對(duì)于時(shí)間序列預(yù)測(cè)，研究者可以利用歷史數(shù)據(jù)的一部分建立模型。然后預(yù)測(cè)其余的歷史數(shù)據(jù)，以便更直觀地研究預(yù)測(cè)精度。但對(duì)于預(yù)測(cè)用戶而言，預(yù)測(cè)未來(lái)的精度是重要的，至于該預(yù)測(cè)模型過(guò)去的預(yù)測(cè)精度如何則沒有什么意義。在對(duì)話框中選擇了Forecast Evaluation，并且被預(yù)測(cè)變量在預(yù)測(cè)期內(nèi)有實(shí)際值，那么得到一個(gè)評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。這個(gè)結(jié)果包括：均方根預(yù)測(cè)誤差、平均絕對(duì)預(yù)測(cè)誤差、平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差和Theil不等系數(shù)及其分解。指標(biāo) ①、②和③屬于絕對(duì)指標(biāo)，其它屬于相對(duì)指標(biāo)建議使用。表達(dá)形式如下：①平方和誤差：；②平均絕對(duì)誤差：；③均方根誤差：；④平均絕對(duì)百分比誤差 一般認(rèn)為如果MAPE的值低于10，則認(rèn)為預(yù)測(cè)精度較高。：；⑤均方百分比誤差：；⑥Theil不等系數(shù) 根據(jù)均方誤差的分解，還可以定義三個(gè)與希爾不等系數(shù)相關(guān)的指標(biāo)。偏差率BP反映了預(yù)測(cè)值均值和實(shí)際值均值間的差異；方差率VP反映了它們標(biāo)準(zhǔn)差的差異；協(xié)變率CP反映了剩余的誤差。值得說(shuō)明的是：CP=1BPVP，當(dāng)預(yù)測(cè)是比較理想時(shí)，均方誤差大多數(shù)集中在協(xié)變率上，而其余兩項(xiàng)都很小。：4．預(yù)測(cè)圖第三節(jié) 實(shí)時(shí)修正預(yù)測(cè)1． 問(wèn)題的提出任何模型的建立都是依據(jù)當(dāng)時(shí)的條件，即現(xiàn)有的信息量決定了模型的表達(dá)形式。隨著時(shí)間的推移，不斷地有新信息產(chǎn)生，原有的模型可能不能反應(yīng)現(xiàn)實(shí)的情況，要想真實(shí)再現(xiàn)時(shí)間序列的變化趨勢(shì)，有必要重新建立時(shí)間序列模型。然而，前面的學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)，時(shí)間序列模型的建立過(guò)程比較復(fù)雜，有沒有一種新辦法能夠解決無(wú)須重新建立模型就能夠準(zhǔn)確地刻劃新形式下時(shí)間序列的變化趨勢(shì)?；卮鹗强隙ǖ模瑢?shí)時(shí)修正預(yù)測(cè)就是在原先預(yù)測(cè)結(jié)果的基礎(chǔ)之上，加進(jìn)一些新的信息，就能得到與重新建立模型進(jìn)行預(yù)測(cè)等價(jià)的效果。2． 具體做法對(duì)于一個(gè)ARMA過(guò)程，由 （5）得： （6） （7）（6）式反應(yīng)了在時(shí)刻，對(duì)未來(lái)進(jìn)行步預(yù)測(cè)，為在新息產(chǎn)生條件下的預(yù)測(cè)結(jié)果；（7）式反應(yīng)了在時(shí)刻，對(duì)未來(lái)進(jìn)行步預(yù)測(cè)，為沒有考慮新息時(shí)的預(yù)測(cè)結(jié)果；同時(shí)由（6）式和（7）式，我們還可以得到如下結(jié)論： （8）式中，為一步預(yù)測(cè)誤差。（8）式表明：新的預(yù)測(cè)值是在舊的預(yù)測(cè)值基礎(chǔ)上加一個(gè)修正項(xiàng)，而這一修正項(xiàng)比例于舊的一步預(yù)測(cè)誤差，比例系數(shù)隨預(yù)測(cè)超前步數(shù)而變化。3． 實(shí)例【例46】對(duì)例45，假如我們已知道觀測(cè)值，試計(jì)算和。解：可列表計(jì)算表 實(shí)時(shí)修正預(yù)測(cè)計(jì)算過(guò)程超前期123……格林函數(shù)預(yù)測(cè)特性95%置信區(qū)間 只要預(yù)測(cè)的步數(shù)沒有改變，預(yù)測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差就不會(huì)發(fā)生變化。177。tXt249原點(diǎn)250251252253254第四節(jié) 指數(shù)平滑預(yù)測(cè)——ARMA模型特例1．問(wèn)題的提出由前面的討論，我們已經(jīng)知道，預(yù)測(cè)值實(shí)際上是過(guò)去的觀察值及部分預(yù)測(cè)值的一種平滑，特別是超前一步預(yù)測(cè)值是，的一種平滑，那么指標(biāo)平滑預(yù)測(cè)與ARMA模型預(yù)測(cè)之間到底存在著什么樣的聯(lián)系。2．指數(shù)平滑預(yù)測(cè)設(shè)有時(shí)間序列，對(duì)其未來(lái)發(fā)展變化趨勢(shì)作預(yù)測(cè)。①最樸素的動(dòng)態(tài)思想認(rèn)為現(xiàn)象的未來(lái)行為和現(xiàn)在的行為有關(guān)，因而用現(xiàn)在值作為下一期的預(yù)測(cè)；②序列的預(yù)測(cè)值用平均值來(lái)代替；③在取所有資料的平均數(shù)不盡合理時(shí)，利用了“移動(dòng)平均數(shù)”；④作同等的權(quán)重不合適，指數(shù)平滑法作為權(quán)數(shù)， （9）由于（9）中不再是加權(quán)平均數(shù)，因而用作為權(quán)數(shù)，這時(shí)有預(yù)測(cè)公式為： （10）（10）為著名的指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均數(shù)（EWMA），它有兩個(gè)極為重要的公式： （11） （12）（11）式表明下期的預(yù)測(cè)值是本期實(shí)際與本期預(yù)測(cè)的加權(quán)平均數(shù)；（12）式使用的倍數(shù)的預(yù)測(cè)誤差對(duì)模型加以修正。3．指數(shù)平滑與ARMA模型的關(guān)系結(jié)論：指數(shù)平滑預(yù)測(cè)與ARMA（1，1）模型在時(shí)的特殊情況下的預(yù)測(cè)等價(jià)?！颈菊滤伎碱}】1．最小均方誤預(yù)測(cè)的基本原理是什么？2．條件期望的性質(zhì)是什么？3．如何進(jìn)行條件期望預(yù)測(cè)？4．指數(shù)平滑預(yù)測(cè)和ARMA模型的關(guān)系?！咀? 業(yè)】P142：5167。8 應(yīng)用案例【例47】ARMA模型及其應(yīng)用，資料來(lái)源于徐靜：ARMA模型及其應(yīng)用，《立信會(huì)計(jì)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)》，2001年第3期。