【正文】 ACF(j)=0，此現(xiàn)象為截尾，是 MA(q)過程的一個特征。 2 2 2j 1 j+ 1 2 j+ 2 q q j 1 2 q1 j= 0A C F ( j ) ( .. . ) ( 1 .. . )0 j q? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ????（ 4） ARIMA模型的估計 矩估計： 利用樣本自協(xié)方差函數(shù)和樣本自相關函數(shù) ， 對模型的參數(shù)作估計 。 極大似然估計： 包括無條件極大似然估計 、 條件極大似然估計 、 精確似然估計等方法 。 非線性估計： 利用迭代搜索思想 。 最小二乘估計： 對于不包含 MA部分的 ARMA模型 （ 即AR模型 ） ， 可以利用普通最小二乘法對參數(shù)進行估計 。 （ 5） ARMA模型的預測 ? 以平穩(wěn)的 AR(2)過程為例： ? 其中 為零均值白噪音過程 ? 由模型的平穩(wěn)性 ， 我們有： ?? t 1 t 1 2 t 2 tY = c + Y + Y + u??tut + 1 1 t 2 t 1 t + 1Y = c + Y + Y + u??t + 2 1 t + 1 2 t t + 2Y = c + Y + Y + u??（三） ARCH模型 Autoregressive Conditional Heteroscedasticity ,簡稱 ARCH）模型 ,反映隨機過程的一種特殊特性：即方差隨時間變化而變化 ， 且具有波動性 。 ARCH模型已廣泛地應用于金融領域 。 ARCH模型 : 由均值方程和條件方差方程給出： 表示 t1時刻所有可得信息的集合 ， 為條件方差 用極大似然估計法對方程進行估計 。 t t tyx ????2 2 21 0 1 1 2 2v a r ( | ) . . . . . .t t t t t p t ph a a a a? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?1t??th（ 四 ） GARCH模型 ? 一般的 GARCH(p,q)模型如下表示 ? 可用極大似然估計法估計 。 ? GARCH(p,q)的推廣 t t tyx ????220 1 1 1 1. . . . . .t t p t p t q t qh a a a h h? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?ARCH效應的識別 — ARCH LM Test： 【 1】 ARCH效應的識別 通常是對于殘差項中是否存在自回歸條件異方差現(xiàn)象的拉格朗日乘數(shù)檢驗 （ Lagrange multiplier test, Engle 1982） 【 2】 ARCH LM Test 中的統(tǒng)計量 F統(tǒng)計量 Obs*Rsquared 統(tǒng)計量 ARCH效應的識別： ? 原假設 ： ? 輔助回歸方程： 其中 e是殘差 ， ARCH LM Test 對最小二乘法 ， 兩階段最小二乘法 ， 非線性最小二乘法都適用 。 0H 01 .. .. .. 0q? ? ?? ? ? ?2 2 2 20 1 1 2 2 ...t t t q t q te e e e v? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?（ G） ARCH模型的估計方法 （ 最大似然估計法 ） ： 對于 AR(1) GARCH (1,1)模型： ? 可以通過最大化下述對數(shù)函數(shù)來估計模型參數(shù)： 120 1 1 1 1t t tt t tyyhh? ? ?? ? ? ????? ? ?? ? ?2111()11l og ( 2 ) l og ( )2 2 2TTttttt tyyTLhh??? ?????? ? ? ???XARCH模型的類型： 【 1】 GARCHM模型 【 2】 TARCH模型 【 3】 EGARCH模型 可以分析： 【 1】 股市 （ 匯市 ） 收益波動 【 2】 使用 TARCH和 EGARCH模型度量股市 （ 匯市 ） 收益波動非對稱性 【 3】 股市 （ 匯市 ） 波動溢出效應的研究 利用狀態(tài)空間形式表示動態(tài)系統(tǒng)主要有兩個優(yōu)點： 第一 ， 狀態(tài)空間模型將不可觀測的變量 (狀態(tài)變量 )并入可觀測模型并與其一起得到估計結(jié)果； 第二 ， 狀態(tài)空間模型是利用強有效的遞歸算法 ——卡爾曼濾波來估計的 。 卡爾曼濾波可以用來估計單變量和多變量的 ARMA模型 、 MIMIC（ 多指標和多因果 ） 模型 、 馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型以及變參數(shù)模型 。 （五）狀態(tài)空間模型（ TVP模型） 模型理論及方法： 詳細的內(nèi)容可以查詢 Hamilton(1994), Harvey（ 1993） 。 模型表示： k ? 1維向量 yt 的動態(tài)線性狀態(tài)空間表示可通過下面的方程組給出： 式中 ， ?t 為 m ? 1維不可觀測的狀態(tài)向量 ， ? t ,?t 是服從于零均值正態(tài)分布的擾動向量 ， 不可觀測的狀態(tài)向量假定服從于一階向量自回歸過程 。 ,ttttt dZy ?? ???,1 tttttt RcT ??? ??? ? t T? 1 , ,?t T? 1 , ,?將第一個方程稱為“信號 (Signal Equation)”或“量測 (Measurement Equation)”方程，第二個方程稱為“狀態(tài) (State Equation)”或“轉(zhuǎn)移（ Transition Equation）”方程。 擾動向量 ? t ,? t 的同一時刻的協(xié)方差矩陣為： Zt ， Tt ， Rt ， Ht ， Qt ， Gt 和 dt ， ct 被稱為系統(tǒng)矩陣或向量 。 系統(tǒng)矩陣 Zt ， Tt ， Rt ， Ht ， Qt ， Gt 可以依賴于一個未知參數(shù)的集合 ， 狀態(tài)空間模型的一個主要的任務就是估計這些參數(shù) 。 ????????????????ttttttt QGGH??v a r 為了和模型中的其它參數(shù) ， 如 dt 或 ct 相區(qū)別 ， 這些參數(shù)將通過 ? 向量表示 ， 并被稱為超參數(shù) (Hyperparameters)。 超參數(shù)確定了模型的隨機性質(zhì) ， 而在 dt 或 ct中出現(xiàn)的參數(shù)僅影響確定性的可觀測變量和狀態(tài)的期望值 。 在狀態(tài)空間模型中可以引入外生變量做為解釋變量 ， 也可以引入 yt 的延遲變量 ，這些都可以放到 dt 中去 。 如果 dt 或 ct是未知參數(shù)的一個線性函數(shù) ， 這些參數(shù)也可以作為超參數(shù)的一部分元素 。 一階移動平均模型 MA(1)： 通過定義狀態(tài)向量 ?t = (yt ,??t )? 可以寫成狀態(tài)空間形式 量測方程： 狀態(tài)方程： 這種形式的特點是不存在量測方程噪聲 。 1??? ttty ??? t T? 1 , ,?tty ?)0,1(?ttt ???? ???????????????????100101 對于任何特殊的統(tǒng)計模型 ， 狀態(tài)向量 ?t 的定義是由結(jié)構(gòu)確定的 。 它的元素一般包含具有實際解釋意義的成分 ，例如趨勢或季節(jié)要素 。 狀態(tài)空間模型的目標是 ， 所建立的狀態(tài)向量 ?t 包含了系統(tǒng)在時刻 t 的所有有關信息 ， 同時又使用盡可能少的元素 。 所以如果狀態(tài)空間模型的狀態(tài)向量具有最小維數(shù) ， 則稱為 最小實現(xiàn) (Minimal Realization)。 對一個好的狀態(tài)空間模型 ， 最小實現(xiàn)是一個基本準則 。 然而對于任一特殊問題的狀態(tài)空間模型的表示形式卻不是惟一的 ， 這一點很容易驗證 。 考慮通過定義一個任意的非奇異矩陣 B， 得到 ?t*=B?t ， 為新的狀態(tài)向量 。 用 B矩陣左乘狀態(tài)方程 ， 得到： 式中 Tt* = BTt B1， ct* = Bct ， Rt* = BRt 。 相應的量測方程是： 式中 Zt* = Zt B1 。 tttttt RcT ??? ?????? ??? 1ttttt dZy ?? ??? ??對二階自回歸模型 AR(2)： 考慮兩個可能的狀態(tài)空間形式 ( k=1, m=2 )是 換一種形式： Ttyyy tttt ,1,2211 ????? ?? ???ttttt yy ?????? ????????????????????????????? 010112112ttttt yy????? ??????????????????????????? ????0101 1211?? tty ?)0,1( tty ?)0,1(?由于各種各樣的外界沖擊和政策變化等因素的影響 ， 經(jīng)濟結(jié)構(gòu)不斷發(fā)生變化 ， 用 OLS等固定參數(shù)模型表現(xiàn)不出來這種經(jīng)濟結(jié)構(gòu)的變化 ， 因此 ， 需要考慮采用 變參數(shù)模型 (Timevarying Parameter Model)， 利用狀態(tài)空間模型來構(gòu)造變參數(shù)模型 。 量測方程： 狀態(tài)方程： ～ ),( ?tt ??TtQN ,1,00,00 2 ?????????????????????????? ?ttttt zxy ??? ???ttt ???? ?? ?