85直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)-資料下載頁
2025-04-24 12:48本頁面
【導(dǎo)讀】_____直線都垂直，則該直線和此平面垂直.線和平面所成的角.所組成的圖形叫做二面角.＝l，在β內(nèi)作直線a⊥l，則a⊥α.解析由線面垂直知，圖中直角三角形為4個.①m⊥α，n∥β，α∥β?其中，所有真命題的編號是.解析①中由n∥β，α∥β得n∥α或n?又m⊥α，∴m⊥n，故①正確；β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.α，則m∥β；②若m∥α，解析①為空間面面平行的性質(zhì)，是真命題；例1如圖，已知四棱錐P—ABCD，證明由四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝60°，可得△ABC為正三角形.因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC.線面垂直的性質(zhì)，常用來證明線線垂直.又PQ和PR為平面PRQ內(nèi)的兩條相交直線，∴Rt△DEF≌Rt△ADB，∴DE＝DA.如圖所示，取AC中點(diǎn)N，連接MN、NB，形MNBD是矩形，于是DM⊥MN.∵DE＝DA，∴平面ECA⊥平面BDM.垂直、線線垂直的問題解決.變式訓(xùn)練2如圖所示，在四面體ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，點(diǎn)E，
【正文】 ∴ AA1∥ DD1， AA1＝ DD1， C1D1∥ CD ， C1D1＝ CD . ［ 2 分］ ∵ N ， K 分別為 CD ， C1D1的中點(diǎn)， ∴ DN ∥ D1K ，DN ＝ D1K ， ∴ 四邊形 DD1KN 為平行四邊形 . ［ 3 分］ ∴ KN ∥ DD1， KN ＝ DD1， ∴ AA1∥ KN ， AA1＝ KN . ∴ 四邊形 AA1KN 為平行四邊形 . ∴ AN ∥ A1K .［ 4 分］ ∵ A1K ? 平面 A1MK ， AN ? 平面 A1MK ， ∴ AN ∥ 平面 A1MK . ［ 6 分］ ( 2) 連接 BC1.在正方體 ABCD — A1B1C1D1中， AB ∥ C1D1， AB ＝ C1D1. ∵ M ， K 分別為 AB ， C1D1的中點(diǎn)， ∴ BM ∥ C1K ，BM ＝ C1K . ∴ 四邊形 BC1KM 為平行四邊形 . ∴ MK ∥ BC1.［ 9 分］ 在正方體 ABCD — A1B1C1D1中， A1B1⊥ 平面 BB1C1C ， BC1? 平面 BB1C1C ， ∴ A1B1⊥ BC1. ∵ MK ∥ BC1， ∴ A1B1⊥ MK . ∵ 四邊形 BB1C1C 為正方形， ∴ BC1⊥ B1C .［ 1 2 分］ ∴ MK ⊥ B1C . ∵ A1B1? 平面 A1B1C ， B1C ? 平面A1B1C ， A1B1∩ B1C ＝ B1， ∴ MK ⊥ 平面 A1B1C . ∵ MK ? 平面 A1MK ， ∴ 平面 A1MK ⊥ 平面 A1B1C . ［ 1 4 分］ 批閱筆記 ( 1 ) 本題考查的是線面平行、面面垂直的證明 . 難度不大，但學(xué)生解答時出現(xiàn)的問題較多 . ( 2 ) 定理應(yīng)用不嚴(yán)謹(jǐn) . 如：要證 AN ∥ 平面 A1MK ，必須強(qiáng)調(diào) AN ? 平面 A1MK . ( 3 ) 解題過程不完整，缺少關(guān)鍵步驟，如第 ( 1 )問中，應(yīng)先證四邊形 A N K A1為平行四邊形 . 第( 2 ) 問中，缺少必要的條件，使思維不嚴(yán)謹(jǐn)，過程不流暢 . 思想方法 感悟提高 方法與技巧 1. 證明線面垂直的方法 (1) 線面垂直的定義： a 與 α 內(nèi)任何直線都垂直 ? a ⊥ α ； (2) 判定定理 1 ： ?????m 、 n ? α ， m ∩ n ＝ Al ⊥ m ， l ⊥ n?l ⊥ α ； (3) 判定定理 2 ： a ∥ b ， a ⊥ α ? b ⊥ α ； (4) 面面平行的性質(zhì)： α ∥ β ， a ⊥ α ? a ⊥ β ； (5) 面面垂直的性質(zhì)： α ⊥ β ， α ∩ β ＝ l ， a ? α ， a ⊥ l? a ⊥ β . 2. 證明線線垂直的方法 ( 1 ) 定義：兩條直線所成的角為 9 0 176。 ； ( 2 ) 平面幾何中證明線線垂直的方法； ( 3 ) 線面垂直的性質(zhì)： a ⊥ α ， b ? α ? a ⊥ b ； ( 4 ) 線面垂直的性質(zhì)： a ⊥ α ， b ∥ α ? a ⊥ b . 3. 證明面面垂直的方法 ( 1 ) 利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角； ( 2 ) 判定定理： a ? α ， a ⊥ β ? α ⊥ β . 4. ( 理 ) 向量法證明線面平行與垂直也是一種重要的方法 . 失誤與防范 1. 垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決 . 如有平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直 . 故熟練掌握 “ 線線垂直 ” 、“ 面面垂直 ” 間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問題的關(guān)鍵 . 2. 面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù) .我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可 . 返回
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