85直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(已修改)
2025-05-14 12:48 本頁面
【正文】 167。 8 .5 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí) 要點(diǎn)梳理 1. 直線與平面垂直 (1) 判定直線和平面垂直的方法 ① 定義法 ② 利用判定定理：一條直線和一個平面內(nèi)的兩條_____ 直線都垂直，則該直線和此平面垂直 . ③ 推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條直線也 ______ 這個平面 . 相交 垂直 ( 2 ) 直線和平面垂直的性質(zhì) ① 直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi) _ _ _ _ _直 線 . ② 垂直于同一個平面的兩條直線 _ _ _ _ _ _ _ . ③ 垂直于同一直線的兩平面 _ _ _ _ _ _ _ . 2. 斜線和平面所成的角 斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫斜線和平面所成的角 . 任意 平行 平行 3. 平面與平面垂直 ( 1 ) 平面與平面垂直的判定方法 ① 定義法 ② 利用判定定理：一個平面過另一個平面的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，則這兩個平面垂直 . ( 2 ) 平面與平面垂直的性質(zhì) 兩平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于 _ _ _ _ _ _ 的直線垂直于另一個平面 . 一條垂線 交線 4. 二面角的有關(guān)概念 ( 1) 二面角：從一條直線出發(fā)的 ___________所組成的圖形叫做二面角 . ( 2) 二面角的平面角：二面角棱上的一點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)分別作與棱 ______ 的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角 . 兩個半平面 垂直 ［難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源］ 兩個平面垂直的性質(zhì)定理 兩個平面垂直的性質(zhì)定理，即如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面是作點(diǎn)到平面距離的依據(jù)，要過平面外一點(diǎn) P 作平面的垂線，通常是先作( 找 ) 一個過點(diǎn) P 并且和 α 垂直的平面 β ，設(shè) β ∩ α＝ l ，在 β 內(nèi)作直線 a ⊥ l ，則 a ⊥ α . 基礎(chǔ)自測 1. 若直線 a 與平面 α 不垂直，那么在平面 α 內(nèi)與直線 a 垂直的直線有 條 . 解析 顯然可以在平面 α 內(nèi)找到一條直線b ⊥ a ，而在平面 α 內(nèi)有無數(shù)條直線平行 b ，從而與直線 a 垂直的直線有無數(shù)條 . 無數(shù) 2. 如圖， PA ⊥ 平面 A B C ， △ A B C 中， BC ⊥ AC ，則圖中直角三角形的個數(shù)為 . 解析 由線面垂直知，圖中直角三角形為 4 個 . 4 3. m 、 n 是空間兩條不同直線， α 、 β 是兩個不n 同平面，下面有四個命題： ① m ⊥ α ， n ∥ β ， α ∥ β ? m ⊥ n ； ② m ⊥ n ， α ∥ β ， m ⊥ α ? n ∥ β ； ③ m ⊥ n ， α ∥ β ， m ∥ α ? n ⊥ β ； ④ m ⊥ α ， m ∥ n ， α ∥ β ? n ⊥ β . 其中，所有真命題的編號是 . 解析 ① 中由 n ∥ β ， α ∥ β 得 n ∥ α 或 n ? α ， 又 m ⊥ α ， ∴ m ⊥ n ，故 ① 正確； ② 中可能 n ? β ，故 ② 錯誤； ③ 中直線 n 可能與平面 β 斜交或平行，也可能在平面 β 內(nèi)，故 ③ 錯； ④ 中由 m ∥ n ， m ⊥ α ，可得 n ⊥ α ，又 α ∥ β 可得 n ⊥ β ， 故 ④ 正確 . 答案 ①④ 4. 設(shè) α 、 β 、 γ 為平面， a ， b 為直線，給出下列條件： ① a ? α ， b ? β ， a ∥ β ， b ∥ α ； ② α ∥ γ ， β ∥ γ ； ③ α ⊥ γ ， β ⊥ γ ； ④ a ⊥ α ， b ⊥ β ， a ∥ b . 其中能使 α ∥ β 成立的條件是 ( ) A. ①② B . ②③ C . ②④ D . ③④ 解析 ① 與 ③ 中， α 與 β 平面都有可能相交，② 、 ④ 正確 . C 5. 設(shè) m ， n 是兩條不同的直線， α ， β 是兩個不同的平面，則下列四個命題： ① 若 α ∥ β ， m ? α ，則 m ∥ β ； ② 若 m ∥ α ，n ? α ，則 m ∥ n ； ③ 若 α ⊥ β ， m ∥ α ，則 m ⊥ β ； ④ 若 m ⊥ α ，m ∥ β ，則 α ⊥ β . 其中為真命題的是 ( ) A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 解析 ① 為空間面面平行的性質(zhì)，是真命題；② m ， n 可能異面，故該命題為假命題； ③ 直線 m 與平面 β 平行或 m ? β ，故該命題是一個假命題； ④ 為真命題 . C 題型分類 深度剖析 題型一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 例 1 如
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