中職數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊下冊直線、平面垂直的判定與性質(zhì)1(已修改)
2024-12-04 15:30 本頁面
【正文】 167。 直線、平面垂直的 判定及性質(zhì) 基礎(chǔ)自測 l、 m、 n均為直線，其中 m、 n在平面 α 內(nèi)， 則“ l⊥ α ” 是“ l⊥ m且 l⊥ n” 的 ( ) A P是平面 α 外一點 ,則下列命題正確的是 ( ) P只能作一條直線與平面 α 相交 P可作無數(shù)條直線與平面 α 垂直 P只能作一條直線與平面 α 平行 P可作無數(shù)條直線與平面 α 平行 D 3.（ 2020 廣東理， 5） 給定下列四個命題 : ① 若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都 平行，那么這兩個平面相互平行； ②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這 兩個平面相互垂直； ③垂直于同一直線的兩條直線相互平行； ④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的 交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直 . 其中，為真命題的是 ( ) A.① 和② B.② 和③ C.③ 和④ D.② 和④ D 4.（ 2020 湖南文， 5） 已知直線 m、 n和平面 α 、 β 滿足 m⊥ n， m⊥ α ， α ⊥ β ，則 ( ) ⊥ β ∥ β ，或 n β ⊥ α ∥ α ,或 n α ??D ， m、 n表示兩條不同的直線， α 、 β 、 γ 表示三個不同的平面 . ① 若 m⊥ α ,n∥ α ,則 m⊥ n。② 若 α ⊥ γ ,β ⊥ γ , 則 α ∥ β ； ③若 m∥ α ,n∥ α ,則 m∥ n。④ 若 α ∥ β ,β ∥ γ , m⊥ α ,則 m⊥ γ . 正確的命題是 ( ) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ C 題型一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 如圖所示 ,已知 PA⊥ 矩形 ABCD所在平面 , M， N分別是 AB， PC的中點 . (1)求證： MN⊥ CD； (2)若 ∠ PDA=45176。 . 求證： MN⊥ 平面 PCD. (1)因 M為 AB中點 ,只要證△ ANB 為等 腰三角形 ,則利用等腰三角形的性質(zhì)可得 MN⊥AB. (2)已知 MN⊥ CD，只需再證 MN⊥ PC,易看出 △ PMC為等腰三角形，利用 N為 PC的中點，可 得 MN⊥ PC. 【 例 1】思維啟迪題型分類 深度剖析 證明 （ 1）連接 AC， AN， BN， ∵ PA⊥ 平面 ABCD， ∴ PA⊥ AC， 在 Rt△ PAC中， N為 PC中點， ∵ PA⊥ 平面 ABCD， ∴ PA⊥ BC，又 BC⊥ AB， PA∩ AB=A， ∴ BC⊥ 平面 PAB， ∴ BC⊥ PB， 從而在 Rt△ PBC中， BN為斜邊 PC上的中線， ∴ AN=BN， ∴ △ ABN為等腰三角形， 又 M為底邊 AB的中點， ∴ MN⊥ AB， 又 ∵ AB∥ CD， ∴ MN⊥ CD. .21 PCAN ??.21 PCBN ??(2)連接 PM、 CM,∵∠ PDA=45176。 ,PA⊥ AD, ∴ AP=AD. ∵ 四邊形 ABCD為矩形， ∴ AD=BC， ∴ PA=BC. 又 ∵ M為 AB的中點， ∴ AM=BM. 而 ∠ PAM=∠ CBM=90176。 ,∴ PM=CM. 又 N為 PC的中點， ∴ MN⊥ PC. 由（ 1）知， MN⊥ CD， PC∩ CD=C, ∴ MN⊥ 平面 PCD. 垂直問題的證明，其一般規(guī)律是 “ 由已 知想性質(zhì)，由求證想判定 ” ，也就是說，根據(jù)已 知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié) 論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜 合的思路結(jié)合起來 . 探究提高知能遷移 1 Rt△ ABC所在平面外一點 S,且 SA=SB= SC， D為斜邊 AC中點 . （ 1）求證： SD⊥ 面 ABC； （ 2）若 AB=BC，求證： BD⊥ 面 SAC. 證明 （ 1）如圖所示，取 AB中點 E， 連結(jié) SE， DE， 在 Rt△ ABC中， D、 E分別為 AC、 AB的中點，故 DE∥ BC，且 DE⊥ AB, ∵ SA=SB， ∴ △ SAB為等腰三角形， ∴ SE⊥ AB. ∵ SE⊥ AB， DE⊥ AB， SE∩ DE=E， ∴ AB⊥ 面 SD 面 SDE， ∴ AB⊥ SD. ?在△ SAC中， ∵ SA=SC， D為 AC中點， ∴ SD⊥ AC. ∵ SD⊥ AC,SD⊥ AB,AC∩ AB=A,∴ SD⊥ 面 ABC. （ 2）若 AB=BC，則 BD⊥ AC， 由（ 1）可知， SD⊥ 面 ABC，而 BD 面 ABC，∴ SD⊥ BD， ∵ SD⊥ BD,BD⊥ AC,SD∩ AC=D,∴ BD⊥ 面 SAC. ?題型二 面面垂直的判定與性質(zhì) 如圖所示，在四棱錐 P— ABCD 中，平面 PAD⊥ 平面 ABCD， AB∥ DC， △ PAD是等邊三角形 ,已知 BD=2AD=8， AB=2DC=4 . (1)設(shè) M是 PC上的一點， 證明：平面 MBD⊥ 平面 PAD； (2)求四棱錐 P— ABCD的體積 .
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