85直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(編輯修改稿)
2025-06-08 12:48 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 BCD 面 . 題型三 線面垂直的綜合應(yīng)用 例 3 如圖所示，在四棱錐 P — A B C D 中，平面P A D ⊥ 平面 A B C D ， AB ∥ DC ，△ P A D 是等邊三角形，已知 BD＝ 2 AD ＝ 8 ， AB ＝ 2 DC ＝ 4 5 . ( 1 ) 設(shè) M 是 PC 上的一點， 求證：平面 M B D ⊥ 平面 P A D ； ( 2 ) 求四棱錐 P — A B C D 的體積 . 思維啟迪 ： ( 1) 因為兩平面垂直與 M 點位置無關(guān)，所以在平面 M B D 內(nèi)一定有一條直線垂直于平面 P A D ，考慮證明 BD ⊥ 平面 P A D . ( 2) 四棱錐底面為一梯形，高為 P 到面 ABCD的距離 . ( 1) 證明 在 △ ABD 中， ∵ AD ＝ 4 ， BD ＝ 8 ，AB ＝ 4 5 ， ∴ AD2＋ BD2＝ AB2. ∴ AD ⊥ BD . 又 ∵ 面 P A D ⊥ 面 ABCD ，面 P A D ∩ 面 ABCD＝ AD ， BD ? 面 ABCD ， ∴ BD ⊥ 面 P A D . 又 BD ? 面 B D M ， ∴ 面 M B D ⊥ 面 P A D . ( 2 ) 解 過 P 作 PO ⊥ AD ， ∵ 面 P A D ⊥ 面 ABCD ， ∴ PO ⊥ 面 ABCD ， 即 PO 為四棱錐 P — ABCD 的高 . 又 △ P A D 是邊長為 4 的等邊三角形， ∴ PO ＝ 2 3 . 在底面四邊形 ABCD 中， AB ∥ DC ， AB ＝ 2 DC ， ∴ 四邊形 ABCD 為梯形 . 在 Rt △ A DB 中，斜邊 AB 邊上的高為4 84 5＝8 55， 此即為梯形的高 . ∴ S四邊形 A B C D＝2 5 ＋ 4 528 55＝ 24. ∴ VP — A B C D＝13 2 4 2 3 ＝ 16 3 . 探究提高 當兩個平面垂直時，常作的輔助線是在其中一個面內(nèi)作交線的垂線，把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進而可以證明線線垂直 . 變式訓練 3 ( 2020 山東 ) 在如圖所示的幾何體 中，四邊形 AB C D 是正方形 ， MA ⊥ 平面 AB C D ， PD ∥ MA ， E 、 G 、 F 分別為 MB 、 PB 、 PC 的中點，且 AD ＝ PD ＝ 2 MA . (1) 求證：平面 EFG ⊥ 平面 PDC ； (2) 求三棱錐 P － MAB 與四棱錐 P － AB C D 的體積之比 . ( 1) 證明 因為 MA ⊥ 平面 ABCD ， PD ∥ MA ， 所以 PD ⊥ 平面 ABCD . 又 BC ? 平面 ABCD ，所以 PD ⊥ BC . 因為四邊形 ABCD 為正方形，所以 BC ⊥ DC . 又 PD ∩ DC ＝ D ，所以 BC ⊥ 平面 P D C . 在 △ P B C 中，因為 G 、 F 分別為 PB 、 PC 的中點， 所以 GF ∥ BC ，所以 GF ⊥ 平面 P D C . 又 GF ? 平面 EFG ，所以平面 EFG ⊥ 平面 P D C . ( 2) 解 因為 PD ⊥ 平面 ABCD ，四邊形 ABCD為正方形， 不妨設(shè) MA ＝ 1 ，則 PD ＝ AD ＝ 2 ， 所以 VP － ABCD＝13S 正方形A BCD PD ＝83. 由題意易知 DA ⊥ 平面 M A B ，且 PD ∥ MA ， 所以 DA 即為點 P 到平面 M A B 的距離， 所以 VP － M A B＝1312 1 2 2 ＝23. 所以 VP － M A B∶ VP － ABCD＝ 1 ∶ 4. 題型四 線面角、二面角的求法 例 4 如圖所示，三棱錐 P — ABC 中， D 是 AC的中點， PA ＝ PB ＝ PC ＝ 5 ，AC ＝ 2 2 ， AB ＝ 2 ， BC ＝ 6 . ( 1) 求證： PD ⊥ 平面 AB C ； ( 2) 求二面角 P — AB — C 的正切 值大小 . 思維啟迪： (1) 已知三角形三邊長，可考慮利用勾股定理的逆定理證明垂直 . (2) 關(guān)鍵是找出二面角的平面角，由 AP ＝ PB ，可考慮取 AB 的中點 . (1) 證明 連接 BD ， ∵ D 是 AC 的中點， PA ＝ PC ＝ 5 ， ∴ PD ⊥ AC . ∵ AC ＝ 2 2 ， AB ＝ 2 ， BC ＝ 6 ， ∴ AB2＋ BC2＝ AC2. ∴∠ ABC ＝ 90176。 ，即 AB ⊥ BC .
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