第七章第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(編輯修改稿)
2024-08-19 09:45 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ?平面 A1FD， 所以平面 A1FD⊥ 平面 BB1C1C. 兩個平面垂直的性質(zhì)定理，可以作為直線和平面垂直的判定定理，當(dāng)條件中有兩個平面垂直時，常添加的輔助線是在一個平面內(nèi)作兩平面交線的垂線 . 如圖 ① ，四邊形 ABCD中， AD∥ BC， AD＝ AB，∠ BCD＝ 45176。 ， ∠ BAD＝ 90176。 ，將 △ ABD沿對角線 BD折起，記折起后點的位置為 P，且使平面 PBD⊥ 平面 BCD，如圖 ② . (1)求證：平面 PBC⊥ 平面 PDC； (2)在折疊前的四邊形 ABCD中，作 AE⊥ BD于 E，過 E作EF⊥ BC于 F，求折起后的圖形中 ∠ PFE的正切值 . [思路點撥 ] [課堂筆記 ] (1)證明：折疊前，在四邊形 ABCD中，AD∥ BC， AD＝ AB， ∠ BAD＝ 90176。 ， 所以△ ABD為等腰直角三角形 .又因為 ∠ BCD＝ 45176。 ，所以∠ BDC＝ 90176。 . 折疊后，因為面 PBD⊥ 面 BCD， CD⊥ BD，所以 CD⊥ 面 PBD. 又因為 PB ?面 PBD，所以 CD⊥ PB. 又因為 PB⊥ PD， PD∩CD＝ D，所以 PB⊥ 面 PDC. 又 PB?面 PBC，故平面 PBC⊥ 平面 PDC. (2)AE⊥ BD， EF⊥ BC，折疊后的位置關(guān)系不變， 所以 PE⊥ BD. 又面 PBD⊥ 面 BCD，所以 PE⊥ 面 BCD， 所以 PE⊥ EF. 設(shè) AB＝ AD＝ a，則 BD＝ a，所以 PE＝ a＝ BE. 在 Rt△ BEF中， EF＝ BEsin45176。 ＝ a ＝ a. 在 Rt△ PFE中， tan∠ PFE＝ ＝ ＝ . 高考中對直線與平面所成的角及二面角的考查是熱點之一，有時在客觀題中考查，更多的是在解答題中考查 . 求這兩種空間角的步驟： 根據(jù)線面角的定義或二面角的平面角的定義，作 (找 )出該角，再解三角形求出該角，步驟是作 (找 )―→ 認(rèn) (指 ) ―→ 求 . 在客觀題中，也可用射影法： 設(shè)斜線段 AB在平面 α內(nèi)的射影為 A′B′， AB與 α所成角為 θ，則 cosθ＝ . 設(shè) △ ABC在平面 α內(nèi)的射影三角形為 △ A′B′C′，平面 ABC與 α所成角為 θ，則 cosθ＝ . (2022安陽模擬 )三棱錐 P－ ABC中， PC、 AC、 BC兩兩垂直， BC＝ PC＝ 1， AC＝ 2， E、 F、 G分 別是 AB、 AC、 AP的中點 . (1)證明：平面 GFE∥ 平面 PCB； (2)求二面角 B－ AP－ C的正切值 . [思路點撥 ] [課堂筆記 ] (1)證明：因為 E、 F、 G分別是 AB、 AC、AP的中點， 所以 EF∥ BC， GF∥ CP. 因為 EF， GF?平面 PCB. 所以 EF∥ 平面 PCB， GF∥ 平面 PCB. 又 EF∩GF＝ F， 所以平面 GFE∥ 平面 PCB. (2)∵ BC⊥ PC， BC⊥ CA，且 PC∩AC＝ C， ∴ BC⊥ 平面 PAC. 過點 C作 CH⊥ PA于 H點， 連結(jié) HB，則易證 HB⊥ PA， ∴∠ BHC即為二面角 B－ AP－ C的平面角 . 在 Rt△ ACP中， AP＝ ＝ ， HC＝ ＝ (等積 ). ∴ tan∠ BHC＝ ＝ ＝ . 近年來開放型問題不斷在高考試題中出現(xiàn)，這說明高考對學(xué)生的能力要求越來越高，這也符合新課標(biāo)的理念，因而在復(fù)
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