北師大版高中數(shù)學(xué)必修522三角形中的幾何計(jì)算隨堂測試題3套-資料下載頁
2025-11-06 03:18本頁面
【導(dǎo)讀】）則A點(diǎn)離地面的高度AB等于（）。*6.有一座20米高的觀測臺，測得對面一水塔塔頂?shù)难鼋鞘?0°，塔底的俯角是?偏東30°，航行30海里后在C處測得小島A在船的南偏東45°，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，問有無觸礁的危險(xiǎn)？**17.在圓心角為60°的扇形鐵板OAB中，工人師傅要裁出一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形，求此內(nèi)接矩形的最大面積。解：在三角形ABC中：BC=30，∠B=30°，∠ACB=180°－45°=135°，故∠A=. 于是A到BC的直線距離是Acsin45°=15?海里，大于38海里。的三角函數(shù)，通過?得出S的最大值?！郃B→·BC→＝－BA→·BC→＝－|BA→|·|BC→|cosB＝－7×5×1935＝－D.2．△ABC的三內(nèi)角∠A，∠B，∠C所對邊的長分別為a，b，c，設(shè)向量p＝，解析：∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即c2－a2－b2＋ab＝0，a2＋b2－c2＝ab，
【正文】 8．在 △ ABC中， A與 B恰滿足 sin3A2 ＝ sin3B2 ，則三邊 a、 b、 c必須滿足 ( ) A． a＝ b B． a＝ b＝ c C． a＋ b＝ 2c D． (a－ b)(a2＋ b2－ ab－ c2)＝ 0 解析： 由 sin3A2 ＝ sin3B2 得： 3A2 ＝ 3B2 或 3A2 ＋ 3B2 ＝ π， 即 A＝ B或 A＋ B＝ 2π3 ， ∴ A＝ B或 C＝ π3， ∴ a＝ b或 cosC＝ 12＝ a2＋ b2－ c22ab ， 即 a＝ b或 a2＋ b2－ ab－ c2＝ 0， ∴ 選 D. 答案： D 9．若 △ ABC的周長等于 20，面積是 10 3， A＝ 60176。，則 BC邊的長是 ( ) A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 解析： 依題意及面積公式 S＝ 12bcsinA 得 10 3＝ 12bcsin60176。，得 bc＝ 20，故a＋ b＋ c＝ 20， b＋ c＝ 20－ a，由余弦定理得： a2＝ b2＋ c2－ 2bccosA＝ b2＋ c2－ 2bccos60176。＝ b2＋ c2－ bc＝ (b＋ c)2－ 3bc，故 a2＝ (20－ a)2－ 120，解得 a＝ 7，故選 C. 答案： C 10．用長度分別為 2,3,4,5,6 的 5根細(xì)木棒圍成一個(gè)三角形 (允許連接，但不允許折斷 )，能夠得到的三角形的最大面積為 ( ) A． 8 5 B． 6 10 C． 3 55 D． 20 解析： 設(shè)三角形三邊長為 a， b， c，則 p＝ a＋ b＋ c2 ＝ 2＋ 3＋ 4＋ 5＋ 62 ＝ 10. ∴ S＝ 10?10－ a??10－ b??10－ c? ≤ 10 [?10－ a?＋ ?10－ b?＋ ?10－ c?3 ]3. 當(dāng)且僅當(dāng) 10－ a＝ 10－ b＝ 10－ c，即 a＝ b＝ c 時(shí)取等號，又 a＋ b＋ c＝ 20， ∴ a＝ b＝ c＝ 203 ，這與 a， b， c∈ N＋ 不符． ∴ 上式取不到等號，又為了使 a， b， c 接近相等，可知當(dāng)三邊長分別為 2＋ 5,3＋ 4,6，即 7,7,6 時(shí)， Smax＝ 10 3 3 4＝ 6 10， ∴ 選 B. 答案： B 二、填空題 11． △ ABC中 sinA＝ 13， cosB＝ 33 ， a＝ 3，則 b＝ ________. 解析： 由題意知： B為銳角， ∴ sinB＝ 63 ，由正弦定理知： b＝ asinBsinA ＝3 6313＝ 3 6. 答案： 3 6 12．已知 △ ABC中， AB→ AC→ 0， S△ ABC＝ 154 ， |AB→ |＝ 3， |AC→ |＝ 5，則 ∠ BAC＝ ________. 解析： 由 AB→ AC→ 0，得 A 是鈍角，由 S△ ABC＝ 154 ， |AB→ |＝ 3， |AC→ |＝ 5，得 12 3 5 sinA＝ 154 ? sinA＝ 12，得 ∠ BAC＝ 150176。. 答案： 150176。 13．直角三角形的周長為 6＋ 2 3，斜邊上的中線長為 2，則三角形的面積等于 ________． 解析： 因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯€長為 2，所以斜邊長為 ， AB＝ 4， AC＋ BC＝ 2＋ 2 ∠ CBA＝ θ， θ為銳角，則 BC＝ 4cosθ， AC＝ 4cosθ＋ 4sinθ＝ 2＋ 2 3，所以 sin(θ＋ π4)＝ 6＋ 24 ，所以 θ＋ π4＝ 5π12，所以 θ＝ π6，所以 BC＝ ABcosθ＝ 2 3，所以 S△ ABC＝ 12ABBCsinθ＝ 12 4 2 3 12＝ 2 3. 答案： 2 3 14．在 △ ABC中，已知 |AB→ |＝ |AC→ |＝ 2，且 AB→ AC→ ＝ 3，則 BC 邊長為 ________． 解析： 由 AB→ AC→ ＝ 3? |AB→ ||AC→ |cosA＝ 3? cosA＝ 34，由余弦定理可求得 BC＝ 2. 答案： 2 三、解答題 15．在 △ ABC中， AB＝ 3， AC＝ 4， BC＝ 3， BD是 AC邊上的中線．求 BD的長． 解析： 由余弦定理，得 cosA＝ ? 3?2＋ 42－ 322 3 4 ＝5 312 ， ∴ 在 △ ABD中， BD2＝ AB2＋ AD2－ 2ABADcosA ＝ ( 3)2＋ 22－ 2 3 2 5 312 ＝ 2， ∴ BD＝ 2. 16．如圖，在梯形 ABCD中， CD∥ AB， CD＝ 6， AC＝ 6 3， ∠ DAB＝ 60176。，求梯形的高． 解析： 過點(diǎn) C作 CE⊥ AB， CE即為所求． ∵ CD∥ AB， ∠ DAB＝ 60176。， ∴∠ ADC＝ 120176。， 由正弦定理得 sin∠ DAC＝ 6 sin120176。6 3 ＝ 12， ∴∠ DAC＝ 30176。， ∴∠ CAB＝ 30176。， 在 Rt△ CAE中， CE＝ ACsin∠ CAB＝ 12AC＝ 3 3， 即梯形的高為 3 3. 17．如圖在 △ ABC中， AB＝ 2， AC＝ 4，線段 CB 的垂直平分線交線段 AC 于 D， DA－DB＝ 1，求 △ BCD的面積． 解析 ： 由于 D是線段 BC 的垂直平分線上的一點(diǎn)， ∴ BD＝ CD，于是 AD－ DB＝ AD－ DC＝ 1. 又 ∵ AD＋ DC＝ AC＝ 4， ∴ AD＝ 52， DC＝ 32. 在 △ ABD中，由余弦定理，得 cos∠ ADB＝ AD2＋ BD2－ AB22ADBD ＝254 ＋94－ 42 52 32＝ 35， sin∠ ADB＝ 1－ cos2∠ ADB＝ 45. ∵∠ BDC＋ ∠ ADB＝ 180176。， ∴ sin∠ BDC＝ sin∠ ADB＝ 45， S△ BCD＝ 12BDCDsin∠ BDC ＝ 12 32 32 45＝ 910. 18．將一塊圓心角為 120176。，半徑為 20 cm 的扇形鐵片截成一塊矩形，如圖所示有兩種裁法：讓矩形的一邊在扇形的一條半徑 OA上，如左圖，或讓矩形一邊與 AB平行，如右圖，問哪種裁法能得到最大面積的矩形？并求出這個(gè)最大值． 解析： (1)如圖所 示， 設(shè) ∠ AOM＝ θ(0176。θ90176。)，則 OP＝ 20cosθ， PM＝ 20sinθ. ∴ S1＝ OPPM＝ 20cosθ20sinθ＝ 400sinθcosθ＝ 200sin2θ， 當(dāng) θ＝ 45176。時(shí)， S1取最大面積為 200 cm2. (2)如圖所示，設(shè) ∠ AOM＝ θ(0176。θ60176。)， 在 △ OMQ中，由正弦定理得 QM＝ OMsinθsin∠ OQM＝ OMsinθsin120176。＝ 40sinθ3 ， 由圖形的對稱性知： ∠ AOB的平分線 OC 為扇 形的對稱軸， ∴∠ MOC＝ 60176。－ θ， MN＝ 2DM＝ 2OMsin(60176。－ θ)＝ 40sin(60176。－ θ)， 因此 S2＝ QMMN＝ 40sinθ3 40sin(60176。－ θ) ＝ 800 33 [cos(2θ－ 60176。)－ cos60176。] ＝ 800 33 [cos(2θ－ 60176。)－ 12]． 當(dāng) cos(2θ－ 60176。)＝ 1,2θ－ 60176。＝ 0176。， θ＝ 30176。時(shí)， S2有最大值為 400 33 cm2， ∵ S2S1， ∴ 第二種方法截得的矩形有最大面積，最大面積為 400 33 cm2.
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