環(huán)的運(yùn)算性質(zhì)-資料下載頁(yè)
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【正文】 返回 31 目錄后頁(yè)前頁(yè) 證 存在性 (1)如果 則取 ,有 . {0},I ? 0d ? Id? Z(2) 如 , 則有 , 使 . 令 {0}I ? 0z? zI?m i n { | 0 } .d z I z? ? ?則 ，易知 . 又對(duì)任意 , 存在 0,d d I?? dI?Z zI?, 使 , , 0q r r d? ? ?Z .z dq r?? 因?yàn)? ,由 的選取知 ,0r I r d? ? ?d0r? ,故 . 所以 .這就證明了存在性 . zd? Z Id? Zr z d q I? ? ?從而 前頁(yè) 后頁(yè) 返回 32 目錄后頁(yè)前頁(yè) 1 2 1 2, 0 , 0I d d d d? ? ? ?ZZ惟一性 設(shè) (1) 如果 , 則 , 所以 , 從而 1 0d ? {0}I ? 2 0d ? 12dd?(2) 如果 , 因?yàn)? , 所以 .同理 1 0d ? 1dI? 21|dd 12|dd所以 . 又因?yàn)? , 所以 . 12dd?? 120 , 0dd?? 12dd?由這兩個(gè)例子我們得到 , 整數(shù)環(huán)的所有子環(huán)是 { | , 0 } .d d Z d? ? ?? Z證明了惟一性 . 這就 前頁(yè) 后頁(yè) 返回 33 目錄后頁(yè)前頁(yè) 例 10 求 的所有子環(huán) . 18Z解 設(shè) 為 的任一子環(huán) , 則 是 的子加群 . I18ZI 18Z由 167。 2知 , ,其中 可能的取值為 : Ir?? ? r0 , 1 , 2, 3, 6 , 9 .即 有 6個(gè)子加群 (見(jiàn)下面 ) 18Z前頁(yè) 后頁(yè) 返回 34 目錄后頁(yè)前頁(yè) 12 1 83 1 84 1 85 1 86 1 8{ 0 }。1。2 { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 } 2 。3 { 0 , 3 , 6 , 9 , 12 , 15 } 3 。6 { 0 , 6 , 12 } 6 。9 { 0 , 9 } 9 .IIIIII???? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?ZZZZZ顯然它們都是 的子環(huán) . 所以 共有 6個(gè)子環(huán) : 18Z18Z1 8 1 8 1 8 1 8 1 8{ 0 } , , 2 , 3 , 6 , 9 .ZZZZZ前頁(yè) 后頁(yè) 返回 35 目錄后頁(yè)前頁(yè) 例 11 設(shè) 為環(huán) . 證明 : R( ) { | , }C R r R r s s r s R? ? ? ? ?為 的一個(gè)子環(huán) . 這個(gè)子環(huán)稱為 的中心 . R R證 (1)對(duì)任意 , 有 , 所以 xR? 0 0 0xx? ? ? ?0 ( )CR? . 從而 是 的一個(gè)非空子集 . ()CR R(2) 對(duì)任意 , 有 , ( ) ,a b C R x R??( ) ( ) 。( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,a b x a x b x x a x b x a ba b x a b x a x b a x b x a b a a b? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?前頁(yè) 后頁(yè) 返回 36 目錄后頁(yè)前頁(yè) 所以 . 從而由定理 . , ( )a b a b C R?? ()C R R?參考文獻(xiàn)及閱讀材料 [1]數(shù)學(xué)百科全書(shū) (第四卷 ), 北京 : 科學(xué)出版社 , 1999 [2]中國(guó)大百科全書(shū) 數(shù)學(xué) , 北京 , 上海 : 中國(guó)大百 科全書(shū)出版社 , 1988 [3] 王元 , 華羅庚 , 北京 : 開(kāi)明出版社 , 1995
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