環(huán)的運(yùn)算性質(zhì)(文件)
【正文】 前頁 后頁 返回 23 目錄后頁前頁 1 1 1 1, n n n ni i i ii i i ia b a b b a b a? ? ? ????? ??????????? ? ? ?(2) 設(shè) ,則 , ( 1 , 2 , . . . , 。 ( ) ( )a b a b a b? ? ? ? ? ? ?(4) . ( ) ( )a b a b? ? ? ?前頁 后頁 返回 18 目錄后頁前頁 證 （ 1）因?yàn)? 0 0 (0 0 ) 0 0 0a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由加法消去律得 同理可證 : . 0 ?? 00a??(2) 因 是 的負(fù)元 , 所以 也是 的負(fù)元 , 即 a?aaa?( ) .aa? ? ?(3) 因?yàn)? ( ) ( ) 0 0 ,a b a b a b b a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以 是 的負(fù)元 , 因此有 ()ab?? ab? ( ) .a b a b? ? ? ? ?同理可證 : . ()a b a b? ? ? ? ?前頁 后頁 返回 19 目錄后頁前頁 (4) 由（ 3）得 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) .a b a b a b a b? ? ? ? ? ? ? ? ?前頁 后頁 返回 20 目錄后頁前頁 注 利用負(fù)元的概念 , 我們可以定義環(huán) 的減法 R“ ”: ?對(duì)任意的 , 令 ,a b R? ( ) .a b a b? ? ? ?由此我們得到 移項(xiàng)法則 : 對(duì)任意的 , 有以下移項(xiàng)法則 : ,a b c R?.a b c a c b? ? ? ? ?乘法對(duì)于減法還滿足分配律 : 前頁 后頁 返回 21 目錄后頁前頁 ( ) ,( ) , , , .a b c a b a cb c a b a c a a b c R? ? ?? ? ? ?倍數(shù)法則 : 對(duì)任意的 , , , ,m n a b R??Z(1) 。 2與例 8知 , 剩余類的加法和乘 法是 的代數(shù)運(yùn)算 , 且 關(guān)于剩余類的加法構(gòu)成一 mZmZ個(gè)交換群 . (2) 對(duì)任意的 ，有 , mab ? Z.a b a b b a b a? ? ? ? ? ? ?所以剩余類的乘法滿足交換律 . (3) 對(duì)任意的 , 有 , ma b c ? Z( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .a b c a b c a b c a b c a b c a b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ?前頁 后頁 返回 13 目錄后頁前頁 所以剩余類的乘法滿足結(jié)合律 . (4) 對(duì)任意的 , ma ?Z1 1 ,1 1 .a a aa a a? ? ? ?? ? ? ?所以 為 的乘法單位元 . 1 mZ(5) 對(duì)任意的 , , ma b c ? Z( ) ( ) ( ) .a b c a b c a b cab ac ab ac a b a c? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?前頁 后頁 返回 14 目錄后頁前頁 同理可得 ( ) .b c a b a c a? ? ? ? ? ?所以兩個(gè)分配律都成立 . 由此可知 , 構(gòu)成一個(gè)有單位元的交換環(huán) . ( , , )m ??Z由 167。前頁 后頁 返回 1 目錄后頁前頁 二、環(huán)的運(yùn)算性質(zhì) 定理 環(huán)的運(yùn)算性質(zhì) 定義
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