高等數(shù)學(xué)國家精品課程——導(dǎo)數(shù)理論及應(yīng)用-資料下載頁
2025-08-23 22:03本頁面
【正文】 （ii）對（Ⅰ）中所求的每一個(gè)x0，察f″（x）在x0左右兩邊的符號，若異號，則x0為拐點(diǎn)，若同號，則x0不是拐點(diǎn)。[例4]求 的拐點(diǎn)解： [例5]求 的拐點(diǎn)。解：令y″=0 x=1，但此時(shí)，在x=1附近，不論x＞1還是x＜1，都有y″＞0，∴x=1不是拐點(diǎn)。然而，當(dāng)x=0時(shí)，y″不存在，但當(dāng)x＜0時(shí)，y″＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，y″＞0，由定義知，x=0為拐點(diǎn)。167。 根據(jù)前n節(jié)所學(xué)的知識，我們可較準(zhǔn)確地畫出函數(shù)的圖，描繪函數(shù)圖象的一般步驟：確定函數(shù)的定義域，并求出f′（x），f″（x）求出f′（x）=0和f″（x）=0的所有根，及不可導(dǎo)點(diǎn)，并用這些點(diǎn)將定義域分為若干個(gè)小區(qū)間。確定f′（x）和f″（x）在這些子區(qū)間上的符號，并且由此確定的函數(shù)圖形的升降，凹凸及極點(diǎn)和拐點(diǎn)。確定水平，鉛直漸近線，以及其它漸近線。確定某些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，比如：與坐標(biāo)的交點(diǎn)。沿x增大的方向按上討論的結(jié)果，將點(diǎn)用曲線光滑連結(jié)起來，分點(diǎn)的坐標(biāo)，以把圖描得更準(zhǔn)些，另外，還可以觀察f（x）的奇偶性，周期性配合作用。[例1]作出函數(shù)y=xex的圖形解（Ⅰ）y=xex的定義域?yàn)椋ā蓿?∞）y′=（1x）ex，y″=（x2）ex（Ⅱ）令y′=0 x=1，令y″=0 X=2用x=1，x=2，將Ⅲ（∞，+∞）分為三部分（∞，1），[1，2]，[2，+∞]Ⅲ（∞，1）上，y′＞0，y″＜0，∴f（X）的圖形在（∞，1）上是單增的，且是凸的在[1，2]上，y′＜0，y″＜0，∴f（x）的圖形在（1，2）上是單減的，且是凸的在[2，+∞]上，y＜0，y″＞0，∴f（x）的圖形在[2，+∞]是單減的，且是凹的。進(jìn)而得x=1為極大點(diǎn)，x=2為拐點(diǎn)（Ⅳ）當(dāng)x→+∞時(shí)xex→0, ∴y=0是水平漸近線，當(dāng)x→∞時(shí)xex→∞（Ⅴ）f（1）=e1，f（2）=2e2，f（0）=0，從而得四個(gè)點(diǎn)的f（1）=e坐標(biāo)（0，0），（1，1/e），（2，2e2），（1，e）將（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的結(jié)果列成下表：X（∞，1）1（1，2）2（2，+∞）y′+0y″0+Y=f（X）的圖形↗凸極大↘凸拐點(diǎn)↘凹167。 一、弧微分：設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在曲線y= f（x）上取一點(diǎn)M0（x0，y0）為度量弧長的基點(diǎn)，規(guī)經(jīng)沿x增大的方向?yàn)榍€的方向，對曲線上任一點(diǎn)M（x，y）有向弧段的長度S規(guī)定如下：S的絕對值等于的長度，當(dāng)有向弧段的方向與曲線的正向一致時(shí)，S＞0，相反時(shí)，S＜0，顯然，S是x的函數(shù)，S=S（x），且是X的單調(diào)增加函數(shù)，現(xiàn)求dS/dx及ds。是x，x+△x是（a，b）內(nèi)兩個(gè)鄰近的點(diǎn)，在曲線y=f（x）上對應(yīng)的點(diǎn)為M，M′當(dāng)x有增量△x時(shí)，設(shè)弧S有增量△S。二、曲率的計(jì)算公式我們學(xué)過不少直線，但直線是不彎的，曲線是彎曲的，但各地方，彎曲的程度是不同的，比如，一族同心圓，直徑大的彎曲程度沒有直徑小的厲害。那么用什么來描述彎曲程度的呢？這里我們用曲率，設(shè)曲線上M點(diǎn)對應(yīng)的弧長為S，切線的傾角α+△α，我們用比值 表示弧的平均彎曲程度，即平均曲率，記為特別地令△S→0，這里M′→M，這時(shí)，稱上平均曲率的極限：為曲線在M點(diǎn)的曲率，若 存在，則有：[例1求圓X2+y2=a2上各點(diǎn)的曲率解：若曲線方程為三、曲率圓與曲率半徑在M點(diǎn)處的直線，靠凹的一側(cè)上取一點(diǎn)D，使以D為圓心，為半徑作圓。167。 有時(shí)，方程f（x）=0的解是比較難求的，故用近似的解來代替。所謂 f（x）=0的解，就是曲線y= f（x）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。首先，假設(shè)f（x）=0的解在（a，b）之中，并且f（a），f（b）異號，又設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，且有二階導(dǎo)數(shù)，且在[a，b]上，f′（x）與f″（x）不變號，此時(shí)，y= f（x）在（a，b）上單調(diào)，且其凹凸性不變，這樣y= f（x）在（a，b）上的圖形不外乎有四種：又由f（x）單調(diào) f（x）=0在 （a，b）內(nèi)只有一個(gè)解。一、弦位法對圖1來分析，連A（a，f（a））和B（b，f（b））兩點(diǎn)，得直線：它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：顯然x1比b更接近x0，這是第一次代替，為了保證更高精度，在區(qū)間[a，x1]上更用上述同樣的方法。使 如此繼續(xù)下去，直到小于指定的誤差為止。二、切線法對圖1來分析，在A（a，f（a））作切線y f（a）= f′（a）（x a）它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為顯然x1′比a更接近x0，這是第一次逼近，為了更精確，在（x1′f（x1′））點(diǎn)再作切線，等第二次逼近如此下去，直到小于指定誤差為止。一般地，作切線的端點(diǎn)的縱坐標(biāo)與f″（x）同號三、綜合法這是把弦位法與切線結(jié)合在一起使用一對圖1來分析：用統(tǒng)位法及x1，用切線法得x1，現(xiàn)用[x1′，x1]代替[a，b]在[x1′，x1]上用綜合法，使第二次改進(jìn)法規(guī)x2′，x2，如此下去，直到∣xR xR′∣小于指定的誤差為止。
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