[高考數(shù)學(xué)]20xx年數(shù)學(xué)高考考點(diǎn)預(yù)測(cè)27：分類(lèi)整合的思想方法-資料下載頁(yè)
2025-08-21 16:04本頁(yè)面
【正文】 （Ⅱ）設(shè)求證：當(dāng)，時(shí)，；（Ⅲ）是否存在負(fù)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，的最小值是3 ？如果存在，求出實(shí)數(shù)的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。分析：由函數(shù)的奇偶性的定義求得函數(shù)的解析式，(2)中要證明不等式在時(shí)恒成立，只需證明的最小值大于的最大值，可以通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值求得，（3）為存在性命題，可以先假設(shè)存在，然后通過(guò)求導(dǎo)在區(qū)間內(nèi)研究最值。由于中含有參數(shù)，而，那么可以根據(jù)與的大小關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)比較。解：（Ⅰ）設(shè)，則，所以又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以 故函數(shù)的解析式為 （Ⅱ）證明：當(dāng)且時(shí)，設(shè) 因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增，所以 又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，所以所以當(dāng)時(shí)，即 （Ⅲ）解：假設(shè)存在負(fù)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值是3，則①當(dāng)，由于，則，故函數(shù) 是上的增函數(shù)．所以，解得（舍去）②當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)是增函數(shù)．所以，解得滿足題意。綜上可知，存在負(fù)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值３評(píng)注：本題在導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷上出現(xiàn)分歧，需要對(duì)的不同取值進(jìn)行分類(lèi)整合。（3）．（2007湖北卷21）已知數(shù)列和滿足：,其中為實(shí)數(shù)，為正整數(shù).（Ⅰ）對(duì)任意實(shí)數(shù)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列；（Ⅱ）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（Ⅲ）設(shè),，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有?若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷,注意等比數(shù)列的首項(xiàng)不為0,公比不為0,由此引發(fā)分類(lèi)討論.（Ⅰ）證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使是等比數(shù)列，則有,即矛盾.所以｛an｝不是等比數(shù)列.(Ⅱ)解：因?yàn)橛?所以當(dāng),此時(shí)不是等比數(shù)列：當(dāng)時(shí)，,由上可知bn≠0，∴.故當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.(Ⅲ)由（Ⅱ）知，當(dāng),不滿足題目要求.∴，故知，于是可得Sn=要使對(duì)任意正整數(shù)成立，即 , ①則當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)。∴的最大值為,的最小值為,于是，由①式得,當(dāng)時(shí)，不存在實(shí)數(shù)滿足題目要求；當(dāng)存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù),都有,且的取值范圍是評(píng)注：本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和分類(lèi)討論的思想，考查綜合分析問(wèn)題的能力和推理認(rèn)證能力。對(duì)于等比數(shù)列的定義來(lái)說(shuō)要掌握準(zhǔn)確,注意其前提條件是首項(xiàng)不為0,公比不為0,另外,在研究的取值范圍時(shí)也要注意指數(shù)取奇數(shù)和取偶數(shù)的不同影響,注意分類(lèi)整合的思想的運(yùn)用.（4）（2008浙江省余姚中學(xué)）設(shè)是的一個(gè)極值點(diǎn)，⑴求與的關(guān)系式（用表示）并求的單調(diào)區(qū)間.⑵是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意及總有恒成立，若存在求出的范圍。若不存在，說(shuō)明理由.分析：通過(guò)求導(dǎo)研究函數(shù)的極值和單調(diào)性,但要注意參數(shù)的不同取值對(duì)研究問(wèn)題的影響,會(huì)對(duì)其各種不同的情況進(jìn)行分類(lèi)討論.解：（1） 由得 ∴ 令得 由于是的極值點(diǎn)，故，即① 當(dāng)時(shí)，故為的單調(diào)增區(qū)間； 為的單調(diào)減區(qū)間。 ② 當(dāng)時(shí)，故為的單調(diào)增區(qū)間； 為的單調(diào)減區(qū)間。 （2）由得，從而知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的值域?yàn)? 假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足題設(shè)，依題意有：恒成立，即恒成立， 令，則有，解得，即評(píng)注:本題在導(dǎo)函數(shù)值為0時(shí),方程的根的大小問(wèn)題上產(chǎn)生分歧而需要分類(lèi)討論.（5）（2007全國(guó)1理21）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，．過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，垂足為．（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，證明：；（Ⅱ）求四邊形的面積的最小值．分析: （Ⅰ）可以根據(jù)已知條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s證出. （Ⅱ）由可知四邊形的面積為,需要考慮其斜率是否存在.證明：（Ⅰ）橢圓的半焦距，由知點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，故，所以，．（Ⅱ）（?。┊?dāng)?shù)男甭蚀嬖谇視r(shí)，的方程為，代入橢圓方程，并化簡(jiǎn)得．設(shè)，則，；因?yàn)榕c相交于點(diǎn)，且的斜率為，所以，．四邊形的面積．當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)．（ⅱ）當(dāng)?shù)男甭驶蛐甭什淮嬖跁r(shí)，四邊形的面積．綜上，四邊形的面積的最小值為．評(píng)注:在用直線的點(diǎn)斜式或斜截式寫(xiě)方程時(shí),要根據(jù)直線的斜率存在和不存在分兩種情況進(jìn)行討論.（6）（山東省濟(jì)寧市2009）已知函數(shù)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒有（Ⅰ）的解析式；（Ⅱ）數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)？分析：本題中可以根據(jù)恒等式求得函數(shù)的解析式，（Ⅱ）中的函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù)值在區(qū)間內(nèi)恒負(fù)，即不等式恒成立,根據(jù)函數(shù)的圖象解答. （Ⅲ）要研究函數(shù)的零點(diǎn),需要通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性與極值,結(jié)合函數(shù)的圖象,根據(jù)不同的位置關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論.解：（Ⅰ）根據(jù)題意，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒有即，即，所以 所以 （Ⅱ），∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴在區(qū)間上，即在區(qū)間上恒成立. ∴，即 （Ⅲ），令，解得或或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；①當(dāng)且，即時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；②,即時(shí), 函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；③且，即時(shí)，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)；④時(shí), 函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)；⑤且，即時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn) 評(píng)注:本題比較綜合的考查了函數(shù)的性質(zhì),以及根據(jù)函數(shù)的圖象進(jìn)行分類(lèi)整合,分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)就是函數(shù)的極值點(diǎn)與軸的位置關(guān)系.
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