[高考數(shù)學(xué)]20xx年數(shù)學(xué)高考考點(diǎn)預(yù)測(cè)27：分類(lèi)整合的思想方法(已修改)
2025-09-02 16:04 本頁(yè)面
【正文】 2009屆新課標(biāo)數(shù)學(xué)考點(diǎn)預(yù)測(cè)（27）：分類(lèi)整合的思想方法山東省兗州市第六中學(xué)《2009年新課標(biāo)考試大綱》明確指出“數(shù)學(xué)知識(shí)是指《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中所規(guī)定的必修課程、選修課程系列2和系列4中的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容反映的數(shù)學(xué)思想方法”。其中數(shù)學(xué)思想方法包括： 函數(shù)與方程的思想方法、 數(shù)形結(jié)合的思想方法 、 分類(lèi)整合的思想方法、 特殊與一般的思想方法、 轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法、 必然與或然的思想方法。數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)的規(guī)律性的理性認(rèn)識(shí)。高考通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，能夠最有效地檢測(cè)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握程度，能夠最有效地反映出學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容的銜接、綜合和滲透的能力。《考試大綱》對(duì)數(shù)學(xué)考查的要求是“數(shù)學(xué)學(xué)科的系統(tǒng)性和嚴(yán)密性決定了數(shù)學(xué)知識(shí)之間深刻的內(nèi)在聯(lián)系，包括各部分知識(shí)的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系，要善于從本質(zhì)上抓住這些聯(lián)系，進(jìn)而通過(guò)分類(lèi)、梳理、綜合，構(gòu)建數(shù)學(xué)試卷的框架結(jié)構(gòu)” 。而數(shù)學(xué)思想方法起著重要橋梁連接和支稱(chēng)作用，“對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括的考查，考查時(shí)必須要與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的考查，反映考生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度” ?！?數(shù)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值，同時(shí)兼顧試題的基礎(chǔ)性、綜合性和現(xiàn)實(shí)性，重視試題間的層次性，合理調(diào)控綜合程度，堅(jiān)持多角度、多層次的考查，努力實(shí)現(xiàn)全面考查綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求?！?數(shù)學(xué)的思想方法滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)角落，無(wú)處不在，有些題目還要考查多個(gè)數(shù)學(xué)思想。在高考復(fù)習(xí)時(shí)，要充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想在提高解題能力的重要性，在復(fù)習(xí)中要有意識(shí)地滲透這些數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)思想。分類(lèi)整合的思想方法分類(lèi)是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)研究中的基本邏輯方法。在解題時(shí),我們常常遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統(tǒng)一的方法、統(tǒng)一的式子繼續(xù)進(jìn)行了，因?yàn)檫@時(shí)被研究的問(wèn)題包含了多種情況，這就必須在條件所給出的總區(qū)域內(nèi)，正確劃分若干個(gè)子區(qū)域，然后分別在多個(gè)子區(qū)域內(nèi)進(jìn)行解題，這里集中體現(xiàn)的是由大化小,由整體化為部分,由一般化為特殊的解決問(wèn)題的方法,其研究方向基本是“分”，但分類(lèi)解決問(wèn)題之后，還必須把它們總合在一起，劃分只是手段，分類(lèi)研究才是目的，這種“合－分－合”的解決問(wèn)題的過(guò)程，就是分類(lèi)與整合的思想方法。實(shí)質(zhì)上，分類(lèi)討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略. 引起分類(lèi)討論的原因很多，可以是：(1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類(lèi)討論：如絕對(duì)值的定義、不等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線(xiàn)與平面所成的角、直線(xiàn)的傾斜角、斜率的定義 (2)由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類(lèi)討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零、偶次方根為非負(fù)、對(duì)數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的要求、不等式中兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)對(duì)不等號(hào)方向的影響等等；(3)由函數(shù)的性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類(lèi)討論；(4)由圖形的不確定性引起的分類(lèi)討論； (5)由參數(shù)的變化引起的分類(lèi)討論，某些含參數(shù)的問(wèn)題，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或者由于不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法；(6)其他根據(jù)實(shí)際問(wèn)題具體分析進(jìn)行分類(lèi)討論，如排列、組合問(wèn)題，不重復(fù)不遺漏。方程、不等式、函數(shù)的類(lèi)型的確定例1．（山東文登三中2009）至少有一個(gè)正的實(shí)根的充要條件是 （ ）A． B． C． D．分析：先確定方程的類(lèi)型，需要按的取值分類(lèi)，對(duì)于二次方程研究根的情況，一般要轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)和二次不等式（組）解出。解：當(dāng)時(shí)，方程為，滿(mǎn)足。當(dāng)時(shí)，至少有一個(gè)正的實(shí)根，設(shè)，當(dāng)時(shí)，∵，∴一定有一個(gè)正的實(shí)根；當(dāng)時(shí)，∵，∴即，綜上，故選B答案：B評(píng)注：對(duì)于函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題，要先判斷其類(lèi)型，而對(duì)于二次函數(shù)、二次方程、二次不等式之間常常相互轉(zhuǎn)化，并借助函數(shù)的圖象，得到方程或不等式（組）解出。例2．（2008山東省泰安市）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)； （2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．分析：要證此類(lèi)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，就要通過(guò)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求導(dǎo)后由于函數(shù)中含有參數(shù)，那么它的導(dǎo)數(shù)要與參數(shù)的取值有關(guān)，所以單調(diào)性的判斷要隨參數(shù)的變化而變化，需要對(duì)其去值進(jìn)行分類(lèi)討論。解：（1）當(dāng)時(shí)，其定義域是， 令，即，解得或． ，舍去．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，其值為．當(dāng)時(shí)，即． ∴函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．（2）法一：因?yàn)槠涠x域?yàn)?，所? ①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意②當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即．此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為．依題意，得解之得． ③當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，得綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是 法二： 由在區(qū)間上是減函數(shù)，可得在區(qū)間上恒成立． ① 當(dāng)時(shí)，不合題意 ② 當(dāng)時(shí)，可得即 評(píng)注：對(duì)于函數(shù)、不等式、方程的類(lèi)型不確定時(shí)，就要對(duì)其參數(shù)進(jìn)行討論。而對(duì)于二次不等式恒成立問(wèn)題可以借助的圖象進(jìn)行分類(lèi)轉(zhuǎn)化。 函數(shù)的零點(diǎn)（或方程的根）與所給區(qū)間關(guān)系的討論例3．(2007廣東) 已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求的取值范圍.分析：先確定函數(shù)的類(lèi)型，函數(shù)的零點(diǎn)即為方程的根，對(duì)于二次方程的實(shí)根情況要結(jié)合其對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間進(jìn)行分類(lèi)討論。解：若 , ,顯然在上沒(méi)有零點(diǎn), 所以 .令 , 解得 ①當(dāng) 時(shí), 的解為，恰有一個(gè)零點(diǎn)在上。②當(dāng)，即時(shí)，在上也恰有一個(gè)零點(diǎn).③當(dāng)在上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí), 則 或解得或，綜上所求實(shí)數(shù)的取值范圍是 或 .評(píng)注：二
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