線性代數概念word版-資料下載頁
2025-08-17 06:15本頁面
【正文】 次初等（行或列）交換，所得到的矩陣稱為初等矩陣。 有三類初等矩陣： ：交換E的，兩行（或列）所得到的矩陣。 ：用非0數乘的第行（或列）所得到的矩陣，也就是把的對角線上的第個元素改為。 ：把的第行的倍加到第行上（或把第列的倍加到第列上）所得到的矩陣，也就是把的位的元素改為。 命題 對矩陣作一次初等行（列）變換相當于用一個相應的初等矩陣從左（右）乘它。 4．矩陣方程和可逆矩陣（伴隨矩陣） （1）矩陣方程 矩陣不能規(guī)定除法，乘法的逆運算是解下面兩種基本形式的矩陣方程： （I）。 （II）。 這里假定是行列式不為0的階矩陣，在此條件下，這兩個方程的解都是存在并且唯一的。（否則解的情況比較復雜。） 當只有一列時，（I）就是一個線性方程組。由克萊姆法則知它有唯一解。如果有列，設，則也應該有列，記，則有，這是個線性方程組。由克萊姆法則，它們都有唯一解，從而有唯一解。 這些方程組系數矩陣都是，可同時求解，即得 （I）的解法： 將和并列作矩陣，對它作初等行變換，使得變?yōu)閱挝痪仃嚕藭r變?yōu)榻狻? （II）的解法：對兩邊轉置化為（I）的形式：。再用解（I）的方法求出，轉置得。 矩陣方程是歷年考題中常見的題型，但是考試真題往往并不直接寫成（I）或（II）的形式，要用恒等變形簡化為以上基本形式再求解。 （2）可逆矩陣的定義與意義 定義 設是階矩陣，如果存在階矩陣，使得，則稱為可逆矩陣。此時是唯一的，稱為的逆矩陣，通常記作。 如果可逆，則在乘法中有消去律：；。（左消去律）； ；。（右消去律） 如果可逆，則在乘法中可移動（化為逆矩陣移到等號另一邊）： 。 由此得到基本矩陣方程的逆矩陣解法： （I）的解。 （II）的解。 這種解法想法自然，好記憶，但是計算量比初等變換法大（多了一次矩陣乘積運算）。 （3）矩陣可逆性的判別與性質 定理 階矩陣可逆。 證明 “”對兩邊取行列式，得，從而。（并且。） “”因為，矩陣方程和都有唯一解。設，分別是它們的解，即。事實上，于是從定義得到可逆。 推論 如果和都是階矩陣，則。 于是只要（或）一式成立，則和都可逆并且互為逆矩陣。 可逆矩陣有以下性質： ①如果可逆，則 也可逆，并且。 也可逆，并且。 時，也可逆，并且。 對任何正整數，也可逆，并且。（規(guī)定可逆矩陣的負整數次方冪。） ②如果和可逆，則也可逆，并且。（請自己推廣到多個可逆矩陣乘積的情形。） 初等矩陣都是可逆矩陣，并且 。 （4）逆矩陣的計算和伴隨矩陣 ①計算逆矩陣的初等變換法 當可逆時，是矩陣方程的解，于是可用初等行變換求： 這個方法稱為求逆矩陣的初等變換法。它比下面介紹的伴隨矩陣法簡單得多。 ②伴隨矩陣 若是階矩陣，記是的位元素的代數余子式，規(guī)定的伴隨矩陣為 。 請注意，規(guī)定階矩陣的伴隨矩陣并沒有要求可逆，但是在可逆時，和有密切關系。 基本公式：。于是對于可逆矩陣，有 ，即。因此可通過求來計算。這就是求逆矩陣的伴隨矩陣法。和初等變換法比較，伴隨矩陣法的計算量要大得多，除非，一般不用它來求逆矩陣。對于2階矩陣 ，因此當時， 。 伴隨矩陣的其它性質： ①如果是可逆矩陣，則也可逆，并且。 ②。 ③。 ④。 ⑤；。 ⑥當時，；時。
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